专题17圆-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 17 圆 圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴题 ；圆周角 定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的 连心线的性质。 一 、圆的有关概念 垂径定理 一、与圆有关的概念 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这 个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以0点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件： ⑴ 圆心； ⑵ 半径， 第 1 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 补充知识： 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作 ，读作弧AB．在同圆或等 圆中，能够重合的弧叫做等弧． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三 角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 点与圆的位置有三种： 位置关系 图形 定义 性质及判定 r P 点在圆外 点在圆的外部 点 在 的外部. O 点在圆上 r P 点在圆周上 点 在 的圆周上. O r P 点在圆内 点在圆的内部 点 在 的内部. O 三点定圆的方法： 1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆 有无数个． 2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B 的圆，这样的圆也有无数个． 3）经过三点时： 情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在； 情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的， 这样的圆有唯一一个． 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 二、垂径定理 对称性 1. 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线 2. 圆是中心对称图形。 第 2 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 常见辅助线做法（考点）： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 一、单选题 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆 中最长的弦．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； 正确的只有一个， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可． 【解析】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， 第 3 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小 关系，难度不大． 3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D． 41cm 【答案】C 【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM． 【解析】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED=10cm，AB=8cm， 由垂径定理知：点M为AB中点， ∴AM=4cm， ∵半径OA=5cm， ∴OM2=OA2-AM2=25-16=9， ∴OM=3cm． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键． 4．下列说法正确的是（ ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 第 4 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误； D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用 相关知识成为解答本题的关键． 5．如图，在  O中，ODAB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD=BD=3cm即可． 【解析】解：∵AB为非直径的弦，ODAB， ∴AD=BD=3cm， ∴AB=AD+BD=6cm． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题关键． 6．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（ ）． A．2 5 B．4 5 C．3 D．2 5或4 5 【答案】D 【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可． 【解析】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， 第 5 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴OA=OC=5，OM=3，AM=8， ∴CM= OC2OM2 =4， ∴AC= CM2AM2 =4 5； 如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=2， ∴CM= OC2OM2 =4， ∴AC= CM2AM2 =2 5， 综上所述：弦AC的长为4 5或2 5． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计 算． 7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B 的位置关系是（ ） A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定 【答案】C 【分析】欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d 第 6 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB2BC ， 有勾股定理得： AB2BC2  AC2 ，即2BC2  BC2  62 ， 解得：BC 2 3 ， ∵以点B为圆心，3为半径作⊙B， ∴r＜d， ∴点C在⊙B外． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含30 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键． 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A． 2 B．3 C．2 2 D．3 2 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设 OE=x，根据勾股定理可得OC2 OE2CE2 x21,OB2 OA2 OE2AE2 x29，从而得到 CD2 OB2OC2 8，即可求解． 【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， 第 7 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴AEBE AB， 2 ∵AC＝4，BC＝2， ∴BA=6， ∴AE=BE=3， ∴CE=1， 设OE=x， ∴OC2 OE2CE2 x21,OD2 OA2 OE2AE2 x29， ∵CD⊥OC， ∴CD2 OD2OC2 x29  x21  8， ∴CD2 2或2 2（舍去）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 二、填空题 9．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不 能”） 【答案】不能 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆． 【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3）， ∴BC∥x轴， 而点A（1，-3）与C、B共线， ∴点A、B、C共线， 第 8 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 10．下列说法正确的是_______（填序号）． ①半径不等的圆叫做同心圆； ②优弧一定大于劣弧； ③不同的圆中不可能有相等的弦； ④直径是同一个圆中最长的弦． 【答案】④ 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：①半径不等的圆叫做同心圆，错误； ②优弧一定大于劣弧，错误； ③不同的圆中不可能有相等的弦，错误； ④直径是同一个圆中最长的弦，正确． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关概念，难度较小 11．A ，B是半径为3的  O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是________． 【答案】0 AB6 【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解． 【解析】解：∵ O的半径为3， ∴ O的直径为6， ∴ O的最长弦为6， ∵A ，B是  O上两个不同的点， ∴0 AB6． 故答案为：0 AB6． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键． 12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心 坐标为________． 第 9 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（2，0） 【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是（2，0）， 故答案为：（2,0）． 13．如图，PAC 30，在射线AC上顺次截取AD3cm，DB10cm，以DB为直径作  O交射线AP于 E、F 两点，则线段EF 的长是__________cm． 【答案】6 【分析】过O点作OH EF于H，连OF ，根据垂径定理得EH FH ，在RtDAOH中，AO= AD+OD= 3+5= 8， 1 A30，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH= OA= 4，再利用勾股定理计算出HF，由 2 EF= 2HF得到答案． 【解析】解：过O点作OH EF于H，连OF ，如图 第 10 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 则EH FH ， 在RtDAOH中，AO= AD+OD= 3+5= 8，A30， 1 则OH= OA= 4， 2 在RtDOHF中，OH 4，OF 5， 则 HF= OF2- OH2 = 3 ， 则EF= 2HF= 6cm． 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关 键． 14．如图，在矩形ABCD中，AB2,AD1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A,B,C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_______． 【答案】1＜r＜ 5 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时， 点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【解析】解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1， 则BD= 2212  5， 由图可知1＜r＜ 5， 故答案为：1＜r＜ 5． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点 与圆的位置关系． 第 11 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与 直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 【答案】2 3CD4 【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求 解即可得． 【解析】由题意，有以下两个临界位置： （1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点E与圆心O重合， 连接OD， 1 由折叠的性质得：OF EF  OE1,OECD， 2 OD2，  在Rt△DOF中，DF  OD2OF2  3， 由垂径定理得：CD2DF 2 3； （2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时CD AB4， 又  要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点， CD4； 综上，折痕CD的长度取值范围是2 3CD4， 故答案为：2 3CD4． 【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键． 第 12 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B 【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件． 【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆； B中，等弧所对应的弦相等，故选B C中，圆心角相等所对应的弦可能互补； D中，弦相等，圆心角可能互补； 故选B 【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些 基本知识容易混淆，从而很难把握． 2．如图，在一个圆内有AB、CD、EF，若AB+CD=EF，则AB+CD与EF的大小关系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 【答案】D 第 13 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】在弧EF上取一点M，使EM CD，推出FM  AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM， CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可． 【解析】如图，在弧EF上取一点M，使EM CD， 则FM  AB， 所以AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， 所以AB+CD＞EF， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线 是解题的关键． 3．在  O中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若ABCD，则ABCD；②若ABCD，则AB2CD； ③若AB2CD，则弧AB=2弧CD；④若AOB2COD，则AB2CD.其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可. 【解析】①若ABCD，则ABCD，正确； ②若ABCD，则ABCD，故不正确； ③由AB2CD不能得到弧AB=2弧CD，故不正确； ④若AOB2COD，则AB2CD，错误. 故选A. 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质. 4．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是AB的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、 第 14 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) F，下列说法错误的是( ) A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB C．EC＝FD D．∠DFB＝75° 【答案】A 1 【解析】试题分析：利用点C，D是AB的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD= 3 ∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则 EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系. 解：∵点C，D是AB的三等分点， 1 ∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD= ∠AOB=30°， 3 ∴选项B正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°， 故选项D正确. ∴∠AEO=∠BFO， 在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO， ∴△AOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴EC＝FD,故选项C正确. 1 在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO= （180°-30°）=75°， 2 ∴∠ACO=∠AEC， ∴AC=AE，同理BF=BD， 又∵AC=CD=BD， ∴CD=AE=BF， ∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD， 第 15 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴EFEF，故A错误. 故选A． 5．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝ CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可． 【解析】∵C、D为半圆上三等分点， ∴ADCDBC，故①正确， ∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相， ∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确， ∵OA=OD=OC=OB， ∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形， ∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确， ∴正确的说法有：①②③④共4个， 故选A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦 相等和平角的概念求解． 6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD 与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ） 第 16 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰 三角形的性质即可求出∠ABC的度数． 【解析】∵∠AOD＝100°， ∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°， ∵点C为弧BAD的中点 1 ∴∠BOC=∠DOC= （360°-80°）=140° 2 ∵OC=OB 1 ∴∠ABC=∠BCO= （180°-140°）=20° 2 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系． 二、填空题 7．120°的圆心角是360°的_______分之一，它所对的弧是相应圆周长的________分之一． 【答案】 三 三 1 【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°= ， 3 1 所以所对的弧长是相应的圆的周长的 ，据此解答即可． 3 第 17 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 【解析】解：120°÷360°= ， 3 1 它所对的弧是相应圆周长的 ， 3 答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一． 故答案为：三；三． 【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆 的周长的比． 8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理计算即可． 【解析】解：连接OD、OE， ∵AD 的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， 第 18 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴BE的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等． 9．已知，如图以AB为直径的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠DEB=25°，则 ∠C=_______． 【答案】65° 【解析】试题分析：因为BDBD，所以∠DEB=∠DAB=25°，因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，所以 ∠C+∠DAB=90°，所以∠C=90°-∠DAB=90°-25°=65°． 考点：1．圆周角定理及其推论、2．直角三角形的性质． 10．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧ADB上，DA＝DB，则∠AOD 的度数为_______． 【答案】150° 【分析】连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°， 则∠AOB＝60°，然后证DADB，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°． 【解析】解：连接OB，如图所示： 第 19 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAB＝∠C＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵DA＝DB， ∴DADB， 1 ∴∠AOD＝∠BOD＝ （360°﹣60°）＝150°， 2 故答案为：150°． 【点睛】此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性 质． 三、解答题 11．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2） AE  BF ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论； （2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论． 第 20 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】（1）证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBD． 在△OAC与△OBD中， OAOB  ∵OAC OBD，  AC BD ∴△OAC≌△OBD（SAS）． ∴OC＝OD． （2）∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴AE  BF ． 【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相 等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键． 12．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中 点． （1）求证：MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 3 【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出MB＝MD即可； 第 21 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可． 【解析】证明：（1）∵AB＝CD， ∴AB＝CD， 又∵点M是弧AC的中点， ∴MA＝MC， ∴ABAM＝MC+CD， 即：MB＝MD， ∴MB＝MD； （2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM， 在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2， ∴ME＝ OM2OE2 ＝ 221 2＝ 3， ∴MD＝MB＝2ME＝2 3． 【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是 正确计算的前提． 13．如图，过  O的直径AB上两点M,N，分别作弦CD,EF，CD//EF,AC BF ． 求证：（1）BC  AF； （2）AM BN． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 第 22 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得 到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：（1）如图，连接OC,OF．  AC BF, COABOF ， COBFOA． BC  AF ． （2）  COABOF,OC OF OAOB, CABOCABFC ABF， BFC ACF ．  CD//EF, AMC ANE． 又 BNF ANE．  AMC BNF． 在 AMC和 BNF中，   AMC BNF,  CABABF,  AC BF,   AMC≌  BNF( AAS ), AM BN ． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性 质是解题的关键． 第 23 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 14．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点． （1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：OD∥AC； （2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为 2，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 2． 【分析】（1）连接BD，由D为AC的中点，得BDCD，则BADCAD，由等腰三角形的性质得 DABADO，推出CADADO，即可得出结论； （2）由垂径定理得OF  AC，由平行线的性质得DOEF，则 DOE是等腰直角三角形，OED45，  2 易证△OGA是等腰直角三角形，得BG OB，再由BC2BG，即可得出结果． 2 【解析】（1）证明： D为BC的中点，  BDCD， ∴DABCAD， ODOB，  ∴DABADO， ∴CADADO， OD//AC； （2）解： G为AC中点，  OF  AC，AC 2AG 由（1）得：OD//AC， DOEF， 第 24 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) △DOE是等腰直角三角形， OED45， ∵ DE⊥ AB， EOBAOG45，  OGA是等腰直角三角形，  2 2 AG OA 2 2， 2 2 AC2AG2 2． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角 三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键． 15．已知  O的直径AB4，弦AC与弦BD交于点E．且OD AC，垂足为点F． （1）如图1，如果AC BD，求弦AC的长； （2）如图2，如果E为弦BD的中点，求EF:DF 2 【答案】（1）AC 2 3；（2） 2 【分析】(1) 连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角 三角形求出，利用垂径定理求出； (2) 连接BC，根据AB为直径，得到AFOC 90，再得到DEBC，证明  DEF≌  BEC(ASA)， 求得是 ABC的中位线，设OF t，则根据BCDF，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可  求解． 【解析】如图 ，连接OC， 第 25 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  OD AC, ADCD,AFO90 又 AC BD，  AC BD即ADCDCDBC， ADBC, ADCDBC ， AODDOC BOC 60  AB4, AOBO2, AF  3 则AC 2AF 2 3； 如图2，连接BC， AB为直径，  OD AC,AFOC 90， OD//BC， DEBC 第 26 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  DEBE、DEF BEC,   DEF≌  BEC(ASA) BC DF、EC EF ， 又  AOOB, OF是 ABC的中位线，  设OF t， 则BC DF 2t,  DF DOOF 2t, 2t 2t 2 解得：t  ， 3 4 16 8 则DF BC  ,AC  AB2BC2  42  2 3 9 3 1 1 2 EF  FC  AC  2, 2 4 3 2 4 2 ∴EF:DF  2:  3 3 2 【点睛】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质， 中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键． 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线和圆的位置关系 位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表： 位置 图形 定义 性质及判定 关系 相离 r O 直线与圆没有公共点 直线 与 相离 d l r 直线与圆有唯一公共点，直线叫 相切 O 直线 与 相切 d l 做圆的切线，公共点叫做切点 r 直线与圆有两个公共点，直线叫 相交 O 直线 与 相交 d 做圆的割线 l 切线的性质及判定 切线的性质： 第 27 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 两个圆没有公共点，并且每个 r R 两 圆 外 外离 圆上的点都在另一个圆的外 O1 O2 部． 离 两个圆有唯一公共点，并且除 r R 两 圆 外 外切 了这个公共点之外，每个圆上 O1 O2 切 的点都在另一个圆的外部． 相交 两个圆有两个公共点． O1 R O2 两圆相交 两个圆有唯一公共点，并且除 r 内切 O 1O 2 了这个公共点之外，一个圆上 两圆内切 R 的点都在另一个圆的内部． 两个圆没有公共点，并且一个 R 圆上的点都在另一个圆的内 两圆 内含 r O1 O2 部，两圆同心是两圆内含的一 内含 种特例． 【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外 离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 定理1：相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 定理2：相切圆的连心线经过切点。 一、单选题 1．（2023春·上海·九年级专题练习）已知圆O 、圆O 的半径不相等，圆O 的半径长为5，若圆O 上的点A 1 2 1 2 满足AO 5，则圆O 与圆O 的位置关系是（ ） 1 1 2 A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 第 28 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论． 【解析】解：如图所示： 当两圆外切时，切点A能满足AO 5，当两圆相交时，交点A能满足AO 5， 1 1 当两圆内切时，切点A能满足AO 5，当两圆相离时，圆O 上的点A不能满足AO 5， 1 2 1 所以，两圆相交或相切， 故选：A． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 2．（2022春·上海青浦·九年级校考期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位 置关系是（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】B 【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为d：外离， 则d Rr；外切，则d Rr；相交，则Rrd Rr；内切，则d Rr；内含，则d Rr． 【解析】解：∵两圆半径之差624圆心距， ∴两个圆的位置关系是内切． 故选：B． 【点睛】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解． 3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段 OA10cm，线段OB=6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ） 第 29 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直 线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相 离． 【解析】解：∵⊙O的半径为10cm，线段OA10cm，线段OB=6cm， ∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上 当ABOB时，如左图所示，由OB=6cm知，直线AB与⊙O相切； 当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作ODAB于点D，则ODOB，所以直线AB与⊙O相交； ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与 半径的大小，从而可确定位置关系． 4．（2023春·上海·九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2， 3)，圆P的半径为2，下列说法 正确的是（ ） A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点 D．圆P与x轴、y轴都没有公共点 【答案】B 【分析】点P到x轴的距离是 3，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y 轴相切，从而确定答案即可． 【解析】解：∵P（2， 3），圆P的半径为2，2=2， 3＜2， ∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切， 第 30 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心 到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点； ③d＜r，直线和圆相交，有两个交点． 5．（2022春·上海闵行·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，C 90，AC 4，BC 7，点D在边BC 上，CD3，  A的半径长为3，  D与  A相交，且点B在  D外，那么  D的半径长r的取值范围是 （ ） A．1r4 B．2r4 C．1r8 D．2r8 【答案】B 【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD5，根据圆与圆的位置关系得到r532， 由点B在  D外，于是得到r4，即可得到结论． 【解析】解：连接AD， ∵AC 4，CD3，C 90， ∴AD 3242 5 ∵ A的半径长为3，  D与  A相交， ∴r532， ∵BC 7， ∴BD4， 第 31 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵点B在  D外， ∴r4， ∴ D的半径长r的取值范围是2r4， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d r时，点在 圆上；当d> r时，点在圆外；当d r时，点在圆内． 6．（2022·上海·九年级专题练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，ABC 90，AB4，BC 4， AD1（如图）．点O是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值 范围是（ ） 20 5 A．2OD5 B． OD 9 2 20 85 20 95 C． OD D． OD 9 26 9 26 【答案】C 【分析】分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即 可． 【解析】解：如图1，过点D作DH BC于H， 则ADBH 1，ABDH 4，HC 413， 在Rt△DHC中，CD 3242 5， 第 32 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当 O与BC相切时，此时 O与线段BC有一个公共点，此时半径最小，   设ODOEx，则OC 5x， OE DH 4 在Rt△COE中，sinC    ， OC DC 5 4 ∴OE (5x)， 5 4 由ODOE得，x (5x)， 5 20 解得x ； 9 如图2，当以OD为半径的 O过点B时，半径最大，过点O作OF BC于F，  设ODOB y，则OC 5y， OF DH 4 在Rt△COF 中，sinC    ， OC DC 5 4 4 3 3 ∴OF  5y4 y，FC  5y3 y， 5 5 5 5 3 ∴BF 4FC 1 y， 5 在Rt△BOF中，由勾股定理得，BF2+OF2 =OB2 3 4 即(1 y)2(4 y)2  y2， 5 5 85 85 解得y ，即 O的最大半径为 ，  26 26 20 85 所以当以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围为 OD ， 9 26 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的 图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 第 33 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二、填空题 7．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知  O 1 与  O 2 两圆外切，O 1 O 2 5，  O 1 的半径为3，那么  O 2 的半 径r为______． 【答案】2 【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果． 【解析】  O 1 与  O 2 两圆外切， 53r, r2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题 的关键． 8．（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt ABC中，ABC 90，AB6，BC8，分别以点A、C为圆心  画圆，如果点B在  A上，  C与  A相交，且点A在  C外，那么  C的半径长r的取值范围是 ________． 【答案】4r10 【分析】根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出 A的半径，再求出 C的半径的取值范   围即可． 【解析】解：在Rt  ABC中，ABC 90，AB6，BC8，由勾股定理得：AC  6282 10，  点B在  A上，   A的半径是6， 第 34 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 设  A交AC于D，则AD6，CD1064， ∵ C与  A相交， ∴r4，  点A在  C外，， \ eC的半径小于10， 即r的取值范围是4r10， 故答案为：4r10． 【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边AC的长是解题的关键． 9．（2023春·上海·九年级专题练习）已知l ∥l ，l 、l 之间的距离是5cm，圆心O到直线l 的距离是2cm， 1 2 1 2 1 如果圆O与直线l 、l 有三个公共点，那么圆O的半径为______cm． 1 2 【答案】3或7 【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题． 【解析】解：设圆的半径为rcm 如图一所示， r-5=2，得r=7cm， 如图二所示， 第 35 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) r+2=5，得r=3cm， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的 思想解答． 10．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，C 90，BC 9，AC 12，点O在 边AB上，且BO2OA，以点O为圆心，r为半径作圆，如果  O与Rt△ABC的边共有4个公共点，那么 半径r取值范围是______. 【答案】3r5 【分析】利用勾股定理求出BO10，OA5，作OD AC交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知： 3r5的时候，交点为4个． 【解析】解：∵C 90，BC 9，AC 12， ∴AB BC2AC2 15， ∵BO2OA， ∴BO10，OA5， 作OD AC交于点D，以O为圆心作圆，如图： 第 36 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵C ODA90，AA， ∴△AOD∽△ABC， AO OD 5 OD ∴  ，即  解得：OD3， AB BC 15 9 结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当3r5 的时候，交点为4个， ∴半径r取值范围是3r5． 故答案为：3r5 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分 析求解． 11．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC 30，圆P的半径为1cm， 动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时， 圆心P的运动时间为 _____s． 【答案】4或8##8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即 可． 【解析】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E 第 37 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 62 ∴⊙P移动所用的时间＝ ＝4（秒）； 1 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， 62 ∴⊙P移动所用的时间＝ ＝8（秒） 1 ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P 在射线OB两种情况进行计算． 12．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在Rt  ABC中，ACB90，AB5，BC 3，点P在边AC上，  P的半径为1，如果  P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________． 第 38 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 7 【答案】1PC 3 【分析】根据勾股定理得到AC=4，然后找出  P与边BC、AB相切的临界点，根据相似三角形的性质即可 得到结论． 【解析】解：在Rt  ABC中，ACB90，AB5，BC 3， 由勾股定理，则AC  5232 4， 当  P与边BC相切时，则点C恰好为切点， 此时PC 1； 当  P与边AB相切时，如图，作PD⊥AB， ∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°， ∴△ABC∽△APD， AB BC ∴  ， AP PD 5 3 ∴  ， AP 1 5 ∴AP ， 3 第 39 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5 7 ∴PC 4  ； 3 3 7 ∴线段PC长的取值范围是1PC ． 3 7 故答案为：1PC ． 3 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题 的关键． 13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,A90，E是AD上一定点， AB3,BC 6,AD8,AE2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆 心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __． 15 【答案】 PC4或PC 3 4 【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P与圆E内切，切点为 Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【解析】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示： ∴PM  AD， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴ABC A90， ∴四边形ABPM 是矩形， 第 40 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴PM  ABPC 3， PC最大值为圆P与圆E内切，切点为Q， ∴PC PQPEEQ314， 当PC PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意， 设PC PAx，则BPBCPC 6x,AB3， ∴6x29x2， 15 ∴x ， 4 15 则PC长度的取值范围是 PC4或PC 3． 4 15 故答案为： PC4或PC 3． 4 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与 圆的位置关系，圆与圆的位置关系． 三、解答题 14．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O 与⊙O 外切于点T，经过点T的直线与⊙O 、⊙O 1 2 1 2 分别相交于点A和点B． (1)求证：O A∥O B； 1 2 (2)若O A＝2，O B＝3，AB＝7，求AT的长． 1 2 【答案】(1)见解析 14 (2)AT  5 【分析】（1）联结O O ，即O O 为连心线，欲证明O A∥O B，只需推知∠A＝∠B； 1 2 1 2 1 2 第 41 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 AT （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到  ，通过计算求得AT的值． 3 7AT 【解析】（1）证明：联结O O ，即O O 为连心线， 1 2 1 2 又∵⊙O 与⊙O 外切于点T， 1 2 ∴O O 经过点T． 1 2 ∵O A＝O T，O B＝O T． 1 1 2 2 ∴∠A＝∠O TA，∠B＝∠O TB． 1 2 ∵∠O TA＝∠O TB， 1 2 ∴∠A＝∠B． ∴O A∥O B； 1 2 （2）∵O A∥O B， 1 2 AO AT ∴ 1  ． BO BT 2 ∵O A＝2，O B＝3，AB＝7， 1 2 2 AT ∴  ， 3 7AT 14 解得：AT  ． 5 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是 解题的关键． 15．（2022春·上海·九年级校考期中）已知：如图，⊙O 与⊙O 相交于点A和点B，AC∥O O ，交⊙O 于点 1 2 1 2 1 C，⊙O 的半径为5，⊙O 的半径为 13，AB=6． 1 2 第 42 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO O 的面积． 1 2 【答案】(1)8 (2)21 【分析】（1）连接OA，过O 作OD AC于点D，设AB与OO 交于点E，由圆的对称性可得AE的长， 1 1 1 1 2 由勾股定理可求得OE，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长； 1 （2）由勾股定理可求得O E，从而可得OO 的长，则可分别求得△OAC、△OO A的面积，则可求得四 2 1 2 1 1 2 边形ACO O 的面积． 1 2 （1） 解：连接OA，过O 作OD AC于点D，设AB与OO 交于点E，如图 1 1 1 1 2 1 由圆的对称性知：AE AB3，O O  AB 2 1 2 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE OA2AE2  5232 4 1 1 1 ∵OD AC，AC∥O O 1 1 2 ∴ODOO 1 1 2 ∵O O  AB 1 2 ∴OD//AB 1 ∴四边形ADOE是平行四边形 1 ∵OD AC 1 第 43 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴四边形ADOE是矩形，且AD=CD 1 ∴ADOE4，OD AE3 1 1 ∴AC=2AD=8 （2） 解：在Rt△AO E中，由勾股定理得：O E O A2AE2  ( 13)232 2 2 2 2 ∴OO OEO E426 1 2 1 2 1 1 1 1 ∴S △O1AC  2 AC  O 1 D 2 8312，S △O1AO2  2 AE  O 1 O 2  2 369 ∴四边形ACO O 的面积为：S S 12921 1 2 △O1AC △O1AO2 【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用 是关键． 16．（2022春·九年级单元测试）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公 共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP． (1)当点B在线段AP上时， ①求证：∠AOB＝∠APO； 第 44 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积； (2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α 的代数式表示β． 7 【答案】(1)①见解析；② 4 2 (2)β＝60°﹣  3 【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，则∠AOB＝∠APO； OA AB ②首先利用△AOB∽△APO，得  ，可得AP的长，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝ 2﹣x， AP OA 利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积； 1 1 1 1 （2）连接OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝ ∠AOB＝ β，∠ACO＝ ∠APO＝ β，再利用 2 2 2 2 SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题． 【解析】（1）①证明：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵PA＝PO， ∴∠BAO＝∠POA， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP， ∴∠AOB＝∠APO； ②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO， ∴△AOB∽△APO， OA AB ∴  ， AP OA ∴OA2＝AB•AP＝1， ∵点B是线段AP的中点， ∴AP＝ 2， 作AH⊥PO于点H， 设OH＝x，则PH＝ 2﹣x， 第 45 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由勾股定理得，12﹣x2＝（ 2）2﹣（ 2x）2， 2 解得x＝ ， 4 2 ∴OH＝ ， 4 2 14 由勾股定理得，AH＝ 12( )2 ＝ ， 4 4 1 1 14 7 ∴△AOP的面积为 OPAH   2 ＝ ； 2 2 4 4 （2）解：如图，连接OC，AC， ∵∠AOB＝∠APO， ∴∠AOB＝β， 1 1 1 1 ∴∠ACB＝ ∠AOB＝ β，∠ACO＝ ∠APO＝ β， 2 2 2 2 ∴∠OCP＝β+α， ∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP， ∴△OAP≌△OCP（SSS）， ∴∠OAP＝∠OCP＝β+α， 在△OAP中，2（α+β）+β＝180°， 2 ∴β＝60°﹣ ． 3 第 46 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键． 五、正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：  正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．  正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．  正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．  正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 半径、边心距，边长之间的关系： 画圆内接正多边形方法： 1） 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 2） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大） 3） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） 一、填空题 1．（2023春·上海·九年级专题练习）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______． 第 47 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 27 3 【答案】 2 【分析】根据圆的半径为3，过圆心O作AB⊥OH于点H，根据圆的内接正六边形，连接OA，OB得  OAB 1 是等边三角形，根据等边三角形的性质，得AH BH  OA；根据勾股定理，求出OH；得  OAB的面积， 2 根据圆的内接正六边形的面积等于6个 OAB的面积，即可．  【解析】如图： 连接OA，OB ∴ OAB是等腰三角形  360 ∵正多边形的中心角为： 60 6 ∴ OAB是等边三角形  过圆心O作AB⊥OH于点H 1 ∴AH BH  OA 2 ∵OA3 3 ∴AH  2 ∴在直角三角形△OAH中，OA2  AH2OH2 3 3 ∴OH  2 1 1 3 3 ∴S  ABOH  3 VOAH 2 2 2 9 3 ∴S  VOAH 4 9 3 27 3 ∴正六边形的面积为：S  6 ． 4 2 27 3 故答案为： ． 2 第 48 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查圆内接正多边形的知识，解题的关键是掌握圆内接正多边形中心角的计算，等边三角形 的判定和性质． 2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条 边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______． 【答案】12 【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正方形与内接正三角形的中 心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值． 【解析】解：连接OA、OB、OC，如图， ∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边， 360 360 ∴∠AOC= =90°，∠AOB= =120°， 4 3 ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°， 360 ∴n= =12， 30 即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的 多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念． 3．（2021·上海·统考二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接 正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 第 49 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】6 3 【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正 360° 360° 十二边形的一边得到∠AOB＝ ＝90°，∠AOC＝ ＝30°，从而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30° 4 12 ＝120°，然后求得BC的长即可． 【解析】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D， ∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边， 360° 360° ∴∠AOB＝ ＝90°，∠AOC＝ ＝30°， 4 12 ∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°， ∵OC＝OB， ∴∠OCD＝∠OBC＝30°， ∵OC＝6， OC ∴CD＝ ＝3 3， cos30° ∴BC＝2CD＝6 3， 故答案为：6 3． 【点睛】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数． 4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN 上．若AB＝4，则CN＝_____． 第 50 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】62 3 【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即 可． 【解析】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上 (62)180 4180 ∴∠ABC=  120，∠M=90，AB=BC，AM=MN 6 6 ∵∠ABC+∠CBM=180° ∴∠CBM=60° ∵AB=4 ∴BC=4 ∴CM=BCsin∠CBM=2 3 MB=BCcos∠CBM=2 ∴AM=AB+MB=6 ∴MN=AM=6 ∴CN=MN-CM=6-2 3 故答案为：6-2 3． 【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键． 5．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足 BG3FG，联结FC，如果  EFG的面积为1，那么  FBC的面积等于_______. 第 51 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】4 【分析】解：如图，连接CE，由BG3FG得BF 4FG，由六边形ABCDEF是正六边形证明EF∥BC， 从而得 FBC的面积为 EFG的面积的4倍即可求解．   【解析】解：如图，连接CE，  BG3FG， BF 4FG，  六边形ABCDEF是正六边形， 62180 AB=AF=EF=BC，ABC BAF AFE 120， 6 180120 ABF AFB 30， 2 CBF EFB1203090， CBFEFB9090180， EF∥BC， 四边形BCEF是平行四边形， BF∥EC，  EFG的面积为1，BF 4FG，  FBC的面积为144，  故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题 的关键． 6．（2021·上海·九年级专题练习）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这 个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图， O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计 O的面积，   那么 O的面积约是___．  第 52 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】3 【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作ADOB于D，由正十二边形的性质得出 1 1 1 1 AOB30，由直角三角形的性质得出AD OA ，求出  AOB的面积 OBAD ，即可得出答 2 2 2 4 案． 【解析】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作ADOB于D，如图所示： 360 1 1 AOB 30,  ADOB, AD OA ， 12 2 2 1 1 1 1  AOB的面积 OBAD 1   2 2 2 4 1 正十二边形的面积12 3， 4   O的面积正十二边形的面积3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练 掌握正十二边形的性质是解题的关键． 7．（2023春·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的 “联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2 5的菱形，那么这个菱形不在圆 上的顶点与圆心的距离是________． 【答案】1 【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可． 第 53 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 根据题意作图可分两种情况：1如图：作OPBC， BC=2 5，BO=5， ∵A，B，C在圆O上， ∴BP= 5（垂径定理）， 又BP2OP2 BO2，  2 ∴OP= BO2BP2 = 52 5 =2 5； 因为ABCD是菱形， ∴ACBD，即∠BQC=90°， 在△BOP与△BQC中， OBPQBC  ， OPBBQC ∴△BOP~△BQC， BP BO ∴  ， BQ BC 5 5 即  ， BQ 2 5 ∴BQ=2， ∵BQ>BO， ∴此情况不符合题意，舍去； 第 54 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2，如图，同理可得OP=2 5， 在△BOP与△BQC中， OBPQBC  ， OPBBQC ∴△BOP~△BQC， BP BO ∴  ， BQ BC 5 5 即  ， BQ 2 5 ∴BQ=2， ∴OQ=BO-BQ=3， ∴OD=QDOQ = BQOQ =1， 综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1． 故答案是：1． 【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难． 8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，下列正多边形都满足BA =CB ，在正三角形中，我们可推得： 1 1 ∠AOB =60°；在正方形中，可推得：∠AOB =90°；在正五边形中，可推得：∠AOB =108°，依此类推在正八 1 1 1 边形中，AOB =____°，在正n(n≥3)边形中，∠AOB =____°． 1 1 第 55 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (n2)180 【答案】 135 n 【分析】根据正八边形的性质可以得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，就可以得出△ABA ≌△BCB ，就可 1 1 32180 以得出∠CBB =∠BAA ，就可以得出∠AOB =135°，由正三角形中∠AOB =60° ，正方形中， 1 1 1 1 3 42180 52180 ∠AOB =90° ，正五边形中，∠AOB =108° ，…正n(n≥3)边形中，∠AOB 1 1 1 4 5 n2180  ，就可以得出结论． n 【解析】如图，多边形ABCDEFGH是正八边形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°， 在△ABA 和△BCB 中， 1 1  AB＝BC  ABC＝BCD，   BA＝CB 1 1 ∴△ABA ≌△BCB (SAS) 1 1 ∴∠BAA =∠CBB ， 1 1 ∵∠AOB =∠ABO+∠BAA ， 1 1 ∴∠AOB =∠ABO+∠CBB =135°； 1 1 32180 ∵在正三角形中∠AOB =60° ， 1 3 第 56 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 42180 正方形中，∠AOB =90° ， 1 4 52180 正五边形中，∠AOB =108° ， 1 5 … n2180 ∴在正n(n≥3)边形中，∠AOB  ， 1 n n2180 故答案为：135°， ． n 【点睛】本题考查了正多边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是 关键． 二、解答题 9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，  ABC与  O交于D，E两点，AB是直径且长为12， OD∥BC． (1)证明：CDDE； (2)若AD4，求CE的长度． 【答案】(1)见解析 8 (2) 3 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得C DEC，从而证明结论； （2）设CEx，则BE12x，根据勾股定理可得AC2CE2  AB2BE2，代入即可得出方程，从而解决 问题． 【解析】（1）证明：∵四边形ABED内接于  O， DEC A， 第 57 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵OAOD， ∴AADO， ∵OD∥BC， ∴C ADO C DEC， CD＝DE； （2）解：连接OE,AE，由（1）得C A， ∴ABBC 12， AOE2B，BAOD， AOE2AOD， AODDOE， ADDE， AC 2AD8， ∵AB是直径， ∴AEB 90， 设CEx，则BE12x， ∵AC2CE2  AB2BE2， ∴82x2 12212x2， 8 解得：x ， 3 8 ∴CE ． 3 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程 是解题的关键． 第 58 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知，如图，AB是  O的直径，弦CD AB于点E，G是AC上 一点，AG与DC的延长线交于点F，设半径为R． (1)若CD8，BE2，求： ①OE______（用R的代数式表示）； ② O的半径长． (2)求证：FGC AGD． 【答案】(1)①R2；②5 (2)见解析 【分析】（1）①利用OB减去BE即可表示OE；②连接OC，设  O的半径为R．在Rt△OEC中，根据 OC2 OE2EC2，构建方程即可解决问题； （2）连接AD，根据垂径定理得到AD AC，根据圆周角定理得到ADC AGD，根据圆内接四边形的 性质证明即可． 【解析】（1）解：①设  O的半径为R． ∴OEOBBER2； ②连接OC． CD AB，  DEEC4， 在Rt△OEC中， OC2 OE2EC2，  第 59 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) R2 (R2)242， 解得R5． （2）证明：连接AD，  弦CD AB AD AC， ADC AGD，  四边形ADCG是圆内接四边形， ADC FGC， FGC AGD． 【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添 加常用辅助线是解题的关键． 一、解答题 1．（2021·上海杨浦·统考二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合）， 过点A作AD//OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD． （1）求证：CE＝CD； （2）如果AD3CD，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD； （2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论． 【解析】证明：（1）如图１，连接AC， 第 60 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， 在△DAC和△EAC中， AD AE  DAC EAC，  AC  AC ∴△DAC≌△EAC（SAS）， ∴CE＝CD； （2）如图2，连接CA， ∵AD3CD， ∴∠AOD＝3∠COD， ∵AD∥OC， ∴∠ADO＝∠DOC， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， 第 61 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°， ∴5∠ADO＝180°， ∴∠ADO＝36°， ∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝72°， ∴∠ADC＝108°， ∵△DAC≌△EAC， ∴∠ADC＝∠AEC＝108°， ∴∠AOD＝∠AEC， ∴OD∥CE， 又∵OC∥AD， ∴四边形OCFD是平行四边形， 又∵OD＝OC， ∴平行四边形OCFD是菱形． 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，平行线的性质，三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握圆的基本 性质，菱形的判定是解题的关键． 2．（2020·上海松江·统考二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在 弦AB、AC上，满足AM＝CN． （1）求证：AB＝AC； MN OM （2）联结OM、ON、MN，求证：  ． AB OA 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案； （2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明 BOM  AON ，然后再证明 NOM BOA，根据相似三角形     第 62 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 的性质即可得出答案． 【解析】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示： ∵AO平分∠BAC． ∴OD＝OE． AD2  AO2OD2,AE2  AO2OE2，  AD AE．  OD AB,OE AC， AB2AD,AC 2AE， ∴AB＝AC； （2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示， ∵AM＝CN，AB＝AC ∴BM＝AN． ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠BAO． ∵∠BAO＝∠OAN， ∴∠B＝∠OAN， ∴△BOM≌△AON（SAS）， ∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON， ∴∠AOB＝∠MON， 第 63 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴△NOM∽△BOA， MN OM ∴  ． AB OA 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相 关性质及定理是解题的关键． 3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于 点B，交⊙P点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E． DE （1）求 的值： BC AB （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3:5，求 的值． AC 1 3 【答案】（1） ；（2） 2 5 1 1 DE 【分析】（1）由垂径定理可得AD= AB、AE= AC，然后根据线段的和差求得DE和BC并代入 即可 2 2 BC 解答； （2）连接OP、 OB、CP，然后说明一系列角相等，证明OB//PC，然后判定△BOA∽△CPA，最后利用相似 三角形的性质解答即可． 【解析】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC， 1 1 ∴AD= AB， AE= AC， 2 2 DE ADAE 1 ∴   ； BC BAAC 2 （2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP， ∵OB=OA，PA=PC ∴∠OBA=∠OAB=∠PAC=∠PCA， ∴OB//PC， ∴△BOA∽△CPA， 第 64 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB OA 3 ∴   ． AC AP 5 【点睛】本题考查了垂径定理和相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是解 答本题的关键． 4．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知：如图，AB是  O的直径，C是  O上一点，CD AB，垂足为 点D，F 是AC的中点，OF 与AC相交于点E，AC 12，EF 3． (1)求AO的长； (2)求cosC的值． 15 【答案】(1) 2 3 (2) 5 1 【分析】（1）由F 是AC的中点，根据垂径定理的推论，得AE AC，OF  AC，在Rt△AEO中，利用 2 勾股定理求解即可； （2）由CD AB，利用同角的余角相等得到C AOE，cosC cosAOE，在Rt△AEO，即可得到 cosAOE的值． 【解析】（1）解：设AOr，则OF r 第 65 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  F是AC中点 1 AE AC6且OF  AC 2 在Rt△AEO中，AE2OE2 OA2 62(r3)2 r2， 15 解得：r ， 2 15 OA ； 2 （2）解： OEAE，  AAOE90， CO AB，  AC 90， C AOE， 9 2 3 cosC cosAOE  ． 15 5 2 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2023春·上海·九年级专题练习）已知CD为  O的直径，A、B为  O上两点，点C为劣弧AB中点，连 接DA、BA、AC，且B30． (1)求证：D30； (2)F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF  AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH ，请猜测AF 与CH 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 第 66 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)AF 2CH ，理由见解析 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出DB30； （2）过点O作OP∥CH 交AC延长线于点P．由垂径定理可得ACDBCD，CD AB，结合题意即得 出ACDBCD60，即证明 OCA为等边三角形，从而可求PCOFOA120．又可求出  GH GC FOCG，HOHG．根据平行线分线段成比例可得出  ，从而可推出OF CP．即易证 HO CP  FOA  PCO(SAS)，推出AF OP．最后根据三角形中位线定理即可得出答案． 【解析】（1）∵AC=AC， ∴DB30； （2）AF 2CH ，理由如下： 如图，过点O作OP∥CH 交AC延长线于点P． ∵点C为劣弧AB中点，CD为  O的直径， ∴ACDBCD，CD AB． ∵B30， ∴ACDBCD60． ∵OA=OC， ∴ OCA为等边三角形，  ∴PCOFOA120． ∵DF  AG，DOCA， ∴FOCG． ∵H为OG中点， ∴HOHG． ∵OP∥CH ， 第 67 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) GH GC ∴  ， HO CP ∴CGCP， ∴OF CP．  OF=CP  在  FOA与△PCO中，FOA=PCO   OA=OC ∴ FOA  PCO(SAS)， ∴AF OP． ∵C为PG中点，H为OG中点， ∴CH为 POG中位线，  1 ∴CH  OP， 2 ∴AF 2CH ． 【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比 例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 6．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,ADCB,M,N分别是CB和AD 的中点，联结MN,OG． （1）求证：OGMN； （2）联结AC,AM,CN ，当CN //OG时，求证：四边形ACNM 为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结OM,ON，由M、N分别是CB和AD的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由ABCD， 可 得OM ON ，可证RtEOP≌RtFOPHL，MGNG，MGONGO，根据等腰三角形三线合一性质 第 68 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OGMN; （2）设OG交MN于E，由RtEOP≌RtFOP，可得MGNG，可得CMN ANM ， 1 1 CM  CB AD AN，可证 CMN≌ ANM 可得AM CN，由CN∥OG，可得AMN CNM 90，   2 2 由AMN+CNM=180可得AM∥CN，可证ACNM 是平行四边形，再由AMN90可证四边形ACNM是 矩形． 【解析】证明：（1）连结OM,ON， ∵M、N分别是CB和AD的中点， ∴OM，ON为弦心距， ∴OM⊥BC，ON⊥AD， GMOGNO90， 在 O中，ABCD，  OM ON， 在Rt△OMG和Rt△ONG中， OM ON  ， OGOG RtGOM≌RtGONHL， ∴MGNG，MGONGO， OGMN ; （2）设OG交MN于E，  RtGOM≌RtGONHL， ∴MGNG， 第 69 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴GMN GNM ，即CMN ANM ， 1 1  CM  CB AD AN， 2 2 在△CMN和△ANM中 CM  AN  CMN ANM ，  MN NM  CMN≌ ANM ，   AM CN,AMN CNM ， ∵CN∥OG， CNM GEM 90， AMN CNM 90， AMN+CNM 90+90=180， ∴AM∥CN， ACNM 是平行四边形， AMN 90，  ∴四边形ACNM是矩形． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形 的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判 定是解题关键． 7．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°． (1)如图1，求证：AD 等于CD； (2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长． 【答案】(1)见解析 第 70 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)见解析 (3)2 5 【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论； (2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再 证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF； 1 (3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3， 2 OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长． （1） 证明：如图：连接BD、CD AB为直径 ∠ADB=90° ∠DBA+∠DAB=90° ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠DAC=∠DBA 又 ∠DCA=∠DBA ∠DAC=∠DCA AD=CD AD=CD （2） 证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G 第 71 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DGA=90 由(1)知AD=CD DG垂直平分AC AC=2AG AE=DE  ADF=DAC ∠DAC＋∠DAB＝90° ∠ADF＋∠DAB＝90° DFA=AGD=90 又 AD=DA  △ADF≌△DAGAAS DF=AG AC=2DF （3） 1 解：取BC的中点H，连接OH、OD，则BH=CH= BC=3，OHBC 2 OHB=90=DFO OA=OB  OH 是 ABC中位线  AC=2OH 由(2)知AC=2DF OH=DF OD=OB  Rt△OFD≌Rt△BHO(HL) OF=BH=3 OD=OA=AFOF=23=5 第 72 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 在Rt△OFD中，DF2=OD2OF2=5232=16 在Rt△AFD中，AD= AF2DF2= 2216=2 5 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能 够证明∠AFD=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等． 8．（2020·上海普陀·统考二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O 交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r． （1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长； （2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y； （3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不 能，试说明理由． 3r r24 【答案】(1)3；(2)y= ；(3)△ODG能成为等腰三角形，r=2 2 r24 1 【分析】(1)证OF为梯形ABCD的中位线，得出r=OF= (AD+BC)=3即可； 2 (2)连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2 r24，由四边 形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案； 1 (3)证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG=3，DG= CD= r24，由勾股定理得OD= r21， 2 分三种情况，分别求解即可． 【解析】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB， ∴OF为梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OF= (AD+BC)= (1+5)=3， 2 2 即⊙O的半径长为3； (2)连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示： 第 73 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC， ∴四边形ABMD为矩形， 则BM=AD=1， ∴CM=BC﹣BM=4， ∴DC= DM2CM2  2r2 42 2 r24， ∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积， 1 1 1 1 ∴ (1+5)×2r= ×2 r24×y+ r×1+ r×5， 2 2 2 2 3r r24 整理得：y= ； r24 (3)△ODG能成为等腰三角形，理由如下： ∵点G为DC的中点，OA=OB， ∴OG是梯形ABCD的中位线， 1 1 ∴OG∥AD，OG= (AD+BC)= (1+5)=3， 2 2 1 DG= CD= r24， 2 由勾股定理得：OD= OA2AD2  r212  r21， 分三种情况： ①DG=DO时，则 r24  r21，无解； ②OD=OG时，如图2所示： 第 74 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) r213， 解得：r2 2； ③GD=GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示： ∠GOD=∠GDO， ∵OG∥AD， ∴∠ADO=∠GOD， ∴∠ADO=∠GDO， ∴DO是∠ADG的平分线， 由题意知：OA⊥AD， 又OH⊥CD， ∴OA=OH， 则此时圆O和CD相切，不合题意； 综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r=2 2． 【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识； 熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键． 9．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）如图，AB为半圆O的直径，AB=8，过B作AB的垂线BQ， 第 75 页 共 83 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 点C为直线BQ上一点，连接AC交半圆O于点E，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AE于点D（D不与A 重合）． (1)如图2，连接OE、DB交于点G，若G为 ABE重心时，求cosDBA的值；  GO (2)如图2，设tanCAB=x， =y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； GE (3)延长BD交» AE 于点F ，延长FO交射线CB于点P， ①设  B与线段AB交于点H，连接DH ，ADH 的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请 至少给出两种不同情况下所对应的度数； ②若 POB与 ABC相似，求AC的长．   2 2 【答案】(1) 3 1x2 (2)y= (0