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专题 19 统计与概率
统计与概率也是中考选填题里可能出现的一个重要知识点，主要考查有关概念的理解，概念的应用，
及其相关计算，如概率的计算，数据的分析有关计算；主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想
方法．
一 数据的收集与整理
统计调查的一般步骤：
1、 明确问题 2、确定对象 3、选择合适的调查方法和形式
4、展开调查 5、统计并整理调查结果 6、分析调查结果并得出结论。
常见的数据收集方法：问卷调查、实地调查、媒体调查等。
数据收集的方式：全面调查和抽样调查。
全面调查：为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查。全面调查有时也叫普查（如：人口
普查）。
全面调查的优缺点：全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全
面调查。
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抽样调查：抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况叫抽样调查。
所要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被抽取的那部分个体组成总体的一个样
本，样本中个体的数目叫这个样本的容量（样本容量没有单位）。
抽样调查的优缺点：抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总
体估计的准确程度。
抽样调查的方式：民意调查法、实地调查法、媒体调查法等。
【使用抽象调查时的注意事项】
1） 选取的样本有代表性；
2） 选取的样本有足够的多；
3） 选取样本时，要避免遗漏总体中的某一部分。
二、数据的描述
频数概念：某类数据出现的次数称为这类数据的频数，各对象的频数之和等于数据总数。
频率概念：频数与总次数的比值称为这类数据的频率，即频率= 。各对象的频率之和等于1.
组数和组距：在统计数据时，把数据进行适当分组，把分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做
组距。
条形统计图：
特点：①能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数目之间的差别。③较简单，易绘制。
缺点：对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，
若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉。
画条形统计图方法：
1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线；
2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔；
3）在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少；
4）按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量。
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扇形统计图：
特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小。
缺点：在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的
百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解。
画扇形统计图方法：
1）根据有关数据先算出各部分在总体中所占得百分比（百分数= 100％），在计算各部分的圆心角的
度数（）各部分扇形圆心角的度数=部分占总体百分比360°；
2）按比例取适当的半径画圆；
3）按求得的扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
4）在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分出来。
折现统计图：
特点：①能清楚的反映事物的变化情况；②显示数据的变化趋势。
缺点：在折线图中，若横坐标被压缩，纵坐标被放大，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，
反之，统计量变化缓慢。
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频数分布直方图：
概念：以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小。小长方形的高是频数与组距的比值 。
频数
小长方形面积＝组距 ＝频数
组距
特点：直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别。
画频数直方图的一般步骤：
1） 计算数极差(最大值与最小值的差)；
2）确定组距和组数；（分组时要遵循：不空、不重、不漏的原则）
3）决定分点；
4）列频数分布表；频数：落在个小组内的数据的个数。
5）画频数直方图 。
画频率分布折线图一般步骤：
1)计算准确，确定组距、组数，并将数据分组;
2)列出频数分布表，并确定组中值;
3)以组中值为横坐标，频数为纵坐标，根据组中值所在的组的频数在坐标系中描点，依次用线段把它们连
成折线，(画频数分布折线图，并不一定要先画出频数分布直方图)。
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4)画频数分布折线图时，在两侧各加一个虚设的附加组，这两个组都是零频数，所以不会对统计量造成影
响，它的作用是使折线与横轴组成封闭折线，给进一步的研究带来方便。
三、算术平均数和加权平均数
1
一般地，对于n个数x、x、x、… x ，我们把 x +x +x ++x 叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，
1 2 3 n n 1 2 3 n
1
记作x .计算公式为x x +x +x ++x .
n 1 2 3 n
xw x w ...x w
若n个数x、x、… x 的权分别是w、w、… 、w ，则 1 1 2 2 n n 叫做这n个数的加权平均数.
1 2 n 1 2 n w w ...w
1 2 n
四、中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为
这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都
一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
五、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或
太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数
没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
六、方差和标准差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差s2
的计算公式是：
1
S2 x x 2 (x x)2 ...(x x)2
n 1 2 n
要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的k2
倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号s表示，即：
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；标准差的数量单位与原数据一致.
一、单选题
1．（2023春·上海·九年级专题练习）为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种
水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的（ ）决定
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．（2023春·上海·九年级专题练习）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所
示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）
次数 2 3 4 5
人数 2 2 10 6
A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次
3．（2023春·上海·九年级专题练习）小丽连续7次的数学考试成绩分数是：93、85、88、89、90、87、
90．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是88 B．众数是90 C．平均数是89 D．方差是87
4．（2023春·上海·九年级专题练习）为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最
值得关注的统计量是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
5．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，上海某有机草莓农场为了解今年草莓的收成情况，随机选择
了一个大棚摘取草莓并逐一称重（精确到1g），绘制出频率分布直方图（每组数据含最低值，不含最高
值）．如果质量不小于20g的草莓为“大果”，则可估计500kg草莓中“大果”的总质量是（ ）
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A．35kg B．170kg C．175kg D．380kg
6．（2022春·九年级单元测试）某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示．
年利润（千万元） 50 4 3 1
子公司个数 1 2 2 4
根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
二、填空题
7．（2021秋·上海虹口·九年级校考期末）甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同
学成绩的方差S 2 6.5，乙同学成绩的方差S 2 3.1，则他们的数学测试成绩较稳定的是___________ （填
甲 乙
“甲”或“乙”）．
8．（2023春·上海·九年级专题练习）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在7天中每天所出的
次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，3，0，3.那么该班组在7天中出的次品数的方差的值是______.
9．（2022春·上海青浦·九年级校考期中）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为
了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘
制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分—99.5分的学生大约有
_____名．
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10．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、
2、3、4组的频数分别为6、7、10、13，则第5组的频率为 _____．
11．（2023春·上海·九年级专题练习）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式
之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打
分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的
打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 _____分．
老师 老师 老师 老师 老师 老师 老师
1 2 3 4 5 6 7
打
9 10 7 8 8 9 10
分
12．（2023春·上海·九年级专题练习）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调
查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2
小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅
读时间不低于3小时的人数是_____．
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13．（2023春·上海·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名
第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：
俄罗
挪 德 中 美 瑞 荷 奥地 瑞 法
国家 斯代
威 国 国 国 典 兰 利 士 国
表队
金牌数（枚） 16 12 9 8 8 8 7 7 6 5
那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚．
14．（2022·上海虹口·统考二模）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，
随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的
九年级学生人数约为______．
15．（2020春·上海静安·九年级校考期中）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩
如图6－Z－2所示，那么三人中成绩最稳定的是________．
16．（2022·上海松江·统考二模）某学校组织主题为“保护自然，爱护家园”的手抄报作品评比活动．评
审组对各年级选送的作品数量进行了统计，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．那么选
送的作品中，七年级的作品份数是____________．
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17．（2022春·九年级单元测试）“双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服
务，因此放学时间也有差异，有甲（16：30）、乙（17：20）、丙（18：00）三个时间点供选择.为了解某校
七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如下不完整的统计图
表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为_______度.
放学时间 人数
甲（16:30） 10
乙（17:20） 26
丙（18:00） 未知
18．（2023春·上海·九年级专题练习）已知x，x，x ，…，x 的平均数是5，方差是2，则3x 2，
1 2 3 20 1
3x 2，3x 2，…3x 2的平均数是_____，方差是____．
2 3 20
七必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
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（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
要点：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生
的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
八、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability)，记为 .
要点：
(1) 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2) (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即 ，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，
0
