专题16转化思想在两种题型中的应用（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 16 转化思想在两种题型中的应用 通用的解题思路： 转化思想方法包含三个基本要素: 1、把什么东西转化，即转化的对象; 2、转化到何处去，即转化的目标; 3、如何进行转化，即转化的方法。 转化思想方法应遵循以下五条原则: 1、熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决; 2、简单化原则:将复杂问题转化成简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某 种解题的启示和依据:3、和谐化原则:转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐 统的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律:4、直观化原则:将比 较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问 题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决或证明的可能性。 题型一：圆中的转化思想 1．（2023•齐齐哈尔）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在ABC和AEF中，AB AC，AE AF，BAC EAF 30，连接BE ， CF ，延长BE 交CF 于点D．则BE 与CF 的数量关系： ，BDC  ； （2）类比探究：如图2，在ABC 和AEF中，AB AC，AE AF，BAC EAF 120，连接BE ，CF ， 延长BE ，FC交于点D．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，ABC 和AEF均为等腰直角三角形，BAC EAF 90，连接BE ，CF ，且 点B，E，F 在一条直线上，过点A作AM BF，垂足为点M ．则BF ，CF ，AM 之间的数量关系： ； （4）实践应用：正方形 ABCD中， AB2，若平面内存在点 P满足 BPD90， PD1，则 S  ． ABP2．（2024•介休市模拟）阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年月日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论．口 诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知A(3,0)、B(0,4)，在直线x1上求点C，使得ABC 为直角三角 形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线l交直线x1于点C，则交点即为所求点 C．如图①，有C 一个点； 1 情况二：当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线l交直线x1于点C，则交点即为所求点 C．如图②，有C 一个点； 2 情况三：当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x1的交点即为所求点C．如 图③，有C ，C 两个点； 3 4方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想 （2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C 的坐标． 1 （3）直接写出“情况二”中C 的坐标 ； 2 （4）请你写出在“情况三”中，确定C 、C 的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写 3 4 出一个即可）．3．（2023•吴川市二模）已知： O的直径AB10，C是AB的中点，D是 O上的一个动点（不与点A、   B、C重合），射线CD交射线AB于点E． （1）如图1，当BE AB时，求线段CD的长； （2）如图2，当点D在BC上运动时，连接BC、BD，BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在， 请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由； （3）联结OD，当ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求ODE与CBE面积的比值． 4．（2023•微山县二模）如图，ABC 中，C 90，ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，以点O 为圆心，以OB为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F ． （1）求证：AC与 O相切；  3 （2）若BD10，sinDBC  ，求AF 的长． 55．（2023•花都区一模）如图， O是ABC 的外接圆，直径AB10，BC 8，AE平分CAB交BC于点  E． （1）尺规作图：在AE的延长线上取一点F ，使得BF BE，连接BF ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中： ①证明：BF 是 O的切线；  AE ②求 的值． EF 6．（2023•阿城区模拟）已知：AB、DF是 O的直径，弦CD AB，垂足为E，过点F 的切线与DC的  延长线交于点G，连接BC． ? （1）如图1，求证：FGD2BCD； （2）如图2，过点A作AH DF交 O于点M ，垂足为H ，求证AM CD；  （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 MC并延长与 DB的延长线交于点 K，连接 BC，若 HDC 2MHC，MK 6，求FG的长．7．（2023•松江区二模）如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O与点O关于直线AC对称， 射线AO交半圆O于点D，弦AC交OO于点E、交OD于点F ． （1）如图2，O恰好落在半圆O上，求证：OABC； EF （2）如果DAB30，求 的值： OD （3）如果OA3，OD1，求OF 的长． 8．（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段AB与直线l，过A、B两点，作 O使其与直线l相切，切  点为P，易证APBAHBAQB，可知点P对线段AB的视角最大． 问题提出 （1）如图②，已知ABP的外接圆为 O，PQ与 O相切于点P，交AB的延长线于点Q．   ①请判断BPQ与A的大小关系，并说明理由． ②若QB2，AB6，求PQ的长． 问题解决 （2）如图③，一大型游乐场入口AB设在道路DN 边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现 实情况，相关部门准备在与地面道路DN 夹角为60的射线DM 方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一 个位置C，并架设斜杆AC，在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口AB实施监控（其中点A、B、 D、P、C、M 、N在同一平面内），已知DA40米，AB25米，调研发现，当APB最大时监控效果 最好，请问在射线DM 上是否存在一点C，使得APB达到最大？若存在，请确定点C在DM 上的位置及 斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由．9．（2021•滨城区一模）如图，在RtABC中，B90，EDDF，点E在AC上，以AE为直径的 O  经过点D． （1）求证：①BC是 O的切线；  ②CD2 CECA； （2）若点F 是劣弧AD的中点，且CE3，试求阴影部分的面积．10．（2022•雁塔区校级四模）（1）如图①，在ABC中，AB AC，BAC 120，BC 12，求ABC 外 接圆的半径r ； （2）如图②， O是一个半径为200米的圆形广场，弦AB是广场上一个长为200 3米的纳凉演绎舞台，  现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市CD，并在舞台AB和集市CD之间修建两个休闲长廊AD和 BC，规划长廊、舞台、集市围成四边形ABCD为活动区域，那么能否在优弧AB上确定两点C、D，使得 长廊ADBC最长？若能，请求出ADBC的最大值，并计算此时BAD的度数及四边形ABCD的面积； 若不能，请说明理由． 11．（2022•青秀区校级一模）如图，AB是 O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE AC于点D，BE 交  O于点F ，连接BD、BC、CF ，BFC AED．  （1）求证：AE是 O的切线；  （2）求证：OB2 ODOE； 2 S （3）设BAD的面积为S ，BDE的面积为S ，若tanODB ，求 1 的值． 1 2 3 S 2题型二：函数中的转化思想 1．（2021•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并结合图 2x 象研究函数性质的过程，以下我们研究函数y| |2性质及应用的部分过程，请按要求完成下列各小 x2 题． （1）下表是x与y的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字； 1 1 x  4 3 1  0 1 3 4 5  2 2 y  2 4 4 8 4 0 4 4       3 5 3 5 3 3 （2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象； 2x （3）观察函数y| |2的图象，请写出函数的一条性质： ． x2 1 （4）若方程y xt(t为常数）有三个实数解，则t的取值范围为 ． 22．（2021•望奎县模拟）自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2 5x0． 解：设x2 5x0，解得：x 0，x 5，则抛物线yx2 5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)．画出二 1 2 次函数yx2 5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x0，或x5时函数图象位于x轴上方，此时 y0，即x2 5x0，所以，一元二次不等式x2 5x0的解集为：x0，或x5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 （2）一元二次不等式x2 5x0的解集为 ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：x2 2x30．3．（2024•全椒县一模）如图1，抛物线yx2 4x与x轴相交于原点O和点A，直线yx与抛物线在第一 象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点． （1）求点B和点C的坐标； （2）抛物线上是否存在点D，使得DOBOBC ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB下方的抛物线上的动点，EF 与直 S 线OB交于点G．设BFG和BEG的面积分别为S 和S ，求 1 的最大值． 1 2 S 24．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2 bx3的图象与x轴交于点A( 3， 0)，B(3 3，0)，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）若点E是线段BC上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F ，且EF 2EC，求点E的坐标； 1 （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，直接写出 PCPD的最小值； 2 （4）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为t，当APC不小于60时， 求t的取值范围．