专题11二次根式-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 11 二次根式 二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握 二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形 式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。 1. 二次根式 1 形如 a(a0)的式子叫做二次根式，如 3, , 0.02, 0 等式子，都叫做二次根式. 2 2. 最简二次根式 ①被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 2, ab,3 x, a2 b2 等都是最简二次根式. 要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指 数2. 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 第 1 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 8 8 2 2 2 8 4. 二次根式的性质 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若 他 们 的 积 不 含 二 次 根 式 ， 则 这 两 个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式 . 常用二次根式的有理化因式： ① a 与 a 互为有理化因式； ②a＋ b 与a- b 互为有理化因式； ③ a ＋ b 与 a - b 互为有理化因式。 第 2 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． x B． x21 C． x21 D．35 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 x，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意； B、 x21，x2+1> 0，故 x21一定是二次根式，符合题意； C、 x21，若1x1时， x21无意义，不合题意； D、35是三次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如 aa0的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是 解答本题的关键． x5 2．代数式 有意义，则x的取值范围是（ ） x6 A．x5 B．x≥5 C．x5且x6 D．x≥5且x6 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可． x5 【详解】解：  代数式 有意义， x6 x50  ， x60 解得x≥5且x6， 故D正确． 故选：D． 第 3 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件 x50 列出不等式组 ． x60 3．下列各式中，能与 3合并的是（ ） 2 A． 12 B． 23 C． D． 32 3 【答案】A 【分析】先将各个选项中的二次根式进行化简，然后再进行判断即可． 【详解】解：A． 12 2 3，故该选项符合题意； B． 23 2 2，故该选项不符合题意； 2 6 C．  ，故该选项不符合题意； 3 3 D． 32 4 2 ，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握化成最简二次根式的方法，是解题的关键． 4．下列式子中二次根式有（ ） 1 1 ① ；② 3；③﹣ x21；④38；⑤ ( )2 ；⑥ m 1；⑦ x22x1；⑧ 1x (x1)． 3 3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据形如 a(a0)的式子叫做二次根式判断即可． 1 1 【详解】解：二次根式有：① ；③﹣ x21；⑤ ( )2 ；⑥ m 1；⑦ x22x1共5个， 3 3 3无意义，不是二次根式； 38的根指数为3，不是二次根式； ∵x1， ∴1x0， ∴ 1x (x1)不是二次根式； 故选：D． 第 4 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如 a(a0)的式子叫做二次根式是解题的关键． 5．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） 2 A． 6 B． 0.3 C． D． 12 3 【答案】D 【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：A． 6与 3不是同类二次根式； 30 B． 0．3 与 3不是同类二次根式； 10 2 6 C．  与 3不是同类二次根式； 3 3 D． 12 2 3与 3是同类二次根式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化简二次根式是 解题的关键． 6．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． 13 B． 12 C． 2a2b D．38 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可． 【详解】A． 13的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此 13是最简二次根式，所以选项A 符合题意； B． 12 2 3，因此 12不是最简二次根式，所以选项B不符合题意； C． 2a2b  a 2b，因此 2a2b不是最简二次根式，所以选项C不符合题意； D．38不是二次根式，所以选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式的二次根式，叫做最简二次根式． 7．下面说法正确的是（ ） 第 5 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A． 14是最简二次根式 B． 2与 20是同类二次根式 C．形如 a的式子是二次根式 D． a2 a 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义即可判断A；根据二次根式的性质即可判断B、D；根据二次根式的定义 即可判断C． 【详解】解：A、 14是最简二次根式，说法正确，符合题意； B、 2与 20 2 5不是同类二次根式，说法错误，不符合题意； C、当a<0时，形如 a的式子不是二次根式，说法错误，不符合题意； D、 a2  a ，说法错误，不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，最简二次根式的定义，二次根式的性质，灵活运用所学知识是 解题的关键． 8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 a28a16 a112 结果为（ ）． A．7 B．7 C．2a15 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a4及a11的符号，再把原式进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知：4a10， ∴a40，a110， ∴原式 a42  a112 a411a7， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键． 二、填空题 第 6 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9．当m___________时，二次根式 13m有意义． 1 【答案】 3 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求出m的范围． 【详解】解：根据题意，得：13m0， 1 解得：m ． 3 1 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 10．若y x5 102x4，则 xy _________． 【答案】3 【分析】首先根据二次根式的性质，可求得x5，y4，再把x5，y4代入，即可求得其值． 【详解】解： y x5 102x4，  x50  102x0 x5 解得 ， x5 x5， y4，  xy  54 3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值问题，求得x、y的值是解决本题的关键． 2x4 11．函数y 的定义域为________． x1 【答案】x2且x1 【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域． 【详解】由题意得：2x40且x10， x2且x1， 故答案为：x2且x1． 第 7 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量 取值范围时常常要考虑的． 12．已知函数 f(x) 2x3，若 f(a)2，则a________． 【答案】3.5 【分析】根据已知函数的形式代入求解即可． 【详解】解：∵ f(x) 2x3， f(a)2， ∴ 2a32， ∴2a34， 解得：a3.5． 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键． 3x 3x 13．  成立的条件是_________． x1 x1 【答案】1x3 a a 【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质（  的条件是a0且b0）得出3x0且 b b x10，求出组成的不等式组的解集即可． 3x0 【详解】解：根据二次根式的除法法则得出 ， x10 解得：1x3， 故答案为：1x3． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的除法法则的应用，能熟记二次根式的除法法则的内容是 解此题的关键． m 14．若m0，化简2n ___________． n 【答案】2 mn 【分析】首先利用二次根式的性质得出n0，进而化简求出即可． 第 8 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) m 【详解】解：∵ m0， 有意义， n ∴n0， m m ∴2n 2 n2 2 mn， n n 故答案为：2 mn． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． y 15．已知xy0，化简二次根式x  的结果是______． x2 【答案】 y 【分析】二次根式有意义，y0，结合已知条件得y0，化简即可得出最简形式． 【详解】解：根据题意，xy0， 得x和y同号， y y 又  x  中 …0， x2 x2 y0， x0，y0， y y 则原式x x  y，   x2 x 故答案为： y ． 【点睛】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． y2 16．计算： 12x y0________． 3x 【答案】2y 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． y2 y2 【详解】解： 12x  12x  4y2  2y ， 3x 3x ∵y0， y2 ∴ 12x  2y 2y， 3x 故答案为：2y． 第 9 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 6.二次根式的运算 ①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代 替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． ②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根 指数不变，即合并同类二次根式. 要点： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二 次根式.如 23 25 2 (135) 2  2. ③乘除法： 乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  (a0,b0) a a b b  (a0,b0) b b 要点： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 (4)(9)  4 9 . ④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都 适用于二次根式 一、单选题 第 10 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1．下列各式的计算正确的是（ ） 4 4 2 2 2 1 A．    B． 4 2 2 9 9 3 3 9 3 3 3 2 3 11 3 C． 2 3 D．  3    4 11 3 11 3 11 【答案】D 【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可． 4 4 2 【详解】解：A.   ，故原选项计算错误，不符合题意； 9 9 3 2 38 38 B. 4  = ，故原选项计算错误，不符合题意； 9 9 3 3 3 C.  ，故原选项计算错误，不符合题意； 4 2 3 2 3 11 3 3 3 D.  3     = ，故原选项计算正确，符合题意； 11 3 11 3 11 11 11 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 1 2．估算： 15 的值应在（ ） 3 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出 5的范围，得出答案即可． 1 1 【详解】解： 15  15  5， 3 3 ∵ 4 5 9， ∴2 53， 1 ∴估算 15 的值应在2到3之间， 3 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算和估算无理数的大小，能估算出 5的范围是解此题的关键． 49 7 3．下列等式：①  ，②323 2，③ 18 2 9，④ 5 2 5 3 5，⑤ 64 8    5 3 5 2 5 6．正确的个数有（ ） 第 11 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项． 49 7 【详解】解：①  ，原计算错误，②323 2，原计算正确；③ 18 2 3，原计算错误；④ 64 8    5 2 5 3 5，原计算正确；⑤ 5 3 5 2 5 10 15 6，原计算错误； ∴正确的有2个； 故选C． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式 的运算是解题的关键． 4．二次根式 xy 的一个有理化因式是（ ） A． xy B． x y C． x y D．2 xy 【答案】D 【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以 xy 的一个有理化因式是2 xy ． 【详解】解： xy2 xy 2  xy 2 2x2y， 故一个有理化因式是2 xy ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式 有理化主要利用平方公式． 5．下列各式中，是a2 b的有理化因式的是（ ） A．2a b B．2a b C．a2 b D．a2 b 【答案】D 【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。 【详解】a2 b的有理化因式是a2 b， 故选：D． 【点睛】本题考查分母有理化，如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理化因式，解题 第 12 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 的关键是熟知其定义． 6．下列结论正确的是（ ） A． xy的有理化因式可以是 xy B． (1 2)2 1 2 C．不等式（2﹣ 5）x＞1的解集是x＞﹣（2+ 5） D． a2b2 是最简二次根式 【答案】D 【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、 xy有理化因式可以是 xy，故A不符合题意． B、原式＝|1﹣ 2|＝ 2﹣1，故B不符合题意． C、∵（2﹣ 5）x＞1， 1 ∴x＜ ， 2 5 ∴x＜﹣2﹣ 5，故C不符合题意． D、 a2b2 是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型． 1 7．已知a＝ ，b＝2+ 5，则a，b的关系是（ ） 52 A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 1 52 【详解】解：∵a＝    ＝ 5+2，b＝2+ 5， 52 52 52 ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 第 13 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ab 8．甲、乙两位同学对代数式 (a0,b0)，分别作了如下变形：甲： a b ab ab a b  ab  a b  a b       a b，乙：   a b．关于这两种变 a b a b a b a b a b 形过程的说法正确的是（ ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得． 【详解】解：甲：当a¹ b时， ab a b  ab   a b，    a b a b a b 当a=b时，无意义，    a b a b ab 乙：   a b， a b a b ∴甲错误，乙正确， 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法正确，符合题意; 故选D． 【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系． 二、填空题 14 9．计算： ___________． 35 10 1 【答案】 ## 10 5 5 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 第 14 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 14 14 2 10 【详解】解：    35 35 5 5 10 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键．     2 10．计算：（1） 31 31 ______；（2） 51 ______． 1 （3） 48 3______；（4）  50 ______． 2 【答案】 2 62 5 4 5 【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可； （2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可； （3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可； （4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．    【详解】解：（1） 31 31 312 故答案为：2；  2 （2） 51 52 5162 5， 故答案为：62 5； （3） 48 3 16 4， 故答案为：4； 1 （4）  50  25 5 2 故答案为：5． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知 识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 11．不等式 3x3x6的解集是________. 【答案】x 33##x3 3 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： 3x3x6， 第 15 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   即 33 x6 ∵ 330， 6 ∴x 33 ∴x 33； 故答案为：x 33． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． a2b3 12．将 （a0，b0）化为最简二次根式：_____． 4 ab b 【答案】 2 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵a0，b0， a2b3 ab b ∴  ． 4 2 ab b 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 13．若最简二次根式 x21与y13x21是同类二次根式，则xy______． 【答案】2或0 【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算xy． 【详解】由题意得，y12，x213x21， 解得y1，x1， ∴当x1，y1时，xy112； 当x= - 1，y= 1时，xy110； 故答案为2或0． 【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后， 若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键． 14．若 2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(1 2a)b的值为________． 第 16 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】1 【分析】根据题意得出a1,b 21，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 2的整数部分为a，小数部分为b，1 22， ∴a1,b 21，    ∴(1 2a)b  21 21 1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求得a1,b 21是解题的关键． 1 1 15．已知 a 3，则a ______． a a 【答案】7 【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解． 【详解】解：由题意得a0， 1 ∵ a 3， a 2  1  ∴ a  9，  a  1 ∴a 29， a 1 ∴a 7， a 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用 三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：S  ppapbpc，它的特点是形 abc 式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：p ；已知三角形最短边是3，最 2 长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________． 【答案】3 22或4 15 【分析】先根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而确定第三边的长度，再根据海伦－秦九韶 公式求得该三角形的面积． 第 17 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：设第三边长是c，则103c103， 即7c13， 又∵第三边的长是奇数， ∴c9或11， 3109 当c9时，p 11， 2 ∴S  111121110119 3 22； 31011 当c11时，p 12， 2 ∴S  1212212101211 4 15； 故答案为：3 22或4 15． 【点睛】此题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，关键是根据三角形的面积公式解答． 三、解答题 1  1  17．计算：  12 5  27   3 3   【答案】0 【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 1  1  【详解】解：  12 5  27   3 3   1 4  32 3 33 3 3 3 0 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． x 3 18．计算： 27x3 2x ． 3 x 【答案】4 3x 【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解：原式3 3x 3x2 3x 第 18 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 3x 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．计算： 1 3 (1) 48 12 1  6 3 4 1 (2) 16x2x  27x2  3x x 5 3 【答案】(1) 4； 2 (2) x 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算求解即可； （2）由题意可得：x0，根据二次根式的性质以及运算，求解即可． 1 3 【详解】（1） 48 12 1  6 3 4 2 3 3 3 4 32 3  3 2 5 3  4 2 （2）由题意可得：x0， 1 16x2x  27x2  3x x x 4 x2x 3 x x  x 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，涉及了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的有 关运算． 2 1 m 20．计算：2m  8m3 8 3m 6m 32 2 2 【答案】 6m 2m 3 3 【分析】根据二次根式的性质和加减法运算法则分别计算、化简即可． 第 19 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 1 m 【详解】2m  8m3 8 3m 6m 32 6m 4m22m 2m 2m  8 9m2 6m 322 2 6m 2m    2m 3 3 2 2  6m 2m． 3 3 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键． 1 a22a1 a22a1 21．已知a ，求  的值． 21 a1 a2a 【答案】3 【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算 即可． a22a1 a22a1 【详解】解：  a1 a2a a12 a12   a1 aa1 a1 a1 aa1 1 21 ∵ a      21＞0， 21 21 21 ∴a1＞0， a1 ∴原式a1 aa1 1 a1 a 1  211 21 21  22    21 21  22 21 3 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 第 20 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2 xyy 1 1 1 22．先化简再求值：  ，其中x ， y ． xy x2 xyy 32 2 32 2 【答案】xy,4 2 【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理 化法则把x、y化简，代入计算即可．  2 x y  2 【详解】解：原式  x y    x y x y     ＝ x y  x y xy， 1 32 2 当x     32 2， 32 2 32 2 32 2 1 32 2 y     32 2时： 32 2 32 2 32 2     原式 32 2  32 2 4 2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解 题的关键． 一、单选题 1．（2021·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ） 1 A． m B． m1 C． D． m21 m1 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即 可． 【详解】解：A、当m＜0时， m无意义，故此选项不符合题意； B、当m＜﹣1时， m1无意义，故此选项不符合题意； 1 C、当m＝﹣1时， 无意义，故此选项不符合题意； m1 第 21 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) D、m是任意实数， m21都有意义，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题 的关键． 2．（2021·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与 a是同类二次根式的是（ ） A． 2a B． 3a2 C． a3 D． a4 【答案】C 【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可． 【详解】解：A、 2a与 a被开方数不同，故不是同类二次根式； B、 3a2 = 3|a|与 a被开方数不同，故不是同类二次根式； C、 a3 =|a| a与 a被开方数相同，故是同类二次根式； D、 a4 =a2与 a被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做 同类二次根式． 3．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ） a A． 8a B． C． a2 D． a24 2 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、 8a 2 2a，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； a 2a B、  ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 2 2 C、 a2 =|a|，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、 a2 4  a2a2，是最简二次根式，故此选项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式概念，最简二次根式满足的条件是：被开方数中不含能开得尽方的因数或 第 22 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 因式，被开方数中不含分母． 4．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ） A． 4x29y2 B． 5x2y C． 12(xy) D． x22xyy2 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解． 【详解】解：A、 4x29y2 的被开方数的因式指数为1，故符合题意； B、 5x2y 的被开方数的因式分别为5，x2,y，其中x的指数为2，故不符合题意； C、 12(xy)的被开方数的因式有3，4,xy，其中4是2的平方，故不符合题意； D、 x22xyy2 的被开方数的因式为xy2，指数是2，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键． 5．（2021·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式 a b的有理化因式是（ ） A． a b B． a b C． ab D． ab 【答案】B 【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可． 【详解】解： ( a b)( a b)ab   a b的有理化因式是 a b ，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关 键． 6．（2020·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． a2b2 B． ab2 C． 4a4b D． a2b4 【答案】A 【分析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整 第 23 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整 式 A： a2b2 满足条件，正确； B： ab2= ab ，错误； C： 4a4b= 4 ab 2 ab ，错误；  D： a2b4= a2 b4  a b4，错误．   故答案选：A 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需要满足的条件是解题关键． 7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ） A． 22 =±2 B． 22 =2 C．( 2)2 2 D． (2)2 2 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质直接排除选项即可． 【详解】解：A、 22 2，故原题计算错误； B、 22 2，故原题计算正确；  2 C、  2 2，故原题计算正确； D、 22 |2|2，故原题计算正确： 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与2 3 2互为有理化因式的是（ ） A．2 3 2 B．2 3 2 C． 32 2 D． 32 2 【答案】B 【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案． 【详解】∵（2 3 2）（2 3 2，） =12﹣2， 第 24 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) =10， ∴与2 3 2互为有理化因式的是：2 3 2， 故选B． 【点睛】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式， 就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数 式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定. 二、填空题 9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3 2________-2 3 【答案】 【分析】根据二次根式的大小比较进行求解即可．  2  2 【详解】解：∵ 3 2 18， 2 3 12， ∴3 22 3． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解题的关键． 10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：① 16=_____；② (5)2 =_____；③ 5 10=_____． 【答案】 4 5 5 2 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则逐个化简计算即可． 【详解】解：①原式= 42 4；②原式= -5=5；③原式= 50=5 2． 故填：①4；②5；③5 2． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和乘法法则，灵活运用二次根式的性质进行化简与计算成为解答本 题的关键． 11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算： (3 7)2 ____________． 【答案】3 7 【分析】先判断3 7 的正负，再根据二次根式的性质化简即可．  2 【详解】解：∵3 7 0，∴ 3 7 3 7， 第 25 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：3 7 ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有： a2  a    a(a0) ，  a 2 aa0， ab  a ba0,b0， a  a （a≥0，b>0）． a(a0) b b x+1 ( ) 12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数 f (x)= ，那么 f 2- 1 = _____． x 【答案】2 2 【分析】根据题意可知x 21，代入原函数即可解答. x+1 【详解】因为函数 f (x)= ， x 2- 1+1 所以当x 21时， f(x)= = 2+ 2． 2- 1 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 13．（2019·上海宝山·统考二模）方程 2x134的解为______. 【答案】x1 【分析】先移项，再两边同时平方即可. 【详解】 2x134，移项得 2x11，两边同时平方2x-1=1,可得x=1, 故答案为x=1. 【点睛】本题考查的是二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 1 14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化： ________ 21 【答案】 21 【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理 数．完成分母有理化，常要用到平方差公式． 1 21 【详解】由题意得，   21 21 ( 21)( 21) a3b2 15．（2019·上海金山·统考二模）化简： (b0)的结果是____． 4 ab a 【答案】 2 第 26 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据二次根式的性质即可化简. 【详解】∵b0，∴a＞0 a3b2 ab a ∴ = 4 2 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质. 1 16．（2017·上海宝山·统考二模）计算： x2 x3 =______． 【答案】x2 1 【详解】原式= (x2)2x3  x4 x2 . 三、解答题 1 1 17．（2021·上海浦东新·统考二模）计算： 8 2 3  32． 21 【答案】-1 【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝2 2+ 3﹣ 2﹣（ 2+1）﹣ 3 ＝2 2+ 3﹣ 2﹣ 2﹣1﹣ 3 ＝﹣1． 【点睛】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2 18．（2021·上海金山·二模）计算：( 3 2)( 3 2) ( 2)21 3 ． 31 1 【答案】 ． 2 【分析】第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值 性质解答即可． 2( 31) 1 【详解】解：原式＝3﹣2+  ( 31) ( 31)( 31) 2 1 ＝3﹣2+ 3﹣1﹣ ﹣ 3+1 2 1 ＝ ． 2 【点睛】本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关 第 27 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 键． 19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算： 【答案】 . 【详解】试题分析：根据二次根式的运算进行计算即可. 试题解析： 5 5 5 原式5 5  5 5 5 5 5 51  5 5 6 5 考点：二次根式的计算. x24x4 x24 x 20．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：   ，其中x 21 x4 x2 x4 2 62 2 【答案】 ， ． x4 7 【分析】先运用分式除法、同分母分式加减法法则进行计算，再将x 21代入求值即可得出结论． x24x4 x24 x 【详解】解：   x4 x2 x4 x22 x2 x    x4 x2x2 x4 x2 x   x4 x4 2  ， x4 2 2 62 2 当x 21时，原式   ． 214 23 7 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算的相关运算法则是解题的关键． ab abb2 ab 21．（2021·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（  ）• ，其中a＝2+ 3，b＝ a22abb2 a2b2 1b 2﹣ 3． ab 3 【答案】 , ab 6 【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本 第 28 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 题． ab abb2 ab 【详解】解：（  ）• ， a22abb2 a2b2 1b ab b(ab) ab ＝[  ]• ， (ab)2 (ab)(ab) 1b 1 b ab ＝（  ）• ， ab ab 1b 1b ab ＝  ， ab 1b ab ＝ ， ab (2 3)(2 3) 43 1 3 当a＝2+ 3，b＝2﹣ 3时，原式＝ ＝ ＝ ＝ ． (2 3)(2 3) 2 32 3 2 3 6 【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则和二次根式 运算法则进行计算． 第 29 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 30 页 共 30 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司