专题15分类讨论思想在五种题型中的应用（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 15 分类讨论思想在五种题型中的应用 通用的解题思路： 题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论 1. 假设结论成立； 2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧， 若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐 标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线 有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点 不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点. 3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添 加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解 题型二、直角三角形的存在问题分类讨论 1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点 F（1， f），△BCF 三边长为：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18； 2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论： ① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边 BC），分别 过定长的某一端点（B 和 C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交 点时，此交点即为符合条件的点； ② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交 点时，此交点即为符合条件的点. 3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段 时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算. 题型三、不等式（组）中的分类讨论思想 分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在 求其解集时要对字母进行分类讨论。 对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。 题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想 在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一 种是分情况讨论问题，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全 面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较 难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进 行分类，出现“重"或“漏"的现象，从而容易导致错误的发生 题型五、圆中的分类讨论思想 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问 题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑 思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆 中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。 题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论 9 m 1．（2023•广安）如图，一次函数ykx (k为常数，k 0)的图象与反比例函数y (m为常数，m0) 4 x 的图象在第一象限交于点A(1,n)，与x轴交于点B(3,0)． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）点P在x轴上，ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．2．（2023•澄城县一模）如图，抛物线yx2 bxc与x轴交于点A(1,0)、B，与y轴交于点C(0,3)，直 线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在对称轴l上是否存在点M ，使MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．（2023•婺城区模拟）在矩形ABCD中，AB4，AD10，E是AD上的一点，且AE2，M 是直线 AB上一点，射线ME交直线CD于点F ，EGME交直线BC于点G，连结MG、FG，直线FG交直线 AD于点N． （1）①当点M 为AB中点时，求DF与EG的长； MG ②求 的值． FG （2）若EGN为等腰三角形时，求满足条件的AM 的长．4．（2023•濮阳县模拟）在等腰直角三角形ABC中，ACB90，AC BC，点P为直线AB上一个动点， 绕点C将射线CP逆时针旋转45，交直线AB于点Q． ? 在图1中，将APC 绕点C逆时针旋转90得到BMC，连接MQ， ACPBCQ45，ACPBCM ，  MCQ45PCQ， 又 CPCM ，CQCQ，  PCQMCQ． 请阅读上述过程，并完成以下问题： （1）得出PCQMCQ的依据是 （填序号）． ①SSS ②SAS ③AAS ④HL （2）在以上条件下，如图2，当点P在线段BA的延长线上时，求证：PQ2  AP2 BQ2． （3）在等边三角形ABC中，BC 2，点P为射线BA上一个动点，将射线CP绕点C逆时针旋转30交直 线BA于点Q，将APC 绕点C逆时针旋转60得到BMC，连接MQ，当BMQ为直角三角形时，请直接 写出AP的长．5．（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，ABkBC (0k 1)，将线段AB绕点A逆时针旋转 度(090 )得到线段AE，过点E作AE的垂线交射线CD于点H ，交射线AD于点M ． [尝试初探] （1）当点M 在AD延长线上运动时，BAE 与AME始终相等，且AEM 与HDM 始终相似，请说明理 由； [深入探究] 1 3 （2）若k  ，随着线段AE的旋转，点H 的位置也随之发生变化，当CH  CD时，求tan的值； 2 4 [拓展延伸] （3）连接ED，当EDM 为等腰三角形时，求tan的值（用含k的代数式表示）．3 6．（2023•虹口区一模）如图，在ABC 中，AB AC 10，sinB ，点D、E分别在边AB、BC上， 5 满足CDE B．点F 是DE延长线上一点，且ECF ACD． （1）当点D是AB的中点时，求tanBCD的值； CF （2）如果AD3，求 的值； DE （3）如果BDE是等腰三角形，求CF 的长． 7．（2023•文成县一模）如图，点E，F 分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE 为直径作 O交BF  于点G，且EF 与 O相切，连结EG．  （1）若AEEG，求证：ABE GBE． 1 （2）若AB2，tanEBF  ． 2 ①求DE的长． ②连结AG，若ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长． CG （3）连结CG，若CG的延长线经过点A，且EDEG，求 的值． EF8．（2023•涪城区模拟）如图，已知：在ABC 中，C 90，点P是BC边上的动点，PDBC 交AB于 D，以PD为直径的 O分别交AB，AP于点E，F ．  （1）求证：EFPEPB． 3 （2）若AB20，sinB ． 5 ①当APB4APD，求PC的长． ②当PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的PEF的腰长． 2 （3）若sinB ，且D，F ，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 ． 29 ．（2023 •河南模拟）如图所示，在 RtABC中， ABC 90，点 D为射线 AC上一动点，作 BDEBAC ，过点B作BE BD，交DE于点E，连接CE ．（点A、E在BD的两侧） 【问题发现】 （1）如图1所示，若A45时，AD、CE 的数量关系为 ，直线AD、CE 的夹角为 ； 【类比探究】 （2）如图2所示，若A60时，（1）中的结论是否成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若A30，AC 2 3，且ABD是以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出线段CE 的长．题型二、直角三角形的存在问题分类讨论 1．（2022•大连模拟）如图，RtABC中，C 90，AC 3cm，BC 4cm，点P在边AB上，过点P作AB 的垂线与边AC或BC相交于点D，将点D绕点P顺时针旋转90得点E，过点E作AB的垂线与边AC或 BC相交于点F ．设AP的长为x(cm)，四边形DPEF 的面积为y(cm2)． （1）求AB的长； （2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 2．（2022•莲池区校级二模）如图，RtABC中，ACB90，AC 3，BC 4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿ACCBBA方向绕行ABC 一周，与BC垂直的动直线l从AC开始．以每秒1 个单位长度的速度向右平移，分别交AB，CB于D，E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动， 设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在AC上运动时，过点P作PF DE于F ， ①当PDPE时，求证：PDF EPC； ②设PDE的面积为S，用含t的代数式表示S，并求当t为何值时，S有最大值； （2）当直线l等分ABC的面积时求t的值，并判断此时点P落在ABC 的哪条边上； （3）直接写出PDPE时t的值． 3．（2022•济南二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为(3,0)，四边形OABC 为平k 行四边形，反比例函数y (x0)的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC 2 2，tanAOC 1． x （1）求反比例函数解析式； （2）点P(a,0)是x轴上一动点，求|PCPD|最大时a的值； （3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M ，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN 为矩形，若 存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022•海口模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2 bx3(a0)与y轴交于点C，与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线 段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN 的面积为S，点M 运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由． 5．（2023•乳山市二模）过四边形ABCD的顶点A作射线AM ，P为射线AM 上一点，连接DP．将AP绕 点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角PAQ，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且90．无论点P在 何处，总有BQDP，请证明这个结论． （2）【类比迁移】如图 2，如果四边形 ABCD是菱形，DAB60，MAD15，连接PQ．当 PQBQ，AB 6 2时，求AP的长； （3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD6，AB8，AM 平分DAC，90．在 4 射线AQ上截取AR，使得AR AP．当PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长． 3题型三、不等式（组）中的分类讨论思想 1．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间 对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数m（人) 10„ m„ 50 51„ m„100 m100 每人门票价（元) 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人． 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于 50人． （1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ （2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元， 问甲团队最少多少人？ 2．（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式(2x1)(x3)0的解集． 2x10 2x10 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或② x30 x30 1 解不等式组①得：x ．解不等式组②得x3． 2 1 不等式(2x1)(x3)0的解集为x 或x3． 2 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式(2x3)(x1)0的解集． 1 x1 3 （2）求不等式 …0的解集． x23．（2024•江门校级一模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2 40． 解： x2 4(x2)(x2)，  x2 40可化为(x2)(x，2)0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 x20 x20 ① ，② ， x20 x20 解不等式组①，得x2，解不等式组②，得x2， (x2)(x2)0的解集为x2或x2，即一元二次不等式x2 40的解集为x2或x2． （1）一元二次不等式x2 160的解集为 ； x1 （2）分式不等式 0的解集为 ； x3 （3）解一元二次不等式2x2 5x0． 4．（2022•泰安三模）某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每 5 瓶售价的 倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味 4 饮料销售额为280000元． （1）求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价； （2）五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味 3 饮料的销量不少于桔子味饮料销量的 ；不多于桔子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮 2 料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想 1．（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向3km~10km的出行市场，现 有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元)与骑行时间x(min)之间的对应关系，其中 A品牌收费方式对应y ，B品牌的收费方式对应y ，请根据相关信息，解答下列问题： 1 2 （1）说出图中函数y 、y 的图象交点P表示的实际意义； 1 2 （2）求y 、y 关于x的函数解析式； 1 2 （3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的 平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km那么小明选择 品牌共享电动车更省钱？ （填“A”或“B” ) ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？1 2．（2023•西华县三模）如图1，抛物线y x2 bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴 2 1 交于点C．直线y x2经过B、C两点． 2 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M ．设 M(m,0)． ①点P在抛物线上运动，若点D恰为线段PM 的中点，求此时m的值； ②当点P在抛物线上运动时，是否存在一点P，使PCBACO．若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由． 3．（2023•池州三模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,m)和点(6,n)在抛物线yax2 bx(a0)上． （1）若m4，n12，求抛物线的解析式； （2）已知点A(1,y )，B(4,y )在该抛物线上，且mn0． 1 2 ①比较y ，y ，0的大小，并说明理由； 1 2 ②将线段AB沿水平方向平移得到线段AB，若线段AB与抛物线有交点，直接写出点A的横坐标x的取值 范围．4．（2023•河北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yax(x6)1(a0)的顶点为A，与x轴相交于B、C 两点(C点在B点的右侧）． （1）判断点(0,1)是否在抛物线yax(x6)1(a0)上，并说明理由； （2）若点A到x轴的距离为5，求a的值； （3）若线段BC的长小于等于4，求a的取值范围． 5．（2023•盐城二模）已知点M(x ，y )，N(x ， y )在二次函数ya(x3)2 2(a0)的图象上，且满足 1 1 2 2 x x 5． 2 1 （1）如图，若二次函数的图象经过点(1,0)． ①求这个二次函数的表达式； ②若y  y ，此时二次函数图象的顶点为点P，求PMN 的正切值； 1 2 ③在M 、N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为6，请直接写出此时点M 、N的坐标； （2）当x„ x„ x 时，二次函数的最大值与最小值的差为3，点M ，N在对称轴的异侧，则a的取值范围 1 2 为 ．6．（2023•锦州）如图，抛物线y 3x2 bxc交x轴于点A(1,0)和B，交y轴于点C(0，3 3)，顶点 为D． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7 3，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否 存在点G，使以点E，F ，G，H 为顶点的四边形是菱形，且EFG60，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．7．（2024•肇东市模拟）综合与实践 3 如图，二次函数 y x2 bxc的图象与 x轴交于点 A和 B，点 B的坐标是 (4.0)，与 y轴交于点 4 C(0．3)．点D在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2．当点D在第四象限的抛物线上运动时，连接BD，CD，BC，当BCD的面积最大时，求点 D的坐标及BCD的最大面积； （3）当点E在x轴上运动时，借助图1探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写 出点E的坐标．8．（2023•扶余市二模）如图，抛物线yx2 bxc与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标； （2）如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部 分记作图形M ，在图形M 中，回答： ①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为 ； 3 ②当 „ x„ 4时，求y的取值范围； 2 3 15 ③当m„ x„ m2，且m 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 ，直接写出m的值． 2 43 9．（2024•南丹县一模）如图，抛物线y ax2 bx 与x轴交于点A(3,0)，点B，点D是抛物线y 的顶 1 4 1 点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C(1,0)． （1）求抛物线y 所对应的函数解析式； 1 （2）如图1，点M 是抛物线y 上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC， 1 若MCBDAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y 平移后得到顶点为B的抛物线y ．点P为抛物线y 上的一个动点，过点P作y轴 1 2 1 的平行线，交抛物线y 于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y 于点R．当以点P，Q，R为顶点的 2 2 三角形与ACD全等时，请直接写出点P的坐标．10．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx2 2mxm2与y轴的交点为A，过点A作直线l 垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M(x ，y )，N(x ，y ) 1 1 2 2 为图形G上任意两点． ①当m0时，若x x ，判断y 与y 的大小关系，并说明理由； 1 2 1 2 ②若对于x m1，x m1，都有y  y ，求m的取值范围； 1 2 1 2 （3）当图象G与直线ym2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．题型五、圆中的分类讨论思想 1．（2023•花都区一模）如图 1，已知 MAN 60，在射线 AM 、 AN上分别截取点 B、 C，使 AB AC 8． （1）求证：ABBC； （2）如图2，以BC为直径在BC的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接AD交BC于点E． ①当DB AB时，求AD的长． ②在线段AC上取一点F ，连接BF 交AD于点G，若BF  AE，当点D在半圆BC上从点B运动到点C时， 求点G经过的路径长．2．（2023•裕华区二模）如图1，平行四边形ABCD中，AD2 3，DC 4 3，D60，点M 在BC延 长线上且CM CD，EF 为半圆O的直径且FE BM ，FE6，如图2，点E从点M 处沿MB方向运动， 带动半圆O向左平移，每秒 3个单位长度，当点F 与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立 即绕点E逆时针旋转，每秒转动5，点F 落在直线BC上时，停止运动，运动时间为t秒． （1）如图1，BF  ； （2）如图2，当半圆O与DC边相切于点P，求EM 的长； （3）如图3，当半圆O过点C，EF 与DC边交于点Q， ①求EF 平移和旋转过程中扫过的面积； ②求CQ的长； 3 2 （4）直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时t的值．（参考数据：sin35 ，tan35 ) 3 23．（2022•顺平县二模）如图1，将半径为2的 O剪掉一个60的扇形之后，得到扇形AOB，将扇形AOB  放置在数轴上，使点B与原点重合且OB垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上 时停止滚动．记优弧AB与数轴的切点为点P．过点A作直线l平行于数轴，当l与弧AB有两个公共点时， 记另一个公共点为点C，将直线l绕点C顺时针旋转60，得到直线m，交数轴于点Q． （1）当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为 ； （2）当直线l经过圆心O时，线段PQ的长度为 ； （3）当CQ与扇形AOB所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数； （4）直接写出整个运动过程中PQ长度的最大值．3 4．（2022•永嘉县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x6分别交x轴，y轴于点A，B，以AB 4 为直径构造圆，点C在BO运动，点D在CA上，CD交OA于点P，且CDOA． （1）求CD的长． （2）求证：OPPD． （3）CE//OA，交圆于另一点E，连结DE．若CDE为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．5．（2022•温州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，以AB为 直径的 M 与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点．  （1）求sinABC的值． （2）当PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长． （3）如图2，以BC为边向上作等边CBD，线段MD分别交BC和BC于点H ，N．连结DP，HP．点P 在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系． HP 【探究】当点P与点N重合时，求 的值； DP 【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立， 请说明理由．