专题04一次方程(组)与不等式（组）-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 04 一次方程(组)与不等式（组） 一次方程（组）及其应用是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的解方程及 其应用题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法． 一元一次不等式（组）及其应用是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题、简单的解 不等式及其应用题和渗透在大题中的计算的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想 方法．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等。 第 1 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、等式的性质 等式的概念：用等号表示相等关系的式子。 注意： 1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。 2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式 的一边。 等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果a=b，则a±c=b±c 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 表示为：如果 a=b，那么ac = bc 如果 a=b(c≠0)，那么 = 【注意事项】 1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。 2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。 二、一元一次方程 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 特征：它含有未知数，同时又是—个等式。 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0） 【特征】1.只含有一个未知数x；2.未知数x的次数都是1；3.等式两边都是整式，分母中不含未知数。 三、解一元一次方程 合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 第 2 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） 去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有 小数时，先将小数化成整数。 解一元一次方程的基本步骤： 四、实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 、 一、单选题 1．下列等式的变形中，正确的是（ ） a b A．如果  ，那么a=b B．如果|a|=|b|，那么a=b c c a b C．如果ax =ay，那么x= y D．如果a=b，那么  c c 【答案】A 【分析】根据等式的性质逐项分析即可． a b 【解析】A.如果  ，那么两边都乘以c可得a=b，故正确； c c 第 3 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确； C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确； a b D.如果a=b，当c=0时，  不成立，故不正确； c c 故选A． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两 边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 2 2．下列各式：①253；②3x5=x23x；③2x11；④ 1；⑤2x3；⑥x4．其中是一元一 x 次方程的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【解析】解：①不含未知数，故错 ②未知数的最高次数为2，故错 ③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ④左边不是整式，故错 ⑤不是等式，故错 ⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键 3．若x3是关于x的方程2xm10的解，则m的值为（ ） A．1 B．1 C．5 D．5 【答案】D 【分析】将x3代入方程即可求解． 【解析】解：将x3代入方程得：6m10 解得m5 故答案为D． 【点睛】此题考查了方程解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键． 第 4 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4．某同学在解关于x的方程5ax13时，误将x看成了x，得到方程的解为x2，则a的值为（ ） 11 A．3 B． C．2 D．1 5 【答案】B 【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值． 【解析】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13， 11 解得：a＝ ， 5 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．若关于x的方程3x72xa的解与方程4x3a7a8的解互为相反数，则a的值为（ ） A．2.5 B．2.5 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】先将两个一元一次方程的解求出，然后根据这两个解互为相反数求解即可得． 【解析】解：3x72xa， 解得：xa7， 4x3a7a8， 解得：xa2， ∵方程的两个解互为相反数， ∴a7a20， 解得：a2.5 故选：A． 【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方程，相反数的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关 键． 6．如果关于x的方程(a3)x2021有解，那么实数a的取值范围是（ ） A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 【答案】D 【分析】根据方程有解确定出a的范围即可． 【解析】解：∵关于x的方程(a3)x2021有解， ∴a30， 第 5 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴a3； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键． 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物 价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物 价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（ ） A．8x37x4 B．8x37x4 y3 y4 y3 y4 C．  D．  8 7 8 7 【答案】D 【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是y钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即 可确定正确答案 【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4 设物价是y钱，则根据可得： y3 y4  8 7 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 1 8．已知关于x的一元一次方程 x32xb的解为x2，那么关于y的一元一次方程 2022 1 2y1322y1b的解是（ ） 2022 1 b b A．y B．y2 C．y D．y 2 4043 8086 【答案】A 1 【分析】根据关于x的一元一次方程 x32xb的解为x=2得出关于y的一元一次方程 2022 1 2y1322y1b中的2y+1=2，再求出方程的解即可． 2022 1 【解析】解：∵关于x的一元一次方程 x32xb的解为x=2， 2022 1 ∴关于y的一元一次方程 2y1322y1b中的2y+1=2， 2022 1 解得：y= ， 2 第 6 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即方程 1 2y1322y1b的解是y= 1 ， 2022 2 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是等量代换得出一元一次方程 2y+1=2． 4ax x 9．已知关于x的方程x  1的解是负整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）． 6 3 A．4 B．5 C．11 D．12 【答案】B 4ax x 【分析】首先求解x  1，得到x的值；再结合题意，根据x的值是负整数，通过列方程并求解， 6 3 即可得到答案． 4ax x 【解析】∵x  1 6 3 ∴6x4ax2x6 ∴4ax2 2 ∴x 4a 4ax x ∵关于x的方程x  1的解是负整数 6 3 2 ∴ 0 4a 2 当4a2时， 1 4a 2 当4a1时， 2 4a ∴a2或a3 ∴符合条件的所有整数a的和是：-5 故选：B． 【点睛】本题考查了负数、整数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握负数、整数、一元一次方 程的性质，从而完成求解．  1 1 x (4a2)   4 2 2ya y4 10．若关于x的一元一次不等式组 的解集是xa，且关于y的分式方程  1有 3x1 y1 1y  x2  2 第 7 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A．0 B．1 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先解关于x的一元一次不等式组，根据其解集xa，求出a的取值范围，再解分式方程，根据其 有非负整数解，求出a的取值范围，进而可得符合要求的a值，最后求和即可．  1 1 x 4a2   4 2 xa 【解析】解：由不等式组 ，解得：  3x1 x2 x5  2 ∵不等式组的解集为xa ∴a5 2ya y4 由分式方程  1 ，去分母得2yay4 y1 y1 1y a3 解得y ，y1 2 ∵分式方程有非负数解 ∴a3且a3 ∴a的取值为3，2，1，0，1，2，4 ∴符合条件的所有整数a的和为32101241 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题的关键在于求出符合条件的所有整数a． 二、填空题 11．方程k2x2k3 40是关于x的一元一次方程，那么k的值是______ 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的定义得出 2k3 1 ，且k20 ，解绝对值及不等式即可得出答案． 2k3 1 【解析】由题意得， k20 解得k1 ． 故答案为：1 ． 第 8 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为 整式的等式，正确把握一次项系数不能为零是解题的关键． xa 2xa 12．关于x的方程4x53x1的解与  1的解相同，则a的值为______． 2 3 【答案】8 xa 2xa 【分析】先求出4x53x1的解，然后代入  1，即可求出答案． 2 3 【解析】解：∵4x53x1， 解得：x2； xa 2xa 把x2代入  1中，得 2 3 2a 22a  1， 2 3 解得：a 8； 故答案为：8； 【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 13．已知关于x的方程axcda0的解是x1，那么关于m的方程amd 3aca0的解是______． 【答案】m=4 【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程 amd 3aca0）即可． 【解析】解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c， 把d=a+c代入方程amd 3aca0， 得am(ac)3aca0， 即am=4a， m=4． 故答案为：m=4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 2 1 14．一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，第二天耕了剩下部分的 ，还剩下42公顷没耕完，则 3 3 这片地共有______公顷． 第 9 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】189 2 1 2  1 【分析】设这片地共有x公顷，则第一天耕了 x公顷，第二天耕了 x x x，根据题意，列出方程， 3 3 3  9 即可求解． 2 1 2  1 【解析】解：设这片地共有x公顷，则第一天耕了 x公顷，第二天耕了 x x x，根据题意得： 3 3 3  9 2 1 x x x42， 3 9 解得：x189 ， 答：这片地共有189公顷． 故答案为：189 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 15．已知关于x的方程mx32的解满足 x2 0，则m的值是_________． 1 【答案】 ##-0.5 2 【分析】解|x-2|=0得到x=2，把x=2代入mx+3=2即可得到m的值． 【解析】解：∵|x-2|=0， ∴x-2=0， ∴x=2， 把x=2代入mx+3=2得2m+3=2， 1 ∴m=- ． 2 1 故答案为：- ． 2 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，掌握0的绝对值是0是解题的关键． x x x 16．方程x   2019的解是x____. 12 123 1220182019 【答案】1010 【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解. x x x 【解析】∵x   2019 12 123 1220182019 2 2 2 2 ∴方程整理为：x(      )2019 12 23 34 20192020 1 1 1 1 即2x(     )2019  12 23 34 20192020 第 10 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 1 1 1 1 1 即2x(1        )2019  2 2 3 3 4 2019 2020 1 2019 化简得，2x(1 )2019，即2x 2019  2020 2020 整理得，2x2020 解得，x1010 故答案为：1010. 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐 向x=a的形式转化. 三、解答题 17．解下列方程： (1)2.4x3x2.41.4x； (2)x62x1149x2； 2x1 5x2 12x (3)   2； 3 6 2 3.10.2x 0.20.03x 3 (4)   ． 0.2 0.01 2 【答案】(1)x1.2 1 (2)x 10 (3)x=1 (4)x3 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可； （3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可； （4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程． (1) 解：2.4x3x2.41.4x， 第 11 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 移项，得2.4x3x1.4x2.4， 合并，得2x2.4， 系数化为1，得x1.2； (2) 解：x62x1149x2， 去括号，得x12x6149x18， 移项，得20x2， 1 系数化为1，得x ； 10 (3) 解：去分母，得2(2x1)(5x2)3(12x)12， 去括号，得4x25x236x12， 移项，得4x5x6x31222， 合并，得5x5， 系数化为1，得x=1； (4) 5(3.10.2x) 100(0.20.03x) 30.5 解：   ， 50.2 1000.01 20.5 整理，得15.5x203x1.5， 移项，得x3x1.515.520， 合并，得2x6， 所以x3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键， 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 18．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数小 27，求这个两位数． 【答案】这个两位数为38． 【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x5)，根据个位上的数字与十位上的数字的和比这个两 位数小27建立方程求出其解即可． 【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x5)，由题意，得 第 12 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) xx5[10x(x5)]27， 解得：x3． 则个位上的数字为：x58． 所以这个两位数为38． 答：这个两位数为38． 【点睛】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据 个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数小27建立方程是关键． 一、二元一次方程（组）有关概念 ①二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 【注意】 1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含 有两个未知数，如Error!也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方 程必须一共含有两个未知数。 1） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。 2） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。 ②二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 【注意】 1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。 2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。 如：Error!有的方程组无解，如：Error! 二、解二元一次方程组 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉 的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一 解决的思想，叫做消元的思想。 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方 程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 基本思路：未知数由多变少。 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 3.解：解一元一次方程 4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 5.写：写出方程组的解。 6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解， 负责解题有误。 三、列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 1. 审：审题，明确各数量之间的关系。 第 13 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2. 设：设未知数 3. 找：找题中的等量关系 4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组 5. 解：解方程组，求出未知数的值 6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。 四、三元一次方程的解法 解二元一次方程的基本步骤： 1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验 解三元一次方程的基本步骤 1.变形（变三元一次为二元一次） 2.求解：解二元一次方程组 3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数 5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（ ） 1 2 A．3x+4＝9 B．  2 C．x2+y＝0 D．6x+y＝2 x 3y 【答案】D 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解析】解：A．3x+4=9，是一元一次方程，故本选项不合题意； 1 2 B．  2，是分式方程，故本选项不合题意； x 3y C．x2+y=0，是二元二次方程，故本选项不合题意； D.6x+y=2，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式 方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二 元一次方程． x2 2．已知 是二元一次方程5x+3y＝1的一组解，则m的值是（ ） ym 11 11 A．3 B．﹣3 C． D． 3 3 第 14 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】B 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以 求出m的值． x2 【解析】解：把 代入二元一次方程5x+3y=1得： ym 10+3m=1， 解得：m=-3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为 未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字 母的值． 3．如果3x3m-2n -4yn-m 120是二元一次方程，那么m、n的值分别为（ ） A．2、3 B．2、1 C．3 、4 D．－1、2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方 3m2n1 程叫做二元一次方程可得 ，解二元一次方程组即可求得m,n的值． nm1 【解析】解：∵3x3m-2n -4yn-m 120是二元一次方程， 3m2n1① ∴ nm1② ①+②×2得：m3， 将m3代入②，n31 解得n4 m3  n4 故选C 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组， 根据二元一次方程的定义列二 元一次方程组是解题的关键． 第 15 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3x4y2 2x5y9 4．已知关于x，y的方程组 和 的解相同，则3ab2021的值为（ ） axby4 bxay3 A．1 B．﹣1 C．0 D．2021 【答案】B 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可 求出所求． 3x4y2 【解析】解：联立得： ， 2x5y9 x2 解得： ， y1 2ab4 则有 ， 2ba3 a1 解得： ， b2 ∴3ab2021312 2021 1，   故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程 都成立的未知数的值． xmy0 x1 5．关于x，y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是  xy3 y• （ ） 1 1 1 1 A． B． C． D． 2 2 4 4 【答案】A 【分析】把x=1代入方程组，求出y，再将y的值代入1+my=0中，得到m的值． 1my0 【解析】解：把x=1代入方程组，可得 ，解得y=2， 1y3 1 将y=2代入1+my=0中，得m= ， 2 故选：A． 第 16 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查了利用二元一次方程组的解求方程中的字母值，正确理解方程组的解的定义是解题的关 键． axbyc x4  a 2m6bnc b 6．已知关于x，y的方程组 1 1 1 的唯一解是 ，则关于m，n的方程组 1 1 1 1 a 2 xb 2 yc 2 y1  a 2 2m6b 2 nc 2 b 2 的解是（ ） m5 m4 m1 m5 A． B． C． D． n2 n1 n1 n1 【答案】A  a 2m6b n1c 【分析】先将关于m,n的方程组变形为 1 1 1 ，再根据关于x,y的方程组的解可得  a 2 2m6b 2 n1c 2 2m64  ，由此即可得出答案． n11  a 2m6b n1c 【解析】解：关于m,n的方程组可变形为 1 1 1 ，  a 2 2m6b 2 n1c 2 2m64 由题意得： ， n11 m5 解得 ， n2 故选：A． 【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键． 7．整式mxn的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x -2 -1 0 1 2 mxn -12 -8 -4 0 4 则关于x的方程mxn8的解为（ ）A．x3 B．x0 C．x1 D．x2 【答案】A 【分析】根据题意得出方程组，求出m、n的值，再代入求出x即可． 第 17 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2mn12 【解析】解：根据表格可知： ， mn8 m4 解得： ， n4 ∴整式mxn为4x4 代入mxn8得：-4x-4=8 解得：x=-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键． 3x5y2a 8．已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是( ) x2ya5 x10 ①当a＝5时，方程组的解是 ； y20 ②当x，y的值互为相反数时，a＝20； ③当2x2y＝16时，a＝18； ④不存在一个实数a使得x＝y． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】C 【分析】①把a＝5代入方程组求出解，即可做出判断； ②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断； ③当2x2y＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程组求出a的值，即可做出判断； ④假如x＝y，得到a无解，本选项正确；． 3x5y10 【解析】解：①把a＝5代入方程组得： ， x2y0 x20 解得： ，本选项错误； y10 ②由x与y互为相反数，得到x+y＝0，即y＝﹣x， 3x5x2a 代入方程组得： ， x2xa5 第 18 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解得：a＝20，本选项正确； ③当2x2y＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x 3x5x202a 代入方程组得： ， x2x8a5 解得：a＝18，本选项正确； 2x2a ④若x＝y，则有 ，可得a＝a﹣5，矛盾， xa5 故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 二、填空题 x2 9．若 是关于x,y的二元一次方程axby1的解，则4a6b3_________． y3 【答案】5 x2 【分析】把 代入axby1中得出2a3b1，将2a3b1代入得出4a6b的值求解即可． y3 x2 【解析】解：将 代入axby1得：2a3b1， y3 ∴4a6b22a3b2， 故4a6b35． 故答案为：5． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键． 2xy0  x5 10．小亮解方程组  的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★， 2xy● y★ 请你帮他找回★和●，这个数★＝_____，●＝_____． 【答案】 -10 20 【分析】将x=5代入2x+y=0中，求得y即★=-10，将x=5，y=-10代入第二个方程求出●． 第 19 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：将x=5代入2x+y=0中，得10+y=0， 解得y=-10，即★=-10， 将x=5，y=-10代入第二个方程2x-y=●， 得●=251020， 故答案为：-10，20． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解求参数，正确理解题意将对应的值代入对应的方程是解题的 关键． 2x3y54m 224m 11．关于x、y的二元一次方程组 的解满足5x y ，则m的值是_______． 3x4ym3 7 【答案】2 224m 【分析】先两式相加得5xy83m，再整体代入方程5x+y= 得到关于m的方程，解方程即可求出 7 m的值． 2x3y54m① 【解析】解： ， 3x4ym3② ①+②得5xy83m， 224m 224m 把5xy83m代入5x+y= 得83m ， 7 7 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，同时也考查了求一元一次方程的解．整体代入是解 题的关键． 12．幻方，又称为九宫格，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．如图1，它是在33的9个格子中填入 9个数，使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．在如图2所示幻方中，只填了5个用字母表示的 数，根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，则右上角“x”所表示的数应等于_______． 第 20 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】3 【分析】根据题意先求出对角线上数字的和，然后再构建一元一次方程进行求解； 【解析】解：设x左边的两个数为y和z， 根据题意得：n-a+z=n+m+x①，a+6+m+y=n+m+x②，x+y+z=n+m+x③， ①+②得：n+6+m+（y+z）=2m+2n+2x； 由③得：y+z=n+m 解得：x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查三元一次方程的应用，如果能看透题目，充分利用已知，那么解决问题的难度将大大降 低． 三、解答题 x y1 13．（1）  4x3y5 x3y 3   （2） 2 5  5(x2y)4 5x6y3 （3） 7x4y9 xyz4  （4）2xyz3  3x2y3z5 x0 x1 x2  x3  【答案】（1） ； （2） 2 ；（3） ；（4）y1 y1  y y3   5 z2 【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先变形方程组，然后用加减消元法解二元一次方程组； （3）用加减消元法解二元一次方程组； （4）用加减消元法解三元一次方程组即可． 第 21 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x y1① 【解析】解：（1） 4x3y5② 把①代入②得：4y13y5，解得y1， 把y1代入①得：x112， x2 ∴方程组的解为 ； y1 x3y 3   （2） 2 5  5(x2y)4 5x15y6① 方程组可变为： ， 5x10y4② 2 ①②得：25y10，解得：y ， 5 2 2 把y 代入①得：5x15 6， 5 5 解得：x0， x0  ∴原方程的解为： 2； y   5 5x6y3① （3） ， 7x4y9② ①2②3得：11x33，解得：x3， 把x3代入①得：536y3，解得：y3， x3 ∴原方程组的解为 ； y3 xyz4①  （4）2xyz3②  3x2y3z5③  ①+②-③得：2y5z12④， ①2②得：3yz5⑤， ④⑤5得：13y13，解得：y1， 把y1代入④得：25z12，解得：z2， 第 22 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 把y1，z2代入①得：x124，解得：x1， x1  ∴方程组的解为：y1．  z2 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题 的关键． 14．在哈尔滨近期疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协 商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆 甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． (1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ (2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5000元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？ 【答案】(1)租用一辆甲型汽车费用为800元，租用一辆乙型汽车费用为850元 (2)2辆 【分析】（1）设租用一辆甲型汽车费用为x元，租用一辆乙型汽车费用为y元，根据题意可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之，即可得出答案； （2）设该公司租用a辆甲型汽车，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的解集，即可得出答 案． 【解析】（1）设租用一辆甲型汽车费用为x元，租用一辆乙型汽车费用为y元， x2y2500 根据题意有： ， 2xy2450 x800 解得： ． y850 答：租用一辆甲型汽车费用为800元，租用一辆乙型汽车费用为850元； （2）设该公司租用a辆甲型汽车， 根据题意可得：800a8506a5000， 解得：a2， 答：该公司至少租用2辆甲型汽车． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系或 第 23 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 不等关系，正确列出等式或不等式是解题关键． 15．某店三八节推出A，B，C三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束．在3月 7日，A，B，C三种花束的单价之比为3：4：2，销量之比为1：1：3．在3月8日，由于供不应求，该花 店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加．A，C花束增加的销售额之比为 1：2，3月8日B花束的单价上调25%且A，B花束的销售额之比为4：5．同时三种花束的销量之比不变， 若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，求3月8日当天的利润率． 【答案】36% 【分析】设3月7日A、B、C三种花束的单价分别为3x、4x、2x，销量分别为m、m、3m，3月8日的三 种花束的销量分别为n、n、3n，把这两天三种花的单价、销量均表示出来，根据3月8日三种花束的单价 之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，列出方程求出x，再用整体法求出利润率即可． 【解析】解：设3月7日A、B、C三种花束的单价分别为3x、4x、2x，销量分别为m、m、3m， ∵3月8日的三种花束的销量之比不变， ∴设3月8日的三种花束的销量分别为n、n、3n， ∵3月8日B花束的单价上调25%， ∴3月8日B花束的单价为4x（1+25%）＝5x， ∵3月8日A，B花束的销售额之比为4：5， ∴3月8日B花束的销售额为5nx，A花束的销售额为4nx， 4nx ∴3月8日A花束的单价为 ＝4x， n ∵3月8日三A，C花束增加的销售额之比为1：2， ∴A花束增加的销售额为：4nx−3mx， ∴C花束增加的销售额为：8nx−6mx， 8nx6mx6mx 8 ∴3月8日C花束的单价为： ＝ x， 3n 3 ∵3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元， 8 ∴4x+5x+ x−（3x+4x+2x）＝96， 3 ∴x＝36， 4nx5nx8nx105n135n703n ∴3月8日的利润率为： ×100%＝36%， 105n135n210n ∴3月8日的利润率为36%． 第 24 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了三元一次方程的应用，用代数式表示每个参数并用整体法求解是题答本题的关 键． 一、不等式的有关概念和性质 ①不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表 示不等关系的式子也是不等式。 【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“,,,,”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边 的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或 等于）；“”表示左右两边不相等。 3.在不等式a>b或ab，则a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即 若a>b,c>0，则ac>bc（或 ） 基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即 若a>b,c<0，则acb，则bb>c，则a>c。 基本性质6：如果ab，cd，那么acbd . 【注意】 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 ③不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点： 1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立 2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 二、不等式的解与解集： 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等 式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上 直观地表示出来，是数形结合的具体表现。 一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况： 不等式表示 xa xa xa xa 数轴表示 a a a a 【注意】 第 25 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。 2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。 解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 三、解一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这 样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：axb0或axb0a0。 4 y 2 例如，x13， 0是一元一次不等式，而x y 0， 53x不是一元一次不等式。 2 x 一元一次不等式的解集的表示方法： 表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。 下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况： 【注意】 1、 用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。 2、 若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。 3、 定方向时要注意“小于向左，大于向右”。 解一元一次不等式的一般步骤： ① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 解一元一次方程和解一元一次不等式的区别： 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数 不等式两边加（或减）同一个数（或式 （或式子），方程的解不变 子），不等号的方向不变 方程的两边乘（或除以）同一个 不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不为零的数，方程的解不变 不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项； ①去分母；②去括号；③移项；④合并 ④合并同类项；⑤未知数的系数 同类项；⑤未知数的系数化为1 化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除 以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 四、解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等 式组的解集。 ②组解集的确定方法： 第 26 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【注意】 1、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。 2、利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤： 1.求出不等式组中各不等式的解集 2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 五、列一元一次不等式（组）解应用题 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”， 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）验：检验答案是否符合题意. （6）答：写出答案. 在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为: 问题 分析 不等式 求解 解答 . 抽象 检验 一、单选题 1．下列变形中不正确的是（ ） A．由m＞n得n＜m B．由﹣a＜﹣b得b＜a 第 27 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 C．由﹣4x＞1得x D．由 x y得x＞﹣3y 4 3 【答案】C 【分析】由题意直接根据不等式的性质逐项进行分析判断即可. 【解析】解：A、m＞n，n＜m，故A正确； B、-a＜-b，b＜a，故B正确； C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的性质，注意本题考查不正确的，以防错选． 2．下列说法错误的是（ ） A．不等式x32的解集是x5 B．不等式x3的整数解有无数个 C．不等式x33的整数解是0 D．x0是不等式2x3的一个解 【答案】C 【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判 断． 【解析】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意； B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意； C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意； D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类． 3．若不等式(a+1)x> a+1的解集是x1，则a必满足（ ） A．a<0 B．a1 C．a1 D．a 1 【答案】C 【分析】由不等式(a+1)x> a+1的解集是x1，不等式的方向发生了改变，从而可得：a1＜0, 于是可得 答案． 第 28 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：  不等式(a+1)x> a+1的解集是x1， a1＜0, a＜1, 故选：C. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号 的方向要改变．”是解题的关键 1 4．若0m1，m，m2， 的大小关系是（ ） m 1 1 1 1 A．0m2  B．m2 m C． mm2 D． m2 m m m m m 【答案】B 1 【分析】根据0＜m＜1，可得m越平方越小， ＞1，继而结合选项即可得出答案． m 1 【解析】解：∵0＜m＜1，可得m2＜m， ＞1， m 1 ∴可得：m2＜m＜ ． m 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质及有理数的乘方，属于基础题，关键是掌握当0＜m＜1时，m的指数越 大则数值越小，难度一般． x2  m 5．若关于x的不等式组 3 无解，则m的取值范围是（ ）  x1232x A．m 1 B．m1 C．m1 D．m£1 【答案】D 【分析】解两个不等式，再根据“大大小小找不着”可得m的取值范围． x2 【解析】解：解不等式 m得：x3m2， 3 解不等式x1232x得：x5， ∵不等式组无解， ∴3m25， 解得：m£1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则是解题关键． 第 29 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 6．某学校组织员工去公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，剩下18人无船 可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后，有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ） A．48人 B．45人 C．44人 D．42人 【答案】A 【分析】假设共安排x艘船．根据报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人 无船可乘，则可知划船报名人数是6x＋18且6x＋18＜50；若每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只 船不空也不满，则10（x−1）＋1≤6x＋18＜10x，解得x代入6x＋18即是划船的员工数． 【解析】设共安排x艘船． 根据题意得6x＋18＜50① 10(x1)16x1810x② 16 由①得x ③ 3 9 27 由②得 x ④ 2 4 由③④得x＝5 划船人数为48 故选：A． 【点睛】解决本题关键是根据题意，逐句分析题目已知，找出存在的或隐含的关系式，解之． 7．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3 次才停止，则x的取值范围是（ ） A．2x4 B．2x4 C．2x4 D．2x4 【答案】A 【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组： 33x2228   ，解之即可得出x的取值范围． 333x22228    【解析】解：依题意，得： 第 30 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 33x2228①   ， 333x22228②    由①得：9x36 x4， 由②得：39x8＞30， 9x8＞10， x＞2， 所以不等式组的解集为：2x4． 故选：A 【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组 是解题的关键． xa0 8．若关于x的不等式 ，所有整数解的和是15，则a的取值范围是（ ） 64x2 A．5a6 B．5a6 C．5a6 D．5a6 【答案】A xa0 【解析】解析：本题考查的是不等式组的整数解的个数．首先求出不等式组 的解集是1≤xa， 64x2 由于所有整数解的和是15，可得整数解是1、2、3、4、5，所以a的取值范围是5a6；故答案为A． x20 xa 2a x1 9．若关于x的不等式组 恰好只有2个整数解，且关于x的方程   的解为非负 3x4ax 2 3 6 整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先解不等式组，根据只有2个整数解得到a的范围，再解方程，得到a的范围，再根据a是整数， 综合得出a的值之和． x20 【解析】解：解不等式 得： 3x4ax a4 ＜x＜2， 4 第 31 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵不等式组恰好只有2个整数解， a4 ∴-1≤ ＜0， 4 ∴0≤a＜4； xa 2a x1 解方程   得： 2 3 6 5a x= ， 2 ∵方程的解为非负整数， 5a ∴ ≥0， 2 ∴a≤5， 又∵0≤a＜4， ∴a=1，3， ∴1+3=4， ∴所有满足条件的整数a的值之和为4． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组及解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组及一元一次方程的解 法是解题的关键． 10．适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先分别讨论绝对值符号里面代数式值，然后去绝对值，解一元一次方程即可求出a的值． 【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得， 2a+7+2a﹣1＝8， 1 解得，a＝ 2 解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得， 7 1 a≥﹣ ，a≥ ， 2 2 1 所以a≥ ，而a又是整数， 2 1 故a＝ 不是方程的一个解； 2 第 32 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得， ﹣2a﹣7﹣2a+1＝8， 7 解得，a＝﹣ 2 解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得， 7 1 a≤﹣ ，a≤ ， 2 2 7 所以a≤﹣ ，而a又是整数， 2 7 故a＝﹣ 不是方程的一个解； 2 （3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得， 2a+7﹣2a+1＝8， 解得，a可为任何数． 解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得， 7 1 a≥﹣ ，a≤ ， 2 2 7 1 所以﹣ ≤a≤ ，而a又是整数， 2 2 故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0． （4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得， ﹣2a﹣7+2a﹣1＝8， 可见此时方程不成立，a无解． 综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查去绝对值及解一元一次方程的方法：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值 的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求 解． 二、填空题 12x 11．当x_________时，代数式 的值不大于x+1的值． 3 【答案】≥-2 第 33 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】先根据题意列出关于x的不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类 项、系数化为1可得． 12x 【解析】解：根据题意，得： ≤x+1， 3 去分母，得：1+2x≤3x+3， 移项，得：2x-3x≤3-1， 合并同类项，得：-x≤2， 系数化为1，得：x≥-2， 故答案为：≥-2． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注 意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5x8 12．若不等式组 无解，则m的取值范围是______________．  xm 【答案】m≥8 【分析】结合第一个不等式，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 5x8 【解析】解：∵不等式组 无解，  xm ∴m≥8， 故答案为：m≥8． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． xb0 axy5 13．若不等式组 的解集为2x3．则关于x、y的方程组 的解为_____________． xa0 2xby1 x2 【答案】 y1 【分析】根据已知解集确定出a与b的值，代入方程组求出解即可． 【解析】解：解不等式xb0得：xb， 解不等式xa0得：xa， ∵不等式组的解集为-24，作图见解析 5 (2)  x4，作图见解析 2 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （2）将一元一次不等式组看作两个一元一次不等式，得出两个解集后取公共部分即可． （1） 原式为3x42x8 去括号得3x122x8 合并同类项、移向得x>4 故不等式的解集为x>4 数轴上解集范围如图所示 （2） x3(x2)4①  原式为 12x x1②   3 ①式为x3(x2)4 第 37 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 去括号得x3x64 合并同类项、移向得4x10 5 化系数为1得x 2 12x ②式为 x1 3 去分母得12x3x3 合并同类项、移向得x4 化系数为1得x4 5 故方程组的解集为  x4 2 数轴上解集范围如图所示 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及用数轴表示不等式解集，解一元一次不等式的步骤为去括号、 去分母、移向、合并同类项、化系数为1．解一元一次不等式组的一般步骤，第一步：分别求出不等式组中 各不等式的解集；第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；第三步：在数轴上找出各不等式的解集 的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一定边界点，二定 方向． 在定边界点时，若符号是“≤”或“≥”，边界点为实心点；若符号是“＜”或“＞”，边界点为空心圆圈．在 定方向时，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”． x2y3a,① 18．已知关于x、y的二元一次方程 xy3a3.② （1）若方程组的解x、y满足x0,y1，求a的取值范围； （2）求代数式6x3y8的值． 【答案】（1）0a2；（2）-17 【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据x0,y1列不等式组求出答案； （2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案． xa2 【解析】解：（1）解方程组得 ， y12a ∵x0,y1， 第 38 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a20 ∴ , 12a1 解得0a2； （2）由①+②得2x+y=-3， ∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9， ∴6x3y8=-9-8=-17． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组 是解题的关键． 19．我市对居民生活用水实行“阶梯水价”．小李和小王查询后得知：每户居 民年用水量 180 吨以内部分， 按第一阶梯到户价收费；超过 180 吨且不超过 300 吨部分， 按第二阶梯到户价收费；超过 300 吨部分， 按第三阶梯到户价收费．小李家去年 1~9 月用水量共为 175 吨，10 月、11 月用水量分别为 25 吨、22 吨，对应的水费分别为 118.5 元、109.12 元． （1）求第一阶梯到户价及第二阶梯到户价（单位：元/吨）； （2）若小王家去年的水费不超过 856 元，试求小王家去年年用水量的范围（单位：吨，结果保留到个 位）． 【答案】（1）第一阶梯3.86元/吨，第二阶梯4.96元/吨；（2）不超过212吨 【分析】（1）设第一阶梯到户价为x元，第二阶梯到户价为y元，然后根据10月和11月的收费列出方程组 求解即可； （2）设小王甲去年的用水量为m，由于3.861804.963001801290856，则m＜300，然后不等式 求解即可． 【解析】解：（1）设第一阶梯到户价为x元，第二阶梯到户价为y元， 180175x17525180y118.5 由题意得： 22y109.12 x3.86 解得 ， y4.96 ∴第一阶梯到户价为3.86元，第二阶梯到户价为4.96元， 答：第一阶梯到户价为3.86元，第二阶梯到户价为4.96元； （2）设小王甲去年的用水量为m， 第 39 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵3.86180694.8856， ∴当m小于180是符合题意 ∵3.861804.963001801290856， ∴m＜300 当180≤m<300 3.861804.96m180856， 解得m212.5， ∴小王家去年年用水量不超过212吨， 答：小王家去年年用水量不超过212吨． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够 根据题意找到数量关系式进行求解． 一、单选题 1．（2021·上海·模拟预测）已知等式3a＝2b+5，则下列等式变形不正确的是（ ） 2 5 A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝ b+ D．3ac＝2bc+5 3 3 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解析】解：A．∵3a＝2b+5， ∴等式两边都减去5，得3a﹣5＝2b，故本选项不符合题意； B．∵3a＝2b+5， ∴等式两边都加1，得3a+1＝2b+6，故本选项不符合题意； C．∵3a＝2b+5， 2 5 ∴等式两边都除以3，得a＝ b+ ，故本选项不符合题意； 3 3 D．∵3a＝2b+5， ∴等式两边都乘c，得3ac＝2bc+5c，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都 第 40 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立， 等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 2．（2021·上海青浦·二模）如果a＞b，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是（ ） a b A．a＋m＜b＋m B．m﹣a＜m﹣b C．am＞bm D．  m m 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解析】解：A、如果a＞b，m为非零实数，则a＋m＞b＋m，故A不符合题意； B、如果a＞b，m为非零实数，则m﹣a＜m﹣b，故B符合题意； C、如果a＞b，m为非零实数，则am＞bm不一定成立，只有m＞0时才成立，故C不符合题意； a b D、如果a＞b，m为非零实数，则  不一定成立，只有m＞0时才成立，故D不符合题意； m m 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键，注意不等号的变化． 3．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果关于x的方程xm20（m为常数）的解是x=1，那么m的值是 （ ） A．m3 B．m3 C．m1 D．m1. 【答案】C 【分析】把x=-1代入方程即可求出m． 【解析】把x=-1，代入关于x的方程x-m+2=0（m为常数）得： -1-m+2=0， 解得：m=1， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次 方程． 2x31 4．（2017·上海长宁·二模）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ） x20 A． B． C． D． 第 41 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】B 【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可. 【解析】解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1， 解不等式x﹣2＜0，得：x＜2， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质和一元一次不等式组求解集是解题关键. 1 1 5．（2019·上海市嘉定区丰庄中学二模）方程2y﹣ ＝ y﹣ 中被阴影盖住的是一个常数，此方程的 2 2 5 解是y＝﹣ ．这个常数应是( ) 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 3 1 5 3 1 【解析】设被阴影盖住的一个常数为k，原方程整理得，k=- y+ ，把y 代入k=- y+ ，中得，k=- 2 2 3 2 2 3 5 1 5 1 ×( )+ =  =3，故选C. 2 3 2 2 2 6．（2011·上海浦东新·中考模拟）为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练习簿 和10支水笔，共花了36元．已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如果设练习簿每本为x元， 水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目中有两个相等关系：买20本练习簿的钱数+买10支水笔的钱数=36元，每支水笔的价格－每 本练习簿的价格=1.2元；据此列出方程组即可． ìï y- x=1.2 【解析】解：设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，根据题意，得í . ïî 20x+10y=36 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意、找准相等关系是正确列出方程组的关键. 第 42 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二、填空题 7．（2018·上海青浦·二模）解关于x的方程ax2x(a1)，则方程的解是________． 2 【答案】x a1 【分析】依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【解析】解：方程移项得：axx2， 合并得：(a1)x2， a1，  a10， 2 解得：x ． a1 2 故答案为：x ． a1 【点睛】本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是 解题的关键． 8．（2022·上海闵行·二模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条 索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿， 则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长________尺.（注：“托”和“尺”为古 代的长度单位，1托=5尺） 【答案】15 【分析】设竿长x尺，则绳长(x5)尺，根据“将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列一元一次方程，求 解即可． 【解析】设竿长x尺，则绳长(x5)尺， 1 由题意得：x (x5)5， 2 解得x15， 所以，竿长为15尺， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键. 9．（2021·上海·中考真题）不等式2x120的解集是_______． 第 43 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】x6 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解析】2x120 2x12 x6 故答案为：x6． 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 16x24x32 10．（2022·上海闵行·二模）不等式组 的解集是_______． 9x7x6 【答案】3x4 【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可． 16x24x32① 【解析】 ， 9x7x6② 解①得x4， 解②得x3， 不等式组的解集为3x4， 故答案为：3x4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 11．（2022·上海·一模）如果关于x的不等式mx﹣2m＞x﹣2的解集是x＜2，那么m的取值范围是______． 【答案】m＜1 【分析】根据不等式的基本性质，两边都除以m1后得到x2，可知m10，解之可得． 【解析】解：mx2mx2， 移项得，mxx2m2， ∴ m1x2m1， ∵不等式mx2mx2的解集为x2， ∴m10，即m1， 故答案为：m1． 【点睛】题目主要考查不等式的性质及解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 第 44 页 共 49 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 12．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的 幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上 的数字之和都是15，则m的值为______． 【答案】1 【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的 数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得． 【解析】解：如图，由题意，图中①表示的数是15726， 图中②表示的数是15258， 则6m815， 解得m1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键． 三、解答题  3xx4  13．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组4x x2   3 【答案】-2-2， 解②得：x<-1， ∴-2