专题11全等三角形六种基本模型（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 11 全等三角形六种基本模型 通用的解题思路： 模型一：一线三等角模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直 角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K 字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往 往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型——旋转型全等 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有： [来源:Z#xx#k.Com] ① △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 题型三：倍长中线模型构造全等三角形 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对 应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS” 证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中 线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等A B C D 在△ABC中 AD是BC边中线 A B C D E 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE A F B C D E 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE A M D B C N 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 题型六：角平分线+垂直构造全等模型 类型一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP为OAB的角平分线、PM OA于点M 时，辅助线的作法大都为过点P作 PN OB即可.即有PM  PN、OMP≌ONP等，利用相关结论解决问题. 类型二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直 当已知条件中出现OP为AOB的角平分线,PM OP于点P时，辅助线的作法大都为延长MP交 OB于点N 即可.即有OMN 是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题. 模型一：一线三等角模型 1．（2023•石家庄模拟）如图①，矩形ABCD与以EF 为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F 都在直线l上，且AB7，EF 10，BC 5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF 方向 运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H ．连接OG、OH ， 若GOH 为直角，求此时t的值．2．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵 与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE 上，已知APPF ，APF 90． （1）求证：ABPPEF ； （2）求BE 的长． 3．（2023•承德二模）如图1，BAC 经过RtABC的三个顶点，圆心O在斜边AB上，AC 4，直径AB所 对 的 弧 长 为 AC长 的 3 倍 ， 将 等 腰 RtADE的 直 角 顶 点 D放 置 在 边 BC上 ， EF BC于 点 F ． （1）ABC  ； （2）求证：ACDDFE ； （3）如图2，当点E落在AB上时，求EF 的长．4．（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图 1，点 A在直线DE上，且 BDABAC AEC 90，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线 三等角“模型． 应用：（1）如图2，RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于点D， 过B作BE ED于点E．求证；BEC CDA． （2）如图3，在ABC 中，D是BC上一点，CAD90，AC  AD，DBADAB，AB2 3，求点 C到AB边的距离． （3）如图4，在 ABCD中，E为边BC上的一点，F 为边AB上的一点．若DEF B，AB10，BE6，  EF 求 的值． DE5．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数ya(x3)(x4)的图象交坐标轴于点A，B(0,2)，点P 为x轴上一动点． （1）求二次函数ya(x3)(x4)的表达式； （2）过点P作PQx轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP1时，求ACQ的面积； （3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD． ①当点D在抛物线上时，求点D的坐标； 5 ②点E(2, )在抛物线上，连接PE ，当PE 平分BPD时，直接写出点P的坐标． 36．（2023•潍坊三模）如图 1，将一个等腰直角三角尺 ABC的顶点C放置在直线l上，ABC 90， ABBC，过点A作ADl于点D，过点B作BEl 于点E． 观察发现： （1）如图1，当A，B两点均在直线l的上方时 ①猜测线段AD，CE 与BE 的数量关系并说明理由； ②直接写出线段DC，AD与BE 的数量关系； 操作证明： （2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE 又有怎样的数量关 系，请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索： （3）将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H ，若CD3，AD9， 请直接写出DH 的长度．7．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90得到， 平移线段AE得到线段DF（点A与点D对应，点E与点F 对应），连接BF ，分别交AC，CE 于点M ， N，连接EF ． （1）求证：BN FN ； （2）求ABF 的大小； （3）若BM x，FN  y，求矩形ABCD的面积（用含有x，y的式子表示）．8．（2024•龙马潭区一模）如图，抛物线yax2 bx6(a0)与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交 于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M ，使得BMO45，过点O作OH OM 交BC的延长线于点H ，求点M 的坐标； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为 顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023•太康县二模）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE EF ，垂 足为点E，EF 与正方形的外角DCG的平分线交于点F ． （1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF 的数量关系是 AEEF ；证明此猜想时，可取AB 的中点P，连接EP．根据此图形易证AEPEFC．则判断AEPEFC的依据是 ． （2）点E在BC边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接AF ，DF，若正方形ABCD的边长为1，直接写出AFD的周长c的取值范围． ?模型二：手拉手模型——旋转型全等 1．（2023•巴中）综合与实践． （1）提出问题．如图1，在ABC 和ADE中，BAC DAE90，且AB AC，AD AE，连接BD， 连接CE 交BD的延长线于点O． ①BOC的度数是 ． ②BD:CE  ． （2）类比探究．如图 2，在ABC 和DEC中，BAC EDC 90，且 AB AC，DEDC，连接 AD、BE 并延长交于点O． ①AOB的度数是 ； ②AD:BE  ． （3）问题解决．如图3，在等边ABC 中，ADBC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为 边在AD的左侧构造等边AEF，将AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M 为EF 的中 点，N为BE 的中点． ①说明MND为等腰三角形． ②求MND的度数．2．（2024•武汉模拟）如图，在ABC 和CDE中，BAC CED90，AB AC，CEDE，点E在边 AB上，F 是BC的中点．连接AD，G是AD的中点． （1）求证：ACE∽BCD； （2）如图（2），若点G在BC上，直接写出tanACE的值； （3）如图（1），判定以E，F ，G为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．3．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边ABC 内部有一点P，PA3，PB4，PC 5， 求APB的度数． [数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题． [尝试解决]将APC绕点A逆时针旋转60，得到△APB，连接PP，则APP为等边三角形． PPPA3，又 PB4，PC 5，PP2 PB2 PC2．  △BPP为 三角形， APB的度数为 ． [类比探究]如图 2，在 ABC中， BAC 90， AB AC，其内部有一点 P，若 PA2， PB1， PC 3，求APB的度数． [联想拓展]如图 3，在ABC 中，BAC 90，BCA30，其内部有一点P，若PA3，PB2， PC 4 3，求APB的度数．4．（2023•深圳模拟）如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向 CD的右侧作等边CDE，连接AE． （1）【尝试初探】 如图1，当点D在线段AB上运动时，AC与DE相交于点F ，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全 等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． （2）【深入探究】 如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H ，随着D点位置的变化，H 点的位 置随之发生变化，当AD2BD时，求tanDHC的值． （3）【拓展延伸】 如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD、AE相交于点F ，设ADF 的面积为S ，CEF的面积为S ， 1 2 当S 4S 时，求AE的长． 2 15．（2023•岱岳区二模）如图，正方形ABCD边长为7．E、F 在半径为4 的 A上，且EAFA，连接  DE、BE 、BF 、DF． （1）试探求线段DE、BF 的数量和位置关系； （2）求证：DF2 BE2 EF2 BD2，并求DF2 BE2的值．6．（2023•苏州一模）如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向 CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE． （1）【尝试初探】 如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F ，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全 等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． （2）【深入探究】 如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H ，随着D点位置的变化，H 点的位 置随之发生变化，当AD2BD时，求tanDHC的值． （3）【拓展延伸】 如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F ，设ADF 的面积为S ，CEF的面积为S ， 1 2 当S 4S 时，求BD的长． 2 17．（2023•灌云县校级模拟）在ABC 中，AB AC，BAC ，点P是平面内不与点A，C重合的任意 一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转得到线段PD，连接AP，CD，BD． （1）当60时， ①如图1，当点P在ABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转得到线段PD，则AP与BD的数量 关系是 ． ②如图2，当点P在ABC 内部时，线段PC绕点P顺时针旋转得到线段PD，①中AP与BD的数量关系 还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； （2）当90时， ①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由； BD ②若点 A，C，P在一条直线上，且 AC 3PC，线段PC绕点P逆时针旋转得到线段DP，求 的 AP 值．8．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE ． ①线段AD，BE 之间的数量关系为 ； ②AEB的度数为 ． （2）拓展探究： 如图2，ACB和AED均为等腰直角三角形，ACBAED90，点B，D，E在同一直线上，连接 BD CE ，求 的值及BEC的度数； CE （3）解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，CD 10，若点P满足PD 2，且BPD90，请直接写出点C到直线BP 的距离．9．（2023•酒泉一模）（1）感知：如图①，四边形 ABCD和CEFG均为正方形，BE 与DG的数量关系 为 ； （2）拓展：如图②，四边形ABCD和CEFG均为菱形，且AF ，请判断BE 与DG的数量关系，并说 明理由； （3）应用：如图③，四边形 ABCD和CEFG均为菱形，点 E在边 AD上，点G在 AD延长线上．若 AE2ED，AF ，EBC 的面积为8，求菱形CEFG的面积．10．（2023•海淀区校级四模）在平面直角坐标系 xOy中， O的半径为 1， M 为 O上一点，点   N(0,2)． 对于点P给出如下定义：将点P绕点M 顺时针旋转90，得到点P，点P关于点N的对称点为Q，称 点Q为点P关于点M ，N的“中旋点”． （1）如图1，已知点P(4,0)，点Q为点P关于点M ，N的“中旋点”． ①若点M(0,1)，在图中画出点Q，并直接写出OQ的长度为 ； ②当点M 在 O上运动时，直线yxb上存在点P关于点M ，N的“中旋点” Q，求b的取值范围；  （2）点P(t,0)，当点M 在 O上运动时，若 O上存在点P关于点M ，N的“中旋点” Q，直接写   出t的取值范围．11．（2023•黑龙江模拟）在ABC中，AB AC，BAC 90，P为直线AB上一点，连接PC，将PC绕 点P顺时针旋转90得到PD，连接BD． （1）当点P在线段AB上时，如图①，求证：BCBD 2BP； （2）当点P在BA的延长线上时，如图②；当点P在AB的延长线上时，如图③，线段BC，BD，BP之 间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．1 12．（2024•东城区一模）在RtABC中，BAC 90，AB AC，点D，E是BC边上的点，DE BC， 2 连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC于点G． （1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出DAF与BAC之间的数量关系； （2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形； ②DAF与BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．13．（2023•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，点B在x轴正半轴上，点C在第一象 限内． （1）如图1，OB4． ①若ABC 是以AC为斜边的直角三角形，且tanBAC 2．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C 的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标： ； ②若ABC 是等边三角形．求点C的坐标； （2）如图2，ABC 是等边三角形，点C在以P(3 3，6)为圆心，半径为r 的圆上．若存在两个ABC 满 足条件，求r 的取值范围．14．（2023•牡丹区校级一模）有共同顶点的ABC 与ADE中，CACB，EAED，且ACBAED， 连接BD，CE ，线段BD，CE 相交于点H ． BD （1）如图①，当60时， 的值是 ，BHC的度数是 ； CE BD （2）如图②，当90时，求 的值和BHC的度数，并说明理由； CE AC BD （3）如果90， 2，当点H 与ADE的顶点重合时，请直接写出 的值． AE DE15．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，C为AB所对的圆周角． ? 知识回顾 （1）如图①， O中，B、C位于直线AO异侧，AOBC 135．  ①求C的度数； ②若 O的半径为5，AC 8，求BC的长；  逆向思考 （2）如图②，若P为圆内一点，且APB120，PAPB，APB2C．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若APB90，点C在 P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D  在 P上，满足CD 2CBCA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 题型三：倍长中线模型构造全等三角形 1．（2023•兴宁区校级模拟）【模型启迪】 （1）如图1，在ABC 中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H ，使DH  AD，连接BH ，则AC 与BH 的数量关系为 ，位置关系为 ； 【模型探索】 （2）如图2，在ABC 中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE 交AD于点F ，且 BF  AC ．求证：AEEF ； 【模型应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC至点N，使AN  AB，连接BN ，交AD的延长线于点M ．若 2 AB7，AC 5，DM  ，求线段AD的长． 32．（2023•抚州三模）课本再现： （1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问 题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在 ABC 中，点 D， E分别是 AB， AC的中点，连接 DE．则 DE与 BC的关系 是 ． 定理证明 （2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． 定理应用 （3）如图（2），在四边形ABCD中，点M ，N，P分别为AD，BC，BD的中点，BA，CD的延长线交 于点E．若E 45，则MPN 的度数是 ． （4）如图（3），在矩形ABCD中，AB4，AD3，点E在边AB上，且AE 3BE．将线段AE绕点A 旋转一定的角度(0360)，得到线段AF ，点M 是线段CF 的中点，求旋转过程中线段BM 长的最 大值和最小值．3．（2023•蜀山区校级一模）如图，在ABC 中，ACB90，BC  AC，CD AB于点D，点E是AB 的中点，连接CE ． （1）若AC 3，BC 4，求CD的长； （2）求证：BD2 AD2 2DEAB； 1 （3）求证：CE  AB． 2 4．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，ABC中，D在AB上，E在BC上，AEDABC，F 在AE上， EF DE ． （1）如图1，若CEBD，求证：BECF； （2）如图2，若CE AD，G在DE上，EFGEFC，求证：CF 2GF ； （3）如图3，若CE AD，EF 2，ABC 30，当CEF周长最小时，请直接写出BCF的面积．5．（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在ABC 中，若 AB5，AC 3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD到E，使得，DE  AD，再连接BE （或将ACD绕点D逆时针旋转180得到EBD)，把AB、AC、 2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2 AE8，则1 AD4． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长 一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法 称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图②，在ABC 中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF DE，交边AC 于点F ，连接EF ． （1）求证：BECF EF ． （2）若A90，则线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系为 BE2 CF2 EF2 ． （3）【应用拓展】如图③，在ABC中，ABC 90，点D为边AC的中点，点E和点F 分别在边AB、BC 上，点M 为线段EF 的中点．若AE2，CF 5，则DM 的长为 ．题型四：平行线+线段中点构造全等模型 1．（2023•射洪市校级一模）在RtABC中，BAC 90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点 A作 AF //BC交CE 的延长线于点F ． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 2．（2022•前进区校级一模）已知：AD是ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BDDE，过点E 作EF //AB交直线AC于点F ，当点F 在边AC的延长线上时，如图①易证AF EF  AB；当点F 在边AC 上，如图②；当点F 在边AC的延长线上，AD是ABC 的外角平分线时，如图③．写出AF 、EF 与AB的 数量关系，并对图②进行证明．3．（2022•寿光市一模）如图，在矩形ABCD中，AB1，AD3，E为AD边的一动点（不与端点重合）， 连接CE 并延长，交BA的延长线于点F ，延长EA至点G，使AG AE；分别连接BE ，BG，FG． （1）在点E的运动过程中，四边形BEFG能否成为菱形？请判断并说明理由． （2）若BAE与EDC相似，求AE的长． a 1 4．（2022•九江三模）（1）化简并求值：1 ，其中a ． a1 2 （2）如图，在 ABCD中，点O是AC的中点，点F 在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线  于点E，EF 分别与AB、CD交于点H 、G．求证：AH CG．5．（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在ABC 中，AB AC，D在AB 上，E在AC的延长线上，DE交BC于F ，且DF EF ，求证：BDCE，小亮仔细分析了题中的已知条 件后，如图②过D点作DG//AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB//DC ，E为BC边的中点，BAEEAF，AF 与DC的延长 线相交于点F ．试探究线段AB与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F 分别为AD，BC边上的点，若AG1， BF  2，GEF 90，则GF 的长为 ．6．（2022•婺城区校级模拟）如图，点A，C是 O上的点，且AOC 90，过点A作ABOA，连接BC  交 O于点D，点D是BC的中点．  （1）求B的度数； AB （2）求 的值． OC 7．（2022•丰泽区校级模拟）在四边形ABCD中，BD平分ABC，点E是BD上任意一点，连接CE ，且 BAD2CEB，BCE120，点F 为BD延长线上一点，连接AF ，BAF 60． （1）如图1，求证：AD AF； （2）如图2，当BEFE时，求证：AB2BC  AF ； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在AD上，连接FG，AFGBEC，BC 3 3，DG5 3，求 线段AB的长．题型五：等腰三角形中的半角模型 1．（2023•昌平区二模）在等边 ABC 中，点 D是 AB中点，点 E是线段 BC上一点，连接 DE， DEB(30„ 60)，将射线DA绕点D顺时针旋转，得到射线DQ，点F 是射线DQ上一点，且 DF DE，连接FE ，FC． （1）补全图形； （2）求EDF度数； （3）用等式表示FE ，FC的数量关系，并证明． 2．（2023•大连模拟）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，点D在AC边上，AE BD于F 交BC于E，ABD2CAE．求证ABBD． 独立思考：（1）请解答王师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图 2，作EG AC于点G，若AEBD，探究线段AD与CE 之间的数量关系，并证明．” 问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点D重合时，连接 CF ，若给出DE的值，则可求出CF 的值．该小组提出下面的问题，请你解答．” 如图3，在（2）的条件下，当点D与点G重合时，连接CF ，若DE 5，求CF 的长”．3．（2023•南岗区校级二模）圆内接ABC ，BE 是圆O的切线，点B为切点，BE//AC． （1）如图1，连接BO，求证：BO AC； （2）如图2，当AC为直径，点D在弧AB上，连接CD、BD、AD时；求证：CD AD 2BD． （3）如图3，在（2）的条件下，连接CD与BO交于点P，连OD延长与BE 交于点K，KB:PB3:2， AC 8 5，求BD的长． 题型六：角平分线+垂直构造全等模型 1．（2024•平谷区一模）如图，在ABC 中，BAC 90，AB AC，点D为BC边中点，DE  AB于E， 作EDC的平分线交AC于点F ，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H ． （1）依题意补全图形； （2）求证：DH BE； （3）判断线段FD、HC与BE 之间的数量关系，并证明．2．（2024•金华一模）已知：如图，在ABC 中，ADBC于点D，E为AC上一点，且BF  AC ，DF DC． （1）求证：BDF ADC． （2）已知AC 5，DF 3，求AF 的长． 3．（2023•武陟县一模）如图，在ABC 中，C 45，点E是BC边上一点，AE AB，BD AE于点 D，交AC于DF点F ，若AD2，DE3，求CF 的长．4．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在ABC 中，AC BC，点E为AB边上一点，连接CE ． （1）如图1，若ACB90，CE  26 ，AE4，求线段BE 的长； （2）如图2，若ACB60，G为BC边上一点且EGBC，F 为EG上一点且EF 2FG，H 为CE 的 中点，连接BF ，AH ，AF ，FH ．猜想AF 与AH 之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，当ACB90，BCE 22.5时，将CE 绕着点E沿顺时针方向旋转90得到EG，连接 CG．点P、点Q分别是线段CB、CE 上的两个动点，连接EP、PQ．点H 为EP延长线上一点，连接 BH ，将BEH 沿直线BH 翻折到同一平面内的BRH ，连接ER．在P、Q运动过程中，当EPPQ取得 最小值且EHR45，AC  10 时，请直接写出四边形EQPR的面积．题型六：正方形中的半角模型 1．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F 分别在边BC、CD上，且EAF 45，连接EF ． （1）如图1，若BE2，DF 3，求EF 的长度； （2）如图2，连接BD，BD与AF 、AE分别相交于点M 、N，若正方形ABCD的边长为6，BE2，求 DF的长； （3）判断线段BN 、MN 、DM 三者之间的数量关系并证明你的结论．2．（2023•明水县二模）已知：正方形ABCD中，MAN 45，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别 交CB、 DC（或它们的延长线）于点M 、 N．当MAN 绕点 A旋转到 BM DN 时（如图1)，易证 BM DN MN ． （1）当MAN 绕点A旋转到BM DN 时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出 猜想，并加以证明； （2）当MAN 绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写 出你的猜想．3．（2023•昆明模拟）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题： 如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE AG于点E，BF //DE，交AG于点F ， 求证：AF BF EF． 数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下： 由正方形的性质得到AB AD，BAD90， 再由垂直和平行可知AEDAFB90， 再利用同角的余角相等得到ADE BAF， 则可根据“AAS ”判定ADEBAF ， 得到AEBF ，所以AF BF  AF AEEF ． 【建立模型】 该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题： （1）如图2，四边形ABCD是正方形，E，F 是对角线AC上的点，BF //DE，连接BE ，DF． 求证：四边形BEDF 是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点； （2）如图3，若正方形ABCD的边长为12，E是对角线AC上的一点，过点E作EGDE，交边BC于点 G，连接DG，交对角线AC于点F ，CF:EF 3:5，求FGDF 的值．4．（2022•绥化三模）已知，正方形ABCD中，MAN 45，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边长分别 交CB、DC（或它们的延长线）于点M 、N，AH MN 于点H ． （1）如图①，当MAN 点A旋转到BM DN 时，请你直接写出AH 与AB的数量关系： AH  AB ； （2）如图②，当MAN 绕点A旋转到BM DN 时，（1）中发现的AH 与AB的数量关系还成立吗？如果 不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知MAN 45，AH MN 于点H ，且MH 2，NH 3，求AH 的长．5．（2022•集贤县模拟）已知正方形ABCD中，MAN 45，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点M ，N，AH MN 于点H ． （1）如图①，当MAN 绕点A旋转到BM DN 时，请你直接写出AH 与AB的数量关系： ； （2）如图②，当MAN 绕点A旋转到BM DN 时，（1）中发现的AH 与AB的数量关系还成立吗？如果 不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知MAN 45，AH MN 于点H ，且MH 2，AH 6，求NH 的长．（可利用（2） 得到的结论）