专题18圆压轴题-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 18 圆压轴题 以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线 段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的 能力，难题分解能力，数学综合能力 考点一 定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题； 考点二 定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系； 考点三 定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题； 考点四 定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题； 第 1 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 考点五 动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系； 考点六 动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系； 考点七 动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系； 考点八 动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。 一、解答题 1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°． (1)如图1，求证：AD 等于CD； (2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 5 【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论； (2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再 证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF； 1 (3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3， 2 OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长． （1） 第 2 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 证明：如图：连接BD、CD AB为直径 ∠ADB=90° ∠DBA+∠DAB=90° ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠DAC=∠DBA 又 ∠DCA=∠DBA ∠DAC=∠DCA AD=CD AD=CD （2） 证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G DGA=90 由(1)知AD=CD DG垂直平分AC AC=2AG AE=DE  ADF=DAC ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠ADF＋∠DAB＝90° DFA=AGD=90 又 AD=DA  第 3 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) △ADF≌△DAGAAS DF=AG AC=2DF （3） 1 解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OHBC 2 OHB=90=DFO OA=OB  OH 是 ABC中位线  AC=2OH 由(2)知AC=2DF OH=DF OD=OB  Rt△OFD≌Rt△BHO(HL) OF=BH=3 OD=OA=AFOF=23=5 在Rt△OFD中，DF2=OD2OF2=5232=16 在Rt△AFD中，AD= AF2DF2= 2216=2 5 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能 够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等． 2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，OC 弦AB，垂足为D，点E在⊙O 上，ECOBOC，射线CE与射线OB相交于点F ．设ABx,，CE  y， 第 4 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； (2)当OEF 为直角三角形时，求AB的长； (3)如果BF 1，求EF 的长． 【答案】(1)y 36x2 ，函数定义域为（0＜x＜6） (2)AB3 2或3 5 7 (3) 或 2 4 1 1 1 1 【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到BD AB x，EH  EC  y，然 2 2 2 2 36x2 后利用勾股定理求得OD= ，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论； 2 (2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可； (3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可 得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解． （1） 过点O作OH⊥CE，垂足为H， ∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y， 第 5 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 1 1 ∴BD AB x，EH  EC  y， 2 2 2 2 ∵在Rt△ODB中，OD2BD2 BO2，OB=3 ， 36x2 ∴OD= ， 2 ∵OC=OE， ∴∠ECO=∠CEO， ∵∠ECO＝∠BOC， ∴∠CEO=∠BOC， 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD ， y 36x2 ∴  ， 2 2 ∴y 36x2 函数定义域为（0＜x＜6） （2） 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45° 又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形 ∴AB 2OB3 2 ②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB 第 6 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OB=3 （3） ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时， OC2 9 可得：△CFO∽△COE，CE＝  ， CF 2 9 5 ∴EF＝CE–CF＝ 2 ． 2 2 ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时， OC2 9 可得：△CFO∽△COE，CE＝  ， CF 4 9 7 ∴EF＝CF–CE＝4  ． 4 4 【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键． 3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A、B重 合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． (1)求∠APC和∠BPC的度数； (2)求证：△ACM≌△BCP； (3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积； (4)在（3）的条件下，求AB的长度． 【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60° (2)见解析 15 3 (3) 4 2 21 (4) 9 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根据圆周角定理即可得到 第 7 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； （2）根据平行线的性质得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根据圆周角定理得到 ∠PAC+∠PCB=180°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）作PH⊥CM于H，根据全等三角形的性质得到CM=CP，AM=BP，根据直角三角形的性质得到PH，根 据三角形的面积公式即可得到结论； （4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，求得∠PBQ=30°，得 到PQ，根据勾股定理得到BQ和AN，根据弧长公式即可得到结论． 【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∵BC BC，AC  AC， ∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； （2）证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM+∠M=180°， ∠PCM=∠BPC， ∵∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠PCM=∠BPC=60°， ∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°， ∴∠M=∠BPC=60°， 又∵A、P、B、C四点共圆， ∴∠PAC+∠PCB=180°， ∵∠MAC+∠PAC=180°， ∴∠MAC=∠PBC， ∵AC=BC， 在△ACM和△BCP中，  M BPC  MAC PBC，   AC BC ∴△ACM≌△BCP（AAS）； （3）解：∵CM∥BP， 第 8 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴四边形PBCM为梯形， 作PH⊥CM于H， ∵△ACM≌△BCP， ∴CM=CP，AM=BP， 又∠M=60°， ∴△PCM为等边三角形， ∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt△PMH中，∠MPH=30°， 3 3 ∴PH= ， 2 1 1 3 3 15 3 ∴S PBCM= （PB+CM）×PH= （2+3）× = ； 四边形 2 2 2 4 （4）解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， 1 ∴PQ= PB=1， 2 在Rt△BPQ中，BQ= 2212  3， 在Rt△AQB中，AB= AQ2BQ2  112   3 2  7， ∵△ABC为等边三角形， ∴AN经过圆心O， 1 7 ∴BN= AB= ， 2 2 第 9 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 21 ∴AN= AB2BN2  ， 2 21 在Rt△BON中，设BO=x，则ON= −x， 2 7 21 ∴( )2+( −x)2＝x2， 2 2 21 解得：x= ， 3 ∵∠BOA=∠BCA=120°， 21 120 ∴AB的长度为 3 2 21．  180 9 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判 定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1， 1 ∠A＝ ∠O． 2 已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结 3 OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝ ． 4 (1)求弦AC的长． (2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值． (3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）． 【答案】(1)8 1 (2) 3 18 (3)2 5或 145． 29 1 【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝ AC，由锐角三角函数和勾股定理可 2 第 10 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解． （1） 如图2，过点O作OH⊥AC于点H， 1 由垂径定理得：AH＝CH＝ AC， 2 OH 3 在Rt△OAH中，tanOAC   ， AH 4 ∴设OH＝3x，AH＝4x， ∵OH2+AH2＝OA2， ∴（3x）2+（4x）2＝52， 解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去）， ∴OH＝3，AH＝4， ∴AC＝2AH＝8； （2） 如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G， ∵∠DEO＝∠AEC， ∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD； AD AD  第 11 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ACD DOE， 2 ∴∠ACD≠∠DOE ∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况， ∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A， ∴OD∥AC， OD OE ∴  ， AC AE ∵OD＝OA＝5，AC＝8， 5 5AE ∴  ， 8 AE 40 ∴AE ， 13 ∵∠AGE＝∠AHO＝90°， ∴GE∥OH， ∴△AEG∽△AOH， AE EG AG ∴   ， AO OH AH 40 EG AG   ∴13 3 4 ， 5 24 ∴EG ， 13 32 32 72 ∴AG ，CG8  ， 13 13 13 EG 1 在Rt△CEG中，tanDCA  ； CG 3 （3） 当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M， 连接AD，DM， 第 12 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8， ∵OE＝1， ∴AE＝4，ME＝6， ∵EG∥OH， ∴△AEG∽△AOH， AE AG EG 4 ∴    ， AO AH OH 5 16 12 ∴AG＝ ，EG＝ ， 5 5 24 ∴GC＝ ， 5 576 144 12 5 ∴EC＝ GC2EG2 ＝  ＝ ， 25 25 5 ∵AM是直径， ∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， EC EG ∴  ， AM AD 12 5 12 ∴ 5 5 ，  10 AD ∴AD＝2 5； 当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G， 第 13 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 18 24 16 同理可求EG＝ ，AG＝ ，AE＝6，GC＝ ， 5 5 5 324 256 2 145 ∴EC＝ GC2EG2 ＝  ＝ ， 25 25 5 ∵AM是直径， ∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， EC EG ∴  ， AM AD 2 145 18 ∴ 5 5 ，  10 AD 18 145 ∴AD＝ ， 29 18 综上所述：AD的长是2 5或 145 29 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆 周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键． 5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB的半径OA4，AOB90，点C、D分别在半径OA、 OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC PD． 3 （1）当cotODC  ，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长； 4 第 14 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求OCD的度数； S （3）如果OC 2，且四边形ODPC是梯形，求 △PCD 的值． S △OCD 5 【答案】（1） ；（2）67.5°；（3） 61或3 6 2 OD 3 【分析】（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝  ，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC OC 4 1 ＝OC＝4k＝2，推出k＝ ，继而可得结论． 2 （2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等 腰直角三角形，可得结论． （3）分两种情形：如图3−1中，当OC∥PD时，如图3−2中，当PC∥OD时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图1中， OD 3 ∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝  ， OC 4 ∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k， ∵以CD为半径的圆D与圆O相切， ∴CD＝DB＝5k， ∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4， 1 ∴k＝ ， 2 5 ∴CD＝ ； 2 （2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． 第 15 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵PAPB， ∴∠AOP＝∠POB， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC， ∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL）， ∴∠EPC＝∠FPB， ∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPF＝∠CPB＝90°， ∴∠PCB＝∠PBC＝45°， ∵OP＝OB，∠POB＝45°， ∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°， ∴∠CBO＝67.5°−45°＝22.5°， ∴∠OCD＝90°−22.5°＝67.5°； （3）如图3−1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，连接OP， ∵OC∥PD， ∴∠PDO＝∠AOD＝90°， 第 16 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CE⊥PD， ∴∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， 设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y， 则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x−2)2，可得x＝2 6−2，（不合题意的已经舍弃）， ∴PD＝2 6−2， S PD ∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝ △PCD   61， S OC △OCD 如图3−2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，连接OP， ∵PC∥OD， ∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， ∵OP＝4，OC＝2， ∴PC＝ OP2OC2 = 4222 2 3， ∴PD＝PC＝2 3，  2 ∴PE＝ PD2DE2 = 2 3 22 2 2， ∴EC＝OD＝2 3-2 2， S PC 2 3 ∴ △PCD   3 6， S OD 2 32 2 △OCD 第 17 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) S 综上所述， △PCD 的值为： 61或3 6． S △OCD 【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 6．（2021·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形AOB中，AOBm（ 0＜m180），点C是AB上 的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D． （1）如图1，当0＜m＜90，BCD是等腰三角形时，求D的大小（用含m的代数式表示）；  S （2）如图2，当m90，点C是AB的中点时，连接AB，求 ABD 的值； S ABC （3）将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE1时，求线段AD 的长． m° 2 5 11 【答案】（1） ；（2）2 2；（3） 2 2 【分析】（1）C在AB弧线上，所以OBC为锐角，CBD为钝角，则 BCD是等腰三角形，仅有BC BD  这一种情况，扇形AOB中，OAOC OB，BC BD，由边相等得对应角相等，三角形内角和为180，可 m° 得D ； 2 （2）过D作DM  AB的延长线于M，连接OC，C为中点，可知 AC BC，AOC COB45，AOCOBO，边相等得对应角相等，即可求得 ACB135，BCD45，CBO为 BCD的外角，可得ABDD，CABCBA，由角相等可推  1 出ABBD，在Rt  AOB中，由勾股定理知BM 2，在等腰直角  AOB中AN  AB 2，根据等高三角 2 S AD AM 形的面积比等于底的比 ΔABD =  可得结果； S AC AN ΔABC （3）E为弧AEC与OB切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在Rt OEO中，由勾股定理知OO  5，得四边形AOCO是菱形，由菱形对角线性质，可以推出  OOE∽  DOP，得OP 5，在Rt  APO中， 11 由勾股定理得AP ，即可求出AD的长． 2 【解析】解：（1）C在AB弧线上， 第 18 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴OBC为锐角， ∴CBD为钝角， 则 BCD是等腰三角形时，仅有BC BD这一种情况，  ∴DBCD， 连接OC则OAOC OB， ∴OAC＝OCA，OCDOBC， ∴OBC＝D＋BCD2D， 在 OCD中，COD＋2D＋2D180，  ∴AOC mCODm＋4D180， 1 ∴AOC  （180AOC） 2 m° 180 2D， 2 在 AOD中，m＋OAC＋D180，  m° ∴180＋ D180， 2 m° ∴D ； 2 （2）过D作DM  AB延长线于M，连接OC， ∵C为AB 中点， ∴AC BC， ∴BAC ABC且AOCOBO， ∴OAC OCAOCBOBC， 1 ∴ACO＋BCO （ 36090）135， 2 ∴BCD45， ∴45＋ODAABC＋ABD45＋ABC， 第 19 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ABC ADOBAC， ∴BD AB2 2（勾股定理）， ∴BM DM 2 ∵MBDOBA45， ∴BM DM ， ∴AM  AB＋BM 2 2 ＋2， 1 ∴AN  AB 2， 2 S AD AM 2 22 ∴ ΔABD =   2 2 S AC AN 2 ΔABC （3）图2如下： ∵E为弧线AEC与OB切点， ∴A、E、C在半径为2的另一个圆上， ∵OE2，OE1， ∴OO 5（勾股定理）， 又∵OAOC 2，OAOC 2， ∴四边形AOCO是菱形， ∴AC OO且AC、OO互相平分， 且OOE共角， ∴ OOE∽ DOP，   ∴ DP  OP 且OP 1 OO 5 ， OE OE 2 2 ∴OP 5， 第 20 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2  5 11 ∴AP 4     （Rt  APO的勾股定理） 2 2   2 5 11 ∴AD AP＋PD ． 2 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和 性质、勾股定理等是解题关键． 7．（2022春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为 劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E． 7 （1）如图，当cos∠CBO＝ 时，求BC的长； 8 （2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数； （3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积． 7 5 5 【答案】（1） ；（2）18°；（3） 或 3 2 3 6 【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法 7 二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝ 可得BC的长； 8 （2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA， 得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论； （3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作 第 21 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图 5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论． 【解析】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G， 1 ∴BG＝ BC， 2 ∵AB＝4， ∴OB＝2， 7 BG ∵cos∠CBO＝  ， 8 OB 7 ∴BG＝ ， 4 7 ∴BC＝2BG＝ ； 2 解法二：如图2，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， BC 7 ∴cos∠ABC＝  ， AB 8 BC 7 ∴  ， 4 8 7 ∴BC＝ ； 2 （2）如图3，连接OC， 第 22 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似， ∴△DPE∽△OPA， ∴∠DPE＝∠PAO， ∵C是AP的中点， ∴∠AOC＝∠COP， 设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝α， ∵C是AP的中点， ∴OC⊥AP， ∴∠PAO＝90°﹣2α， ∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α， 在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC， ∴4α＝90°﹣2α+α， ∴α＝18°， ∴∠ABC＝18°； （3）分两种情况： ①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H， ∴DH∥PO， 第 23 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AD AH ∴  ， PD OH ∵AD＝2PD， ∴AH＝2HO， ∵AB＝4， 4 2 8 ∴AH＝ ，OH＝ ，BH＝ ， 3 3 3 ∵AO＝OP，∠AOP＝90°， ∴∠A＝45°， 4 ∴AH＝DH＝ ， 3 ∵OE∥DH， OE 2 OE OB  ∴  ，即 4 8， DH BH 3 3 ∴OE＝1， ∴S AOED＝S ABD﹣S OEB 四边形 △ △ 1 4 1 ＝ 4  21 2 3 2 5 ＝ ； 3 ②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC， ∵∠C＝∠OEB＝90°， ∴AC∥OE，CE＝BE， ∵AD＝2DP， 同理得AC＝2PE， ∵AO＝BO， ∴AC＝2OE， 第 24 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴OE＝PE＝ OP， 2 1 ∴AC＝ AB， 2 ∴∠ABC＝30°， ∵AB＝4， ∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝ 3，BC＝ 4222 2 3， ∴CE＝ 3， ∵AC∥PE， CD AD ∴  2， DE DP ∵CD+DE＝ 3， 2 3 ∴CD＝ ， 3 ∴S AOED＝S ABC﹣S OEB﹣S ACD 四边形 △ △ △ 1 1 1 2 3 ＝ 22 3 1 3 2 ， 2 2 2 3 5 3 ＝ ． 6 5 5 3 综上，四边形AOED的面积是 或 ． 3 6 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质 等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是 解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形． 8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，ABC 90，以AB为直径的  O交边DC于E、F 两点，AD1，BC5，设  O的半径长为r． （1）联结OF ，当OF//BC时，求  O的半径长； （2）过点O作OH EF，垂足为点H，设OH  y，试用r的代数式表示y； 第 25 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）设点G为DC的中点，联结OG、OD， ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不  能，试说明理由． 3r r24 【答案】（1）3；（2）y ；（3）  ODG能成为等腰三角形，r2 2 r24 1 【分析】（1）证OF 为梯形ABCD的中位线，得出rOF  ADBC3即可； 2 （2）连接OD、OC，过点D作DM BC于M ，则CM BCBM 4，由勾股定理得出DC 2 r24， 由四边形ABCD的面积△DOC的面积△AOD的面积△BOC的面积，进而得出答案； 1 （3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG//AD，OG3， DG CD r24，由勾股定理得 2 OD r21，分三种情况，分别求解即可． 【解析】解：（1）∵OF//BC，OAOB， ∴OF 为梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OF  ADBC 153，即  O的半径长为3； 2 2 （2）连接OD、OC，过点D作DM BC于M ，如图1所示： ∵AD//BC，ABC 90，且DM BC， ∴四边形ABMD为矩形， 则BMAD1， ∴CM BCBM 4， ∴DC  DM2CM2  2r242 2 r24， ∵四边形ABCD的面积△DOC的面积△AOD的面积△BOC的面积， 1 1 1 1 ∴ 152r 2 r24y r1 r5， 2 2 2 2 第 26 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3r r24 整理得：y ； r24 （3） ODG能成为等腰三角形，理由如下：  ∵点G为DC的中点，OAOB， ∴OG是梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OG//AD，OG ADBC 153， 2 2 1 DG CD r24， 2 由勾股定理得：OD OA2AD2  r212  r21， 分三种情况： ①DGDO时，则 r24  r21，无解； ②ODOG时，如图2所示： r213，解得：r2 2； ③GDGO时，作OH CD于H，如图3所示： GODGDO， ∵OG//AD， ∴ADOGOD， 第 27 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ADOGDO， ∴DO是ADG的平分线， 由题意知：OA AD， 又OH CD， ∴OAOH ， 则此时圆O和CD相切，不合题意； 综上所述，  ODG能成为等腰三角形，r2 2． 【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识； 熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键． 9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作 AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． （1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长； DE （2）设OD＝x， ＝y，求y与x的函数关系式； AE （3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长． 3x 3 【答案】（1）3 3；（2）y＝ ；（3） 6 2 【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH， BC的长； DE 3x DE 3x DE 3x （2）连结BF．证得OD∥BF，则  ，即  ，得出  ，则得出结论； DF 3x AD 3x AE 6 （3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结 1 3 OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝ OA ，则答案得出． 2 2 【解析】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H． 第 28 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵F是BC中点， ∴OF⊥BC，BC＝2BH． ∴∠BOF＝∠COF． ∵OA＝OF，OC⊥AF， ∴∠AOC＝∠COF， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， BH 3 在Rt△BOH中，sin∠BOH＝  ， OB 2 ∵AB＝6， ∴OB＝3， 3 3 ∴BH＝ ， 2 ∴BC＝2BH＝3 3； （2）如图2，连结BF． ∵AF⊥OC，垂足为点D， ∴AD＝DF． 又∵OA＝OB， ∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x． DE CD 3x ∴   ， EF BF 2x DE 3x ∴  ， DF 3x DE 3x 即  ， AD 3x 第 29 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE 3x ∴  ， AE 6 3x ∴y＝ ． 6 （3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去． ②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF． ∵OA＝OF，OB＝OC， ∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC． ∵∠DCE＝∠DAO， ∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC． ∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF， ∴∠OAF＝30°， 1 3 ∴OD＝ OA ． 2 2 3 即线段OD的长为 ． 2 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形 的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形 解决问题． 10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD 的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F． （1）当点F与点B重合时，求CP的长； （2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域； （3）如果GP＝GF，求△EPF的面积． 第 30 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 10 9 5 【答案】（1）CP＝2；（2）y (0„ x3)；（3） 4x 2 【分析】（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算 OH  CO2CH2 3，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论； （2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论； （3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论． 【解析】（1）连接EO，交弦CD于点H， ∵E为弧CD的中点， ∴EO⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OH⊥CD， 1 ∴CH＝ CD， 2 连接CO， ∵AB＝10，CD＝8， ∴CO＝5，CH＝4， ∴OH  CO2CH2 3， ∴EH＝EO﹣OH＝2， ∵点F与点B重合， ∴∠OBE＝∠HGE＝45°， 第 31 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵PE⊥BE， ∴∠HPE＝∠HGE＝45°， ∴PE＝GE， ∴PH＝HG＝2， ∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2； （2）如图2，连接OE，交CD于H， ∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°， ∴∠PEH＝∠OFE， ∵∠PHE＝∠EOF＝90°， ∴△PEH∽△EFO， EH PH ∴  ， FO EO ∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5， 2 4x ∴  ， y 5 10 ∴y (0„ x3)． 4x （3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q， ∵GP＝GF， ∴∠GPF＝∠GFP， ∵CD∥AB， 第 32 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠GPF＝∠PFQ， ∵PE⊥EF， ∴PQ＝PE， 由（2）可知，△PEH∽△EFO， PE PH ∴  ， EF EO ∵PQ＝OH＝3， ∴PE＝3， ∵EH＝2， ∴PH PE2EH2  5， 3 5 ∴  ， EF 5 ∴EF3 5， 1 1 9 5 ∴S  PEEF  33 5  ． EPF 2 2 2 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题． 一、解答题 1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°． 第 33 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)如图1，求证：AD 等于CD； (2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 5 【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论； (2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再 证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF； 1 (3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3， 2 OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长． （1） 证明：如图：连接BD、CD AB为直径 ∠ADB=90° ∠DBA+∠DAB=90° ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠DAC=∠DBA 又 ∠DCA=∠DBA 第 34 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∠DAC=∠DCA AD=CD AD=CD （2） 证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G DGA=90 由(1)知AD=CD DG垂直平分AC AC=2AG AE=DE  ADF=DAC ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠ADF＋∠DAB＝90° DFA=AGD=90 又 AD=DA  △ADF≌△DAGAAS DF=AG AC=2DF （3） 1 解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OHBC 2 OHB=90=DFO 第 35 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OA=OB  OH 是 ABC中位线  AC=2OH 由(2)知AC=2DF OH=DF OD=OB  Rt△OFD≌Rt△BHO(HL) OF=BH=3 OD=OA=AFOF=23=5 在Rt△OFD中，DF2=OD2OF2=5232=16 在Rt△AFD中，AD= AF2DF2= 2216=2 5 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能 够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等． 2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，OC 弦AB，垂足为D，点E在⊙O 上，ECOBOC，射线CE与射线OB相交于点F ．设ABx,，CE  y， (1)求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； (2)当OEF 为直角三角形时，求AB的长； (3)如果BF 1，求EF 的长． 【答案】(1)y 36x2 ，函数定义域为（0＜x＜6） (2)AB3 2或3 5 7 (3) 或 2 4 第 36 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 1 1 【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到BD AB x，EH  EC  y，然 2 2 2 2 36x2 后利用勾股定理求得OD= ，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论； 2 (2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可； (3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可 得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解． （1） 过点O作OH⊥CE，垂足为H， ∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y， 1 1 1 1 ∴BD AB x，EH  EC  y， 2 2 2 2 ∵在Rt△ODB中，OD2BD2 BO2，OB=3 ， 36x2 ∴OD= ， 2 ∵OC=OE， ∴∠ECO=∠CEO， ∵∠ECO＝∠BOC， ∴∠CEO=∠BOC， 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD ， y 36x2 ∴  ， 2 2 第 37 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴y 36x2 函数定义域为（0＜x＜6） （2） 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45° 又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形 ∴AB 2OB3 2 ②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OB=3 （3） ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时， OC2 9 可得：△CFO∽△COE，CE＝  ， CF 2 9 5 ∴EF＝CE–CF＝ 2 ． 2 2 ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时， OC2 9 可得：△CFO∽△COE，CE＝  ， CF 4 9 7 ∴EF＝CF–CE＝4  ． 4 4 【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键． 3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P与点A、B重 第 38 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． (1)求∠APC和∠BPC的度数； (2)求证：△ACM≌△BCP； (3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积； (4)在（3）的条件下，求AB的长度． 【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60° (2)见解析 15 3 (3) 4 2 21 (4) 9 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根据圆周角定理即可得到 ∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； （2）根据平行线的性质得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根据圆周角定理得到 ∠PAC+∠PCB=180°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）作PH⊥CM于H，根据全等三角形的性质得到CM=CP，AM=BP，根据直角三角形的性质得到PH，根 据三角形的面积公式即可得到结论； （4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，求得∠PBQ=30°，得 到PQ，根据勾股定理得到BQ和AN，根据弧长公式即可得到结论． 【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∵BC BC，AC  AC， ∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； 第 39 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM+∠M=180°， ∠PCM=∠BPC， ∵∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠PCM=∠BPC=60°， ∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°， ∴∠M=∠BPC=60°， 又∵A、P、B、C四点共圆， ∴∠PAC+∠PCB=180°， ∵∠MAC+∠PAC=180°， ∴∠MAC=∠PBC， ∵AC=BC， 在△ACM和△BCP中，  M BPC  MAC PBC，   AC BC ∴△ACM≌△BCP（AAS）； （3）解：∵CM∥BP， ∴四边形PBCM为梯形， 作PH⊥CM于H， ∵△ACM≌△BCP， ∴CM=CP，AM=BP， 又∠M=60°， ∴△PCM为等边三角形， ∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt△PMH中，∠MPH=30°， 3 3 ∴PH= ， 2 1 1 3 3 15 3 ∴S PBCM= （PB+CM）×PH= （2+3）× = ； 四边形 2 2 2 4 第 40 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （4）解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， 1 ∴PQ= PB=1， 2 在Rt△BPQ中，BQ= 2212  3， 在Rt△AQB中，AB= AQ2BQ2  112   3 2  7， ∵△ABC为等边三角形， ∴AN经过圆心O， 1 7 ∴BN= AB= ， 2 2 21 ∴AN= AB2BN2  ， 2 21 在Rt△BON中，设BO=x，则ON= −x， 2 7 21 ∴( )2+( −x)2＝x2， 2 2 21 解得：x= ， 3 ∵∠BOA=∠BCA=120°， 21 120 ∴AB的长度为 3 2 21．  180 9 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判 定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1， 第 41 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∠A＝ ∠O． 2 已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结 3 OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝ ． 4 (1)求弦AC的长． (2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值． (3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）． 【答案】(1)8 1 (2) 3 18 (3)2 5或 145． 29 1 【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝ AC，由锐角三角函数和勾股定理可 2 求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解． （1） 如图2，过点O作OH⊥AC于点H， 1 由垂径定理得：AH＝CH＝ AC， 2 第 42 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OH 3 在Rt△OAH中，tanOAC   ， AH 4 ∴设OH＝3x，AH＝4x， ∵OH2+AH2＝OA2， ∴（3x）2+（4x）2＝52， 解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去）， ∴OH＝3，AH＝4， ∴AC＝2AH＝8； （2） 如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G， ∵∠DEO＝∠AEC， ∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD； AD AD  1 ACD DOE， 2 ∴∠ACD≠∠DOE ∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况， ∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A， ∴OD∥AC， OD OE ∴  ， AC AE ∵OD＝OA＝5，AC＝8， 5 5AE ∴  ， 8 AE 40 ∴AE ， 13 ∵∠AGE＝∠AHO＝90°， 第 43 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴GE∥OH， ∴△AEG∽△AOH， AE EG AG ∴   ， AO OH AH 40 EG AG   ∴13 3 4 ， 5 24 ∴EG ， 13 32 32 72 ∴AG ，CG8  ， 13 13 13 EG 1 在Rt△CEG中，tanDCA  ； CG 3 （3） 当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M， 连接AD，DM， 由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8， ∵OE＝1， ∴AE＝4，ME＝6， ∵EG∥OH， ∴△AEG∽△AOH， AE AG EG 4 ∴    ， AO AH OH 5 第 44 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16 12 ∴AG＝ ，EG＝ ， 5 5 24 ∴GC＝ ， 5 576 144 12 5 ∴EC＝ GC2EG2 ＝  ＝ ， 25 25 5 ∵AM是直径， ∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， EC EG ∴  ， AM AD 12 5 12 ∴ 5 5 ，  10 AD ∴AD＝2 5； 当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G， 18 24 16 同理可求EG＝ ，AG＝ ，AE＝6，GC＝ ， 5 5 5 324 256 2 145 ∴EC＝ GC2EG2 ＝  ＝ ， 25 25 5 ∵AM是直径， ∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， EC EG ∴  ， AM AD 2 145 18 ∴ 5 5 ，  10 AD 第 45 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 18 145 ∴AD＝ ， 29 18 综上所述：AD的长是2 5或 145 29 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆 周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键． 5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB的半径OA4，AOB90，点C、D分别在半径OA、 OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC PD． 3 （1）当cotODC  ，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长； 4 （2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求OCD的度数； S （3）如果OC 2，且四边形ODPC是梯形，求 △PCD 的值． S △OCD 5 【答案】（1） ；（2）67.5°；（3） 61或3 6 2 OD 3 【分析】（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝  ，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC OC 4 1 ＝OC＝4k＝2，推出k＝ ，继而可得结论． 2 （2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等 腰直角三角形，可得结论． （3）分两种情形：如图3−1中，当OC∥PD时，如图3−2中，当PC∥OD时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图1中， 第 46 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OD 3 ∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝  ， OC 4 ∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k， ∵以CD为半径的圆D与圆O相切， ∴CD＝DB＝5k， ∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4， 1 ∴k＝ ， 2 5 ∴CD＝ ； 2 （2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵PAPB， ∴∠AOP＝∠POB， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC， ∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL）， ∴∠EPC＝∠FPB， ∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°， ∴∠EPF＝90°， 第 47 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠EPF＝∠CPB＝90°， ∴∠PCB＝∠PBC＝45°， ∵OP＝OB，∠POB＝45°， ∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°， ∴∠CBO＝67.5°−45°＝22.5°， ∴∠OCD＝90°−22.5°＝67.5°； （3）如图3−1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，连接OP， ∵OC∥PD， ∴∠PDO＝∠AOD＝90°， ∵CE⊥PD， ∴∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， 设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y， 则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x−2)2，可得x＝2 6−2，（不合题意的已经舍弃）， ∴PD＝2 6−2， S PD ∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝ △PCD   61， S OC △OCD 如图3−2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，连接OP， 第 48 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵PC∥OD， ∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， ∵OP＝4，OC＝2， ∴PC＝ OP2OC2 = 4222 2 3， ∴PD＝PC＝2 3，  2 ∴PE＝ PD2DE2 = 2 3 22 2 2， ∴EC＝OD＝2 3-2 2， S PC 2 3 ∴ △PCD   3 6， S OD 2 32 2 △OCD S 综上所述， △PCD 的值为： 61或3 6． S △OCD 【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 6．（2021·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形AOB中，AOBm（ 0＜m180），点C是AB上 的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D． （1）如图1，当0＜m＜90，BCD是等腰三角形时，求D的大小（用含m的代数式表示）；  S （2）如图2，当m90，点C是AB的中点时，连接AB，求 ABD 的值； S ABC （3）将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE1时，求线段AD 的长． 第 49 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) m° 2 5 11 【答案】（1） ；（2）2 2；（3） 2 2 【分析】（1）C在AB弧线上，所以OBC为锐角，CBD为钝角，则 BCD是等腰三角形，仅有BC BD  这一种情况，扇形AOB中，OAOC OB，BC BD，由边相等得对应角相等，三角形内角和为180，可 m° 得D ； 2 （2）过D作DM  AB的延长线于M，连接OC，C为中点，可知 AC BC，AOC COB45，AOCOBO，边相等得对应角相等，即可求得 ACB135，BCD45，CBO为 BCD的外角，可得ABDD，CABCBA，由角相等可推  1 出ABBD，在Rt  AOB中，由勾股定理知BM 2，在等腰直角  AOB中AN  AB 2，根据等高三角 2 S AD AM 形的面积比等于底的比 ΔABD =  可得结果； S AC AN ΔABC （3）E为弧AEC与OB切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在Rt OEO中，由勾股定理知OO  5，得四边形AOCO是菱形，由菱形对角线性质，可以推出  OOE∽  DOP，得OP 5，在Rt  APO中， 11 由勾股定理得AP ，即可求出AD的长． 2 【解析】解：（1）C在AB弧线上， ∴OBC为锐角， ∴CBD为钝角， 则 BCD是等腰三角形时，仅有BC BD这一种情况，  ∴DBCD， 连接OC则OAOC OB， ∴OAC＝OCA，OCDOBC， ∴OBC＝D＋BCD2D， 在 OCD中，COD＋2D＋2D180，  ∴AOC mCODm＋4D180， 第 50 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴AOC  （180AOC） 2 m° 180 2D， 2 在 AOD中，m＋OAC＋D180，  m° ∴180＋ D180， 2 m° ∴D ； 2 （2）过D作DM  AB延长线于M，连接OC， ∵C为AB 中点， ∴AC BC， ∴BAC ABC且AOCOBO， ∴OAC OCAOCBOBC， 1 ∴ACO＋BCO （ 36090）135， 2 ∴BCD45， ∴45＋ODAABC＋ABD45＋ABC， ∴ABC ADOBAC， ∴BD AB2 2（勾股定理）， ∴BM DM 2 ∵MBDOBA45， ∴BM DM ， ∴AM  AB＋BM 2 2 ＋2， 1 ∴AN  AB 2， 2 S AD AM 2 22 ∴ ΔABD =   2 2 S AC AN 2 ΔABC 第 51 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）图2如下： ∵E为弧线AEC与OB切点， ∴A、E、C在半径为2的另一个圆上， ∵OE2，OE1， ∴OO 5（勾股定理）， 又∵OAOC 2，OAOC 2， ∴四边形AOCO是菱形， ∴AC OO且AC、OO互相平分， 且OOE共角， ∴ OOE∽ DOP，   ∴ DP  OP 且OP 1 OO 5 ， OE OE 2 2 ∴OP 5， 2  5 11 ∴AP 4     （Rt  APO的勾股定理） 2 2   2 5 11 ∴AD AP＋PD ． 2 第 52 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和 性质、勾股定理等是解题关键． 7．（2022春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为 劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E． 7 （1）如图，当cos∠CBO＝ 时，求BC的长； 8 （2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数； （3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积． 7 5 5 【答案】（1） ；（2）18°；（3） 或 3 2 3 6 【分析】（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法 7 二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝ 可得BC的长； 8 （2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA， 得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论； （3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作 辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图 5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论． 【解析】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G， 1 ∴BG＝ BC， 2 第 53 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AB＝4， ∴OB＝2， 7 BG ∵cos∠CBO＝  ， 8 OB 7 ∴BG＝ ， 4 7 ∴BC＝2BG＝ ； 2 解法二：如图2，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， BC 7 ∴cos∠ABC＝  ， AB 8 BC 7 ∴  ， 4 8 7 ∴BC＝ ； 2 （2）如图3，连接OC， ∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似， ∴△DPE∽△OPA， ∴∠DPE＝∠PAO， ∵C是AP的中点， ∴∠AOC＝∠COP， 第 54 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝α， ∵C是AP的中点， ∴OC⊥AP， ∴∠PAO＝90°﹣2α， ∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α， 在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC， ∴4α＝90°﹣2α+α， ∴α＝18°， ∴∠ABC＝18°； （3）分两种情况： ①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H， ∴DH∥PO， AD AH ∴  ， PD OH ∵AD＝2PD， ∴AH＝2HO， ∵AB＝4， 4 2 8 ∴AH＝ ，OH＝ ，BH＝ ， 3 3 3 ∵AO＝OP，∠AOP＝90°， ∴∠A＝45°， 4 ∴AH＝DH＝ ， 3 ∵OE∥DH， 第 55 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OE 2 OE OB  ∴  ，即 4 8， DH BH 3 3 ∴OE＝1， ∴S AOED＝S ABD﹣S OEB 四边形 △ △ 1 4 1 ＝ 4  21 2 3 2 5 ＝ ； 3 ②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC， ∵∠C＝∠OEB＝90°， ∴AC∥OE，CE＝BE， ∵AD＝2DP， 同理得AC＝2PE， ∵AO＝BO， ∴AC＝2OE， 1 ∴OE＝PE＝ OP， 2 1 ∴AC＝ AB， 2 ∴∠ABC＝30°， ∵AB＝4， ∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝ 3，BC＝ 4222 2 3， ∴CE＝ 3， ∵AC∥PE， CD AD ∴  2， DE DP ∵CD+DE＝ 3， 第 56 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 3 ∴CD＝ ， 3 ∴S AOED＝S ABC﹣S OEB﹣S ACD 四边形 △ △ △ 1 1 1 2 3 ＝ 22 3 1 3 2 ， 2 2 2 3 5 3 ＝ ． 6 5 5 3 综上，四边形AOED的面积是 或 ． 3 6 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质 等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是 解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形． 8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，ABC 90，以AB为直径的  O交边DC于E、F 两点，AD1，BC5，设  O的半径长为r． （1）联结OF ，当OF//BC时，求  O的半径长； （2）过点O作OH EF，垂足为点H，设OH  y，试用r的代数式表示y； （3）设点G为DC的中点，联结OG、OD， ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不  能，试说明理由． 3r r24 【答案】（1）3；（2）y ；（3）  ODG能成为等腰三角形，r2 2 r24 1 【分析】（1）证OF 为梯形ABCD的中位线，得出rOF  ADBC3即可； 2 （2）连接OD、OC，过点D作DM BC于M ，则CM BCBM 4，由勾股定理得出DC 2 r24， 由四边形ABCD的面积△DOC的面积△AOD的面积△BOC的面积，进而得出答案； 1 （3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG//AD，OG3， DG CD r24，由勾股定理得 2 OD r21，分三种情况，分别求解即可． 第 57 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：（1）∵OF//BC，OAOB， ∴OF 为梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OF  ADBC 153，即  O的半径长为3； 2 2 （2）连接OD、OC，过点D作DM BC于M ，如图1所示： ∵AD//BC，ABC 90，且DM BC， ∴四边形ABMD为矩形， 则BMAD1， ∴CM BCBM 4， ∴DC  DM2CM2  2r242 2 r24， ∵四边形ABCD的面积△DOC的面积△AOD的面积△BOC的面积， 1 1 1 1 ∴ 152r 2 r24y r1 r5， 2 2 2 2 3r r24 整理得：y ； r24 （3） ODG能成为等腰三角形，理由如下：  ∵点G为DC的中点，OAOB， ∴OG是梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OG//AD，OG ADBC 153， 2 2 1 DG CD r24， 2 由勾股定理得：OD OA2AD2  r212  r21， 分三种情况： ①DGDO时，则 r24  r21，无解； 第 58 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ②ODOG时，如图2所示： r213，解得：r2 2； ③GDGO时，作OH CD于H，如图3所示： GODGDO， ∵OG//AD， ∴ADOGOD， ∴ADOGDO， ∴DO是ADG的平分线， 由题意知：OA AD， 又OH CD， ∴OAOH ， 则此时圆O和CD相切，不合题意； 综上所述，  ODG能成为等腰三角形，r2 2． 【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识； 熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键． 9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作 第 59 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）． （1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长； DE （2）设OD＝x， ＝y，求y与x的函数关系式； AE （3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长． 3x 3 【答案】（1）3 3；（2）y＝ ；（3） 6 2 【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH， BC的长； DE 3x DE 3x DE 3x （2）连结BF．证得OD∥BF，则  ，即  ，得出  ，则得出结论； DF 3x AD 3x AE 6 （3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结 1 3 OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝ OA ，则答案得出． 2 2 【解析】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H． ∵F是BC中点， ∴OF⊥BC，BC＝2BH． ∴∠BOF＝∠COF． ∵OA＝OF，OC⊥AF， ∴∠AOC＝∠COF， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， BH 3 在Rt△BOH中，sin∠BOH＝  ， OB 2 第 60 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AB＝6， ∴OB＝3， 3 3 ∴BH＝ ， 2 ∴BC＝2BH＝3 3； （2）如图2，连结BF． ∵AF⊥OC，垂足为点D， ∴AD＝DF． 又∵OA＝OB， ∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x． DE CD 3x ∴   ， EF BF 2x DE 3x ∴  ， DF 3x DE 3x 即  ， AD 3x DE 3x ∴  ， AE 6 3x ∴y＝ ． 6 （3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去． ②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF． ∵OA＝OF，OB＝OC， ∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC． ∵∠DCE＝∠DAO， 第 61 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC． ∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF， ∴∠OAF＝30°， 1 3 ∴OD＝ OA ． 2 2 3 即线段OD的长为 ． 2 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形 的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形 解决问题． 10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD 的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F． （1）当点F与点B重合时，求CP的长； （2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域； （3）如果GP＝GF，求△EPF的面积． 10 9 5 【答案】（1）CP＝2；（2）y (0„ x3)；（3） 4x 2 【分析】（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算 OH  CO2CH2 3，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论； （2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论； （3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论． 【解析】（1）连接EO，交弦CD于点H， 第 62 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵E为弧CD的中点， ∴EO⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OH⊥CD， 1 ∴CH＝ CD， 2 连接CO， ∵AB＝10，CD＝8， ∴CO＝5，CH＝4， ∴OH  CO2CH2 3， ∴EH＝EO﹣OH＝2， ∵点F与点B重合， ∴∠OBE＝∠HGE＝45°， ∵PE⊥BE， ∴∠HPE＝∠HGE＝45°， ∴PE＝GE， ∴PH＝HG＝2， ∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2； （2）如图2，连接OE，交CD于H， ∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°， 第 63 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠PEH＝∠OFE， ∵∠PHE＝∠EOF＝90°， ∴△PEH∽△EFO， EH PH ∴  ， FO EO ∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5， 2 4x ∴  ， y 5 10 ∴y (0„ x3)． 4x （3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q， ∵GP＝GF， ∴∠GPF＝∠GFP， ∵CD∥AB， ∴∠GPF＝∠PFQ， ∵PE⊥EF， ∴PQ＝PE， 由（2）可知，△PEH∽△EFO， PE PH ∴  ， EF EO ∵PQ＝OH＝3， ∴PE＝3， 第 64 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵EH＝2， ∴PH PE2EH2  5， 3 5 ∴  ， EF 5 ∴EF3 5， 1 1 9 5 ∴S  PEEF  33 5  ． EPF 2 2 2 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题． 第 65 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 66 页 共 66 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司