专题11二次根式-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 11 二次根式 二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌 握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查 形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。 1. 二次根式 1 形如 a(a0)的式子叫做二次根式，如 3, , 0.02, 0 等式子，都叫做二次根式. 2 2. 最简二次根式 ①被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 2, ab,3 x, a2 b2 等都是最简二次根式. 要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指 数2. 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 第 1 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 8 8 2 2 2 8 4. 二次根式的性质 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若 他 们 的 积 不 含 二 次 根 式 ， 则 这 两 个 代 数 式 互 为 有 理 化 因 式 . 常用二次根式的有理化因式： ① a 与 a 互为有理化因式； ②a＋ b 与a- b 互为有理化因式； ③ a ＋ b 与 a - b 互为有理化因式。 第 2 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． x B． x21 C． x21 D．35 x5 2．代数式 有意义，则x的取值范围是（ ） x6 A．x5 B．x≥5 C．x5且x6 D．x≥5且x6 3．下列各式中，能与 3合并的是（ ） 2 A． 12 B． 23 C． D． 32 3 4．下列式子中二次根式有（ ） 1 1 ① ；② 3；③﹣ x21；④38；⑤ ( )2 ；⑥ m 1；⑦ x22x1；⑧ 1x (x1)． 3 3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） 2 A． 6 B． 0.3 C． D． 12 3 6．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． 13 B． 12 C． 2a2b D．38 7．下面说法正确的是（ ） A． 14是最简二次根式 B． 2与 20是同类二次根式 C．形如 a的式子是二次根式 D． a2 a 8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 a28a16 a112 结果为（ ）． A．7 B．7 C．2a15 D．无法确定 第 3 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二、填空题 9．当m___________时，二次根式 13m有意义． 10．若y x5 102x4，则 xy _________． 2x4 11．函数y 的定义域为________． x1 12．已知函数 f(x) 2x3，若 f(a)2，则a________． 3x 3x 13．  成立的条件是_________． x1 x1 m 14．若m0，化简2n ___________． n y 15．已知xy0，化简二次根式x  的结果是______． x2 y2 16．计算： 12x y0________． 3x 6.二次根式的运算 ①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代 替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． ②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根 指数不变，即合并同类二次根式. 要点： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二 次根式.如 23 25 2 (135) 2  2. ③乘除法： 乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 第 4 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法  (a0,b0) a a b b  (a0,b0) b b 要点： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 (4)(9)  4 9 . ④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都 适用于二次根式 一、单选题 1．下列各式的计算正确的是（ ） 4 4 2 2 2 1 A．    B． 4 2 2 9 9 3 3 9 3 3 3 2 3 11 3 C． 2 3 D．  3    4 11 3 11 3 11 1 2．估算： 15 的值应在（ ） 3 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 49 7 3．下列等式：①  ，②323 2，③ 18 2 9，④ 5 2 5 3 5，⑤ 64 8    5 3 5 2 5 6．正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．二次根式 xy 的一个有理化因式是（ ） A． xy B． x y C． x y D．2 xy 5．下列各式中，是a2 b的有理化因式的是（ ） A．2a b B．2a b C．a2 b D．a2 b 第 5 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6．下列结论正确的是（ ） A． xy的有理化因式可以是 xy B． (1 2)2 1 2 C．不等式（2﹣ 5）x＞1的解集是x＞﹣（2+ 5） D． a2b2 是最简二次根式 1 7．已知a＝ ，b＝2+ 5，则a，b的关系是（ ） 52 A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 ab 8．甲、乙两位同学对代数式 (a0,b0)，分别作了如下变形：甲： a b ab ab a b  ab  a b  a b       a b，乙：   a b．关于这两种变 a b a b a b a b a b 形过程的说法正确的是（ ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 二、填空题 14 9．计算： ___________． 35     2 10．计算：（1） 31 31 ______；（2） 51 ______． 1 （3） 48 3______；（4）  50 ______． 2 11．不等式 3x3x6的解集是________. a2b3 12．将 （a0，b0）化为最简二次根式：_____． 4 13．若最简二次根式 x21与y13x21是同类二次根式，则xy______． 14．若 2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(1 2a)b的值为________． 第 6 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 15．已知 a 3，则a ______． a a 16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用 三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：S  ppapbpc，它的特点是形 abc 式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：p ；已知三角形最短边是3，最 2 长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________． 三、解答题 1  1  17．计算：  12 5  27   3 3   x 3 18．计算： 27x3 2x ． 3 x 19．计算： 1 3 (1) 48 12 1  6 3 4 1 (2) 16x2x  27x2  3x x 2 1 m 20．计算：2m  8m3 8 3m 6m 32 1 a22a1 a22a1 21．已知a ，求  的值． 21 a1 a2a x2 xyy 1 1 1 22．先化简再求值：  ，其中x ， y ． xy x2 xyy 32 2 32 2 一、单选题 1．（2021·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ） 1 A． m B． m1 C． D． m21 m1 2．（2021·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与 a是同类二次根式的是（ ） A． 2a B． 3a2 C． a3 D． a4 第 7 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ） a A． 8a B． C． a2 D． a24 2 4．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ） A． 4x29y2 B． 5x2y C． 12(xy) D． x22xyy2 5．（2021·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式 a b的有理化因式是（ ） A． a b B． a b C． ab D． ab 6．（2020·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． a2b2 B． ab2 C． 4a4b D． a2b4 7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ） A． 22 =±2 B． 22 =2 C．( 2)2 2 D． (2)2 2 8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与2 3 2互为有理化因式的是（ ） A．2 3 2 B．2 3 2 C． 32 2 D． 32 2 二、填空题 9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3 2________-2 3 10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：① 16=_____；② (5)2 =_____；③ 5 10=_____． 11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算： (3 7)2 ____________． x+1 ( ) 12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数 f (x)= ，那么 f 2- 1 = _____． x 13．（2019·上海宝山·统考二模）方程 2x134的解为______. 1 14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化： ________ 21 a3b2 15．（2019·上海金山·统考二模）化简： (b0)的结果是____． 4 1 16．（2017·上海宝山·统考二模）计算： x2 x3 =______． 第 8 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三、解答题 1 1 17．（2021·上海浦东新·统考二模）计算： 8 2 3  32． 21 2 18．（2021·上海金山·二模）计算：( 3 2)( 3 2) ( 2)21 3 ． 31 19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算： x24x4 x24 x 20．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：   ，其中x 21 x4 x2 x4 ab abb2 ab 21．（2021·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（  ）• ，其中a＝2+ 3，b＝ a22abb2 a2b2 1b 2﹣ 3． 第 9 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 10 页 共 10 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司