专题15相似三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 15 相似三角形 相似三角形是中考数学的重点和难点，基础概念和性质主要出现在选填题中，难点主要出现在解答题 中，尤其是第23题对逻辑推理，综合分析能力要求较高，还有第24，25题相似三角形的知识点可能渗透 在其中，压轴题对学生的综合能力考查要求更高。 1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的 和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查． 2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查. 一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： （1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段 的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. （2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫 做成比例线段，简称比例线段． （3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的 项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． （4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 ，那么线段ｂ叫做 线段ａ和ｃ的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致 也可以. 第 1 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2.比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 3.平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例. （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角 形的三边与原三角形三边的对应成比例. （3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这 条直线平行于三角形的第三边. （4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在 第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. （6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图 形： 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l//l//l，则 或 或 或 1 2 3 基本图形(2): 若DE//BC，则 或 或 或 基本图形(3): 若AC//BD，则 或 或 或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若 , , , , , 之一成立， 则DE//BC. 基本图形(3):若 , , , , , 之一成立， 第 2 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 则AC//DB. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； （3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题 通常转化到“A”、“X”型中. A型 X型 AD AE AD AE DB EC 常用的比例式：  ,  ,  . DB EC AB AC AB AC （4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参 与作比例). 4.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 要点： （1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍； （2）重心的画法：两条中线的交点. 二、黄金分割 1.黄金分割 是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项 (AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法： 已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C. 分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB， 设 AB＝ ，AC＝x，那么 CB＝ －x， 由 AC2＝AB·CB，得：x2＝ ·( －x) 整理后，得：x2＋ x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝ ∴ (不合题意，舍去) 第 3 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5-1 即AC＝ AB≈0.618AB， 则C点可作. 2 ②黄金分割的几何求法（尺规法）： 已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C. 作法：如图： (1)过B点作BD⊥AB，使BD＝ AB. (2)连结AD，在AD上截取DE＝DB. (3)在AB上截取AC＝AE. 则点C就是所求的黄金分割点. 证明：∵AC＝AE＝AD－ AB 而AD＝ ∴AC＝ ∴C点是线段AB的黄金分割点. 要点： ①一条线段有两个黄金分割点. ②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名 天文学家开普勒(Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以 看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学. 一、单选题 1．下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6dm，8cm C．3cm，9cm，6cm，1.8dm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm 【答案】C 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的 第 4 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 积，相等即成比例． 【解析】解：A、由于3967，所以不成比例，不符合题意； B、由于0.6dm6cm，2856，所以不成比例，不符合题意； C、由于1.8dm18cm，31896，所以成比例，符合题意； D、由于1423.5，所以不成比例，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等 即可，相等即成比例，不相等不成比例． 2．已知线段a3cm，b12cm，线段c是线段a，b的比例中项，则c等于（ ） A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长． 【解析】解：∵线段c是线段a，b的比例中项是x，a3cm，b12cm， c2 ab31236 解得：c6cm(线段是正数，负值舍去)， 故选C 【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，熟知如果线段c是线段a，b的比例中项则c2 ab是解题 的关键，注意线段不能为负． 3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC CB，则下列等式成立的是（ ） A．AC2  ACAB B．AB2  ACAB C．BC2 CBAB D．AC2  ABBC 【答案】D 【分析】根据题意，点C是线段AB的黄金分割点（AC CB），得AB:AC  AC:BC，可得答案． 【解析】解：根据黄金分割的定义得AC2 CBAB 故选：D 【点睛】此题考查黄金分割，掌握黄金分割点的定义是解题关键． 4．下列说法正确的是（ ） A．A，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1:5000，则A，B两地实际距离为35m 51 B．若AB1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC CB，则AC  cm 2 第 5 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C．任意两个菱形都相似 D．有一个角相等的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】根据比例的性质和图形相似的判定求解即可． 【解析】解：A. 50007100350m，故A说法错误，不符合题意； B.  点C是线段AB的黄金分割点, 且AC CB，则AC2  ABBC， 设AC x，则x2 11x，解得x 51 或x  51 （舍去），故B说法正确，符合题意； 2 2 C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意； D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的相似，比例的性质，理解图形相似的性质以及比例的性质是解题的关键． AD 2 5．如图，在 ABC中，DE∥BC，且  ．若DE6，则BC的长为（ ）  AB 3 A．8 B．9 C．12 D．15 【答案】B AD DE 6 2 【分析】根据DE∥BC，得到    计算即可． AB BC BC 3 AD 2 【解析】∵DE∥BC，且  ，DE6， AB 3 AD DE 6 2 ∴    ， AB BC BC 3 解得BC 9． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． BO 3 6．如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若  ，CO8，则AC的长为（ ） OD 4 第 6 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C BO AO 【分析】首先根据平行线的性质可以得到  ，由此即可求解． DO OC 【解析】解：∵AC与BD相交于点O，DC∥AB， BO AO ∴  ， DO OC BO 3 ∵  ，OC＝8， OD 4 3 AO ∴  ， 4 8 ∴AO＝6， ∴AC＝AOOC＝68＝14． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，属于基础题型，熟练掌握比例线段的对应关系是解题的关 键． 7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG2，GD1，DF 5，则BC:CE（ ） A．3:5 B．1:3 C．5:3 D．2:3 【答案】A 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解． 【解析】解： AB∥CD∥EF ，  BC AD 21 3     ． CE DF 5 5 第 7 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 8．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F ，如果EF 2，那么菱形ABCD的 周长为（ ） A．24 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【分析】易得BC长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD的周长= 4BC，问题得解． 【解析】解：∵E是AC的中点， ∴AECE， ∵EF∥CB， AF AE ∴  1， FB CE 即AF BF， ∴EF 是 ABC的中位线，  ∴BC 2EF 224， ∴菱形ABCD的周长是4416，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知 识是解题的关键． 二、填空题 a b c a2ab 9．已知   0，则 _____． 2 3 4 bc 5 【答案】 6 【分析】根据比例的性质设a2k，b3k，c4k，再代入计算可求解． 第 8 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：有题意设a2k，b3k，c4k， a2ab 4k26k2 5 ∴   ， bc 12k2 6 5 故答案为： ． 6 【点睛】本题考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键． BP 51 10．已知点P是直线AB上一点，且  ，若线段AB的长为2，则线段AP的长为______． AB 2 【答案】3 5或1 5 【分析】分点P是在点B左边、点B右边两类讨论即可得到答案． 【解析】解：由题意可得， 当点P是在点B左边时，如图所示， BP 51 ∵  ，AB2， AB 2 ∴BP 51， ∴AP ABBP2( 51)3 5； 当点P是在点B右边时，如图所示， BP 51 ∵  ，AB2， AB 2 ∴BP 51， ∴AP ABBP2( 51)1 5， 故答案为3 5或1 5． 【点睛】本题考查已知线段比例关系求线段长度问题，解题的关键是分类讨论点P的位置． 第 9 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 11．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD1，则线段AB的长为___________ ． 【答案】2 5## 52 51 【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的 ，可得BC和AD的长，则AB即可求 2 得． 【解析】设线段ABx， ∵C、D是线段AB的两个黄金分割点， 51 51 ∴较长线段ADBC  AB x， 2 2 51   ∴CD ADBCAB2 xx 52 x， 2 ∵CD1，   ∴ 52 x1， 解得：x2 5． 故答案为：2 5． 51 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的 倍． 2 12．如图1是某淘宝店新推出的鞋架，可抽象成图2，直线了l ∥l ∥l ，直线AC和DF被l 、l 、l 所截， 1 2 3 1 2 3 如果AB30cm；BC 50cm；EF 40cm，那么DE的长是___________． 【答案】24cm 【分析】由直线l ∥l ∥l ，利用平行线分线段成比例，可求出DE的长． 1 2 3 【解析】解：  直线l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， 第 10 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE AB   ， EF BC DE 30 即  ， 40 50 DE24， DE的长是24cm． 故答案为：24cm． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的 关键． 13．已知G是  ABC的重心，过点G作GD∥AC交边AB于点D，作GE  AB交边AC于点E，如果四边形 ADGE的面积为2，那么 ABC的面积是______．  【答案】9 【分析】延长BG交AC于F点，连接AG，先证四边形ADGE为平行四边形得 1 1 S ADG  2 S 四边形ADGE  2 21，由G是  ABC的重心，得BG2GF ，BF为AC边上的中线，再根据平行线 BD BG 分线段成比例可证  2，从而即可求解． AD GF 【解析】解：延长BG交AC于F点，连接AG，如图， ∵GD∥AC， GE  AB， ∴四边形ADGE为平行四边形， 1 1 ∴S  S  21 ADG 2 四边形ADGE 2 ∵G是 ABC的重心，  ∴BG2GF ，BF为AC边上的中线， ∵GD∥AC， BD BG ∴  2， AD GF ∴S 2S 2， BDG ADG 第 11 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴S 213， ABG ∵BG2GF ， 1 3 ∴S  S  ， AGF 2 ABG 2 9 ∴S S S  ， ABF ABG AGF 2 ∵BF为AC边上的中线， 9 ∴S 2S 2 9． ABC ABF 2 故答案为∶ 9． 【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1，也考 查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 14．甲、乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距 离是________cm． 【答案】5 【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可． 1 【解析】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是2501000100 5cm， 5000000 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键． 15．如图，在  ABC中，D，F 分别为BC，AC上一点，BD:DC 3:2，连接BF，AD，两线段相交于 点E，且AE:AD1:2，过点D作DG∥AC交BF于点G，则BE:EF _____． 【答案】4:1 【分析】根据DG∥AC，得出BG:GF BD:DC3:2，根据AE:AD1:2，得出DEAE，根据 DG∥AC，得出GEEF，即可得出答案． 【解析】解：∵DG∥AC， 第 12 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BG:GF BD:DC3:2， 又∵AE:AD1:2， DE AE， 又∵DG∥AC， GEEF， ∴BE:EF (BGGE):EF 4:1． 故答案为：4:1． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 16．如图，在 ABC中，D在AC边上，AD:DC＝1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若  BE＝2，则EC的长为__． 【答案】6 BE BO EF AD 1 【分析】过点D作DF∥AE交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，  ，   ， EF OD FC DC 2 再根据O是BD的中点，可得BEEF ，进而解答即可． 【解析】解：如图，作DF∥AE交BC于F， ∵DF∥OE，O是BD的中点， BE BO ∴  1， EF OD ∴BEEF ， ∵DF∥AE， EF AD 1 ∴   ， FC DC 2 ∴FC 2EF ， 第 13 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴EC 3EF 3BE， ∵BE2， ∴EC 6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平 行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 三、相似三角形 1.相似多边形 (1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比． ③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形 （1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法： 用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ ABC，读作△ABC相似于△DEF. （3）相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等 于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. （4）相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么 这两个直角三角形相似. （5）相似三角形应用举例 相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问 题，加深学生对相似三角形的理解和认识. 要点： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言， 若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 第 14 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．两个相似三角形的相似比是4:9，则其面积之比是（ ） A．2:3 B．4:9 C．9:4 D．16:81 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是4:9， ∴其面积之比是16:81， 故选：D 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键． 2．如图，已知 ABC与 DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）   AB BC A．AD，BE B．AD且  DF EF AB AC C． AB，DE D．AE且  DE DF 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成 的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比 例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边 第 15 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两 角对应相等，两个三角形相似）。 【解析】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE:AE1:3，连接AC交BE于点F ，则△AEF 的面 积与△BCF的面积之比为（ ） A．3:4 B．9:16 C．9:1 D．3:1 【答案】B 【分析】根据题意可证 DFE BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．   【解析】∵四边形ABCD平行四边形， ∴DC∥AB， ∴ DFE BFA，   ∵AE:DE3:1， ∴AE:AD3:4， ∴AE:BC 3:4， ∴S △AEF  S △BCF 9:16， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练考查相似三角形的面积比等于相似比的平方． OC OD 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若  ，则图中一定相似的三角形是 OB OA （ ） 第 16 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．△BOA∽△BAD B．△BOA∽△COD C．△BOC∽△BCD D．△COB∽△CBA 【答案】B 【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证△BOA∽△COD． OC OD 【解析】解：∵  ，AOBDOC， OB OA ∴△BOA∽△COD， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 5．如图，已知在RT ABC中，ACB90，CD AB于D，则下列结论错误的是（ ）  A．CDAB ACBC B．AC2  ADAB C．BC2 BDAB D．ACCD ABBC 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式判断A，根据射影定理判断B、C． 【解析】由直角三角形的面积公式可知：CDAB ACBC，A选项正确，所以A选项不符合题意； 由射影定理可知：AC2  ADAB，B选项正确，所以B选项不符合题意； 由射影定理可知：BC2 BDAB，C选项正确，所以C选项不符合题意； 无法证明ACCD ABBC，D选项错误，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，解题的关键是掌握射影定理、三角形的面积公式． 6．如图，有一张锐角三角形纸片，边BC 3，高AD2，要把它加工成正方形纸片，使其一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形EFGH 纸片的周长为（ ） 第 17 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．1 B．1.2 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】设正方形的边长为x，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式， 然后进行计算即可得解． 【解析】解：∵四边形EFGH 是正方形，ADBC， ∴EH∥FG，ADEH， 设正方形的边长为x， 则AK  ADx2x， ∵EH∥FG， ∴△AEH∽△ABC， EH AK ∴  ， BC AD x 2x ∴  ， 3 2 解得x1.2， ∴正方形EFGH 纸片的周长为1.244.8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出 AK的长度，然后列出比例式是解题的关键． 7．在 ABC中，ACB90，AC 4，BC 8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与 ABC   相似，且相似比为1:2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ） A． B． C． 第 18 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质逐一判断即可． MN 4 1 【解析】A、 △AMN∽△ACB，则   ，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；  BC 8 2 AM 2 1 B、 △AMN∽△ACB，则   ，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；  AC 4 2 MC 2 1 C、 MCA∽ ACB，则   ，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；   AC 4 2 AC 4 5 1 D、  AMC∽  ACB，由勾股定理得：AB4 5，则    ，此选项是不符合要求的作图， AB 4 5 5 2 故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的相似比等于对应边的比是关 键． 8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中 8 点为H，连接BG、DH ．给出下列结论：①AFDE；②DG ；③HD∥BG；④ ABG与 DFH 相   5 似．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明  ADF≌  DCESAS，得到DAF CDE，即可判断 ①；利用勾股定理求AF 2 5，再利用三角形的面积公式求出DG的长，即可判断②；利用直角三角形的 第 19 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 斜边中线等于斜边一半，得到DH HF ，进而得到HDF HFD，然后根据平行线的性质，得到 8 5 ∠HDF ∠HFD∠BAG，由勾股定理求出AG ，再利用对应边成比例，夹角相等即可判断④；根 5 据 ABG∽ DFH ，得到∠ABG∠DHF，又因为AB AG，得到ABGAGB，进而得到∠AGB∠DHF，   即可判断③． 【解析】解：  四边形ABCD为正方形， \ ÐADC= ÐBCD= 90°，ADCDBC， E、F 分别是BC、CD的中点，  1 1 DF  CD BC EC 2， 2 2 在△ADF和DCE中， ADCD  ADC BCD，  DF EC   ADF≌  DCESAS， DAF CDE， ADGCDEADC 90，  ADGDAF 90， AGD90， AF DE，①结论正确； 1 AD 4，DF  CD2，  2 AF  AD2DF2  4222 2 5， 1 1 S  ADDF  AGDG，  ADF 2 2 ADDF 42 4 5 DG   ，②结论错误； AF 2 5 5 H为AF的中点，ADC 90，  1 DH HF  AF  5， 2 HDF HFD， AB∥CD，  第 20 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) HFDBAG， HDF HFDBAG， 2 4 5 8 5  AG AD2DG2  42     ，AB4， 5 5   8 5 AG 5 4 5 ，    DF 2 5 AB AB 4 5   ，  DH HF 5 AB AG   ， DH DF  ABG∽ DFH ，④结论正确；   ABGDHF， 8 5 AB4，AG ，  5 AB AG， ABGAGB， AGBDHF， HD与BG不平行，③结论错误， 综上可知，正确的结论为：①④， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边 中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键． 二、填空题 9．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9:4，则它们的对应高的比为 _____． 【答案】3:2 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【解析】解：∵△ABC∽△DEF，面积比为9:4， 9 3 ∴对应高的比是  ，即3:2， 4 2 故答案为：3:2． 第 21 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．如图所示，已知ÐABC= ÐADB，点D是AC的中点，CD1，则AB的长为 _____． 【答案】 2 【分析】证明△ABC∽△ADB，利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】解：∵ÐABC= ÐADB，AA， ∴△ABC∽△ADB， AB AC ∴  ， AD AB ∵点D是AC的中点，CD1， ∴ADCD1，AC 2CD2， ∴AB2  AD•AC 122， ∵AB0， ∴AB 2， 故答案为： 2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE40cm，EF 20cm，测得边DF 离地面的高度AC 1.6m，CD8m，则树高AB为______m． 【答案】5.6 【分析】利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB． 第 22 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解： DEF BCD90，DD，   DEF∽△DCB，  BC DC   ， EF DE DE40cm0.4m，EF 20cm0.2m，AC 1.6m，CD8m，  BC 8   ， 0．2 0．4 BC 4米， AB ACBC 1.645.6米， 故答案为：5.6． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 12．如图，在Y ABCD中，E为AB延长线上一点，AB:BE2:3，若S 12cm2，则S  DFC EFB ___________． 【答案】27cm2 【分析】根据AB:BE2:3，可知DC:BE的值，根据CD∥AB，可以得出 CDF BEF ，再根据相似三   角形的面积之比等于相似比的平方即可正确解答． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，ABCD， ∴FBEC，EFDC， ∴ CDF BEF ，   S BE ∴ EFB ( )2， S CD DFC 又∵AB:BE2:3，ABCD， ∴CD:BE2:3， BE 3 ∴  ， CD 2 ∵S 12cm2， DFC 第 23 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) S 3 9 ∴ EFB ( )2  ， 12 2 4 ∴S 27cm2 EFB 故答案为：27cm2 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方，根据 AB:BE2:3，求出DC:BE的值是解答本题的关键． 13．如图，点E是  ABCD边AD的中点，连接AC、BE交于点F ．现假设可在Y ABCD区域内随机取点， 则这个点落在阴影部分的概率为______． 1 【答案】 3 AE EF 1 【分析】先证明VAEF: VCBF，根据相似三角形的性质可得出   ，设S a，得出S 4a， BC BF 2 △AEF CBF S 12a，再根据概率公式计算即可． ABCD 【解析】解：∵点E是 ABCD边AD的中点，  1 1 ∴AE AD BC，AE∥BC， 2 2 ∴VAEF: VCBF， AE EF 1 ∴   ， BC BF 2 设S a， △AEF ∴S 2a，S 4a， △ABF CBF ∴S 6a， △ABC ∴S 12a， ABCD 4a 1 ∴这个点落在阴影部分的概率为：  ， 12a 3 1 故答案为： ． 3 第 24 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边的性质，几何概率，掌握相似三角形的判定和性质 是解题的关键． 14．如图：在等边三角形ABC中，D，E，F 分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EF  AB， FDBC，若 ABC的面积为48，则 DEF的面积为________.   【答案】16 【分析】先证明 DEF是等边三角形，利用特殊角的三角函数值得到各线段之间的关系，再利用相似三角形  的判定与性质即可求解． 【解析】解：∵ ABC是等边三角形，  ∴ABBC  AC，ABC 60， ∵DE AC，EF  AB，FDBC， ∴BDF AFEDEC 90， ∴BFDAEF EDC 30， ∴EDF DFEDEF 60， ∴ DEF是等边三角形，  S DF  2 ∴ DEF   ，DEEF DF ， S  BA ABC ∴ BFD≌ AEF≌ CDE，    ∴BD AF CE， 设BD AF CEx， ∴DF tan60x 3x，BF 2x， ∴ABBFAF 3x S DF  2  3x 2 1 ∴ DEF        ， S ABC  BA  3x  3 第 25 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴ DEF的面积为 4816，  3 故答案为：16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是利用相似三角形的性质得到面 积关系． 15．如图，在 ABC中，ACB90,AC 5cm,BC 7cm，点I为三角形的重心，HI BC于点H，则HI   ________cm． 5 【答案】 3 1 【分析】如图，BI 的延长线与AC交于D，根据I是重心即可得到ADDC，DI  BI ，利用 2 BHI  BCD的性质，即可求解．   【解析】解：如图，BI 的延长线与AC交于D， 点I为三角形的重心，AC 5cm,BC 7cm 1 5 1 ADDC  AC  cm，DI  BI 2 2 2 ACB90，HI BC  HI  AC  BHI  BCD   HI BI 2   DC BD 3 HI 2  即 5 3 2 5 HI  cm 3 5 故答案为： 3 第 26 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查三角形重心性质，三角形相似的判定和性质；关键在于知道三角形的重心是三角形三条 中线的交点，且重心将中线分成的线段比为1:2． 3 16．在Rt△ABC中，C 90，AB5，sinB ，点D在斜边AB上，把 ACD沿直线CD翻折，使得点  5 A落在同一平面内的点A处，当AD平行Rt△ABC的直角边时，AD的长为______． 【答案】1或3 【分析】如图1，当AD∥ BC，根据平行线的性质得到ADBB，根据折叠的性质得到ADAD， ACBC 24 AA，根据三角形的面积公式得到CE  ，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2， AB 5 当AD∥ AC，根据折叠的性质得到AD AD，AC  AC，ACDACD，根据平行线的性质得到 ADCACD，于是得到ADCACD，推出ADAC，于是得到AD AC 8． 3 【解析】解：Rt△ABC中，C 90，AB5，sinB ， 5 AC 3，BC  AB2AC2 4， ①如图1，当AD∥ BC， ADBB，  把  ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A处， ADAD， AA， AADB90， AC  AB， 第 27 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ACBC 12 CE  ， AB 5 12 3 AE3  ， 5 5 AD∥BC，  △ADE∽△CBE， 3 AD AE AD 5   ，即  ， BC CE 4 12 5 AD1， AD1； ②如图2，当AD∥ AC，  把  ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A处， AD AD，AC  AC，ACDACD， ADCACD，  ADC ACD， AD AC， AD AC 3， 综上所述：AD的长为：1或3， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题 第 28 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 17．已知：如图，点D、F 分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足 BDCF BC2．求证： (1)△ADB∽△FAC； (2)AFADBCDF ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． BD BA 【分析】（1）由三角形的性质证ABBC  AC，DBAACF ，再由BDCF BC2得  ，即可 AC CF 得证； （2）证明 FAC∽ FDA即可得证．   【解析】（1）证明：∵ ABC是等边三角形，  ∴ABBC  AC，ABC ACBCAB60， ∴DBA180ABC 120180ACBACF， ∵BDCF BC2， BD BC BD BA ∴  即  ， BC CF AC CF ∴△ADB∽△FAC； （2）证明：由（1）得△ADB∽△FAC， ∴FAC D， ∵F F， ∴ FAC∽ FDA，   AF AC ∴  ， DF AD ∵AC BC， ∴AFADBCDF ， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性 质是解题的关键． 第 29 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 18．已知等腰  ABC中，AB AC，点D、E是边BC、AC上的点，且CD3BD，联结AD、BE，交点 为F ． AE (1)若AF 4DF，求 的值． EC (2)若BD2 DFAD，求证：BC2 4CEAC． 【答案】(1)1 (2)见解析 1 【分析】（1）作AG  BC，交BE延长线于G，证明△AGF∽△DBF，根据相似三角形的性质得出BD CB， 4 AE AC 则AC BC，进而得出  1； EC BC （2）根据已知条件证明△BDF∽△ADB，得出BADFBD，进而证明  ABO∽  BCE，根据相似三角形的 性质以及AB AC BC BDCD4BD，即可得证． 【解析】（1）解：作AG  BC，交BE延长线于G， ∵AG  BC， ∴△AGF∽△DBF， ∵AF 4DF， ∴AG4BD， ∵CD3BD， 第 30 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴BD CB， 4 ∴AC BC， 又△AG∥BC ， ∴△AGE∽△CBE， AE AC ∴  1； EC BC （2）∵BD2 DFAD， BD PF ∴  ， AD BD ∵BDF ADB， ∴△BDF∽△ADB， ∴BADFBD， 又∵ABDACB， ∴ ABO∽ BCE，   BD AB ∴  ， CE BC ∴CEABBDBC， 又∵AB AC BC BDCD4BD， 1 ∴CEAC  BCBC， 4 ∴BC2 4CEAC． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．如图，在 ABC中，AB AC，AD为边BC上的中线，DEAB于点E．  (1)求证： ADE∽ ABD；   (2)若AB13，BC 10，求AE的长； (3)在（2）的条件下，求tanADE的值． 第 31 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】(1)见解析 144 (2) 13 12 (3) 5 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明BDCD，ADBC，再由DEAB，得 DEABDA90，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出AD，再根据（1） ADE∽ ABD，对应边成比例，即可求出AE；   1 （3）由中线的性质可得BD BC，再由 ADE∽ ABD，得ADEB，再利用锐角三角函数定义求解   2 即可． 【解析】（1）证明： ABAC，AD为边BC上的中线，  BDCD，ADBC． 又∵ DE⊥ AB， DEABDA90． 又 EADDAB，   ADE∽ ABD；   1 （2）解：由（1）得BDCD BC 5，ADBC， 2 在Rt△ABD中， AD AB2BD2 12． ADE∽ ABD，   AE AD AE 12   ，即  ， AD AB 12 13 144 AE ； 13 （3）解： ABAC，AD为边BC上的中线，  1 BD BC 5 2 ADE∽ ABD，AD12，   ADEB， AD 12 tanADEtanB  ． BD 5 第 32 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、 性质及正切的定义是解题的关键． 20．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，BAC AED． (1)求证：ABADBCAE； AD AF (2)在边AC取一点F ，如果，  ，求证：AFED． BC AC 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）欲证明ABADBCAE，只要证明 CBA∽ DAE即可；   AD AE AD AF （2）由 CBA∽ DAE，可得  ，再根据  ，推出 CBA∽ FEA，即可解决问题；     BC AB BC AC 【解析】（1）∵AD∥BC， ∴BDAE， ∵BAC AED， ∴ CBA∽ DAE ，   AB BC ∴  ， AE AD ∴ABADBCAE． （2）由（1）得 CBA∽ DAE   AD AE ∴DC，  ， BC AB AD AF ∵  ， BC AC AE AF ∴  ， AB AC ∴BACEAF ∴ CBA∽ FEA   第 33 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AFEC ∵DC， ∴AFED， 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，点F 是AE上一点且BAFDACD，连接  CF． (1)求证：ADABAFAE； (2)求证：AFC ACB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据DAF EAB结合已知条件，直接证明 ADF∽ AEB根据相似三角形的性质即可得证；   （2）证明△ADC∽△ACB，得出AC2  ADAB，根据（1）的结论得出AC2  AFAE，根据公共角 FAC CAE，证明 AFC∽ ACE，即可得证．   【解析】（1）∵BAFD，DAF EAB， ∴ ADF∽ AEB，   AD AF ∴  ， AE AB ∴ADABAFAE； （2）∵BACD，DAC CAB， ∴△ADC∽△ACB， AC AD ∴  ， AB AC ∴AC2  ADAB， ∵ADABAFAE， 第 34 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AC2  AFAE， AC AE 即  ， AF AC 又∵FAC CAE， ∴ AFC∽ ACE，   ∴AFC ACE， 即AFC ACB． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22．已知：如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE ED，过点B作  BF∥AC，交线段AE的延长线于点F． (1)求证：AC 3BF ； (2)如果AE 3ED，求证：ADAE ACBE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由AD是边BC上的中线，且BE ED，可得CE 3BE，由BF∥AC可得△ACE∽△FBE，由 相似三角形的性质即可得到结论； AE BE （2）由（1）可得AE3EF ，再由AE 3ED及BE ED，可得BE 3BF，即有：  ，由夹角 ED EF 相等可得 AED∽ BEF，则有F EDA，再由平行关系可得 AED∽ CEA，则可得结论成立．     【解析】（1）证明： AD是边BC上的中线，  1 BDCD BC； 2 BEED，  BD2BE， CE3BE， 第 35 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BF∥AC，   ACE∽ FBE，   AC CE   3， BF BE AC3BF； （2）解：由（1）△ACE∽△FBE， AE CE   3， EF BE AE3EF， AE 3ED，BE ED，  BE 3BF， AE BE 即有：   3， ED EF AEDBEF，   AED∽ BEF，   F EDA； BF∥AC，  F EAC， EDAEAC，  AED∽ CEA，   AD ED   ，即ADAE ACED， AC AE EDBE，  ADAE ACBE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用判定与性质是解题的关键． 23．如图，在  ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，AE2 EFEB， ADBEBCEAF ． 第 36 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：AB AD； (2)若ADDC，求证：AFAD ACEF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明 EFA∽ EAB，可得EAF ABF，结合ADBEBCEAF 可证   ABDADB，从而可证AB AD成立； （2）先证明AEF ABC，然后通过证明  AEF∽  CBA可证结论成立． 【解析】（1）证明：∵AE2 EFEB， AE EF ∴  ， BE AE ∵AEF BEA， ∴ EFA∽ EAB，   ∴EAF ABF， ∵ADBEBCEAF ， ∴ADBEBCABF BD， ∴AB AD； （2）∵ADDC， ∴CADC． ∵AEF EBCC， ∴AEF EBCCAD， 由（1）知CADABF， ∴AEF EBCABE， ∵ABC EBCABE， ∴AEF ABC， ∴ AEF∽ CBA，   AF EF ∴  ， AC AB 由（1）知AB AD， AF EF ∴  ， AC AD 第 37 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AFAD ACEF． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共 角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对 应边成比例． 3 24．如图，在Rt△ABC中，ABC 90，AC 10，tanC  ，点D是斜边AC上的动点，连接BD，EF 4 垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E． (1)如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF 的长； (2)连接DE，如果 DEC和 ABC相似，求CE的长；   (3)当点F在边BA的延长线上，且AF 2时，求AD的长． 125 【答案】(1)EF  24 32 (2)CE 或CE5 7 16 66 (3)AD 5 5 【分析】（1）如图，记BD，EF 的交点为K，证明BK DK  ，BFK DBC C，再利用锐角三角 2 函数分别求解EK ，FK 即可； （2）先求解AB，BC，由 DEC和 ABC相似，分两种情况讨论即可；   CB 4 FT 4 （3）如图，连接DF，过F 作FT  AD交DA的延长线于T，由tanFAT tanCAB  ，可得  ， AB 3 AT 3 8 6 求解 FT  ，AT  ，结合垂直平分线的性质可得：FDFB AFAB8，由勾股定理可得 5 5 16 TD FD2FT2  6，从而可得答案． 5 【解析】（1）解：如图，记BD，EF 的交点为K， 第 38 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AC 10，点D是斜边AC上的中点，ABC 90， 1 ∴BDCD AC 5， 2 ∴DBC C， ∵EF 垂直平分BD 5 ∴BK DK  ，BKF BKE90ABC， 2 ∴BFKBEK 90BEKEBK， ∴BFK DBC C， 3 ∵tanC  ， 4 EK 3 BK 3 ∴tanEBK   ，tanBFK   ， BK 4 FK 4 3 5 15 5 4 10 ∴EK    ，FK    ， 4 2 8 2 3 3 15 10 125 ∴EF EKFK    ． 8 3 24 3 （2）∵ABC 90，AC 10，tanC  ， 4 3 AB ∴tanC   ，设AB3m，则BC 4m， 4 BC ∴AC 5m10，解得：m2， ∴AB6，BC8， ∵ DEC和 ABC相似，如图，当△DEC∽△ABC时，   第 39 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE CE ∴  ， AB CB 由垂直平分线的性质可得：BEDE8CE， 8CE CE 32 ∴  ，解得：CE ， 6 8 7 如图，当△DEC∽△BAC时， DE CE ∴  ， AB AC 8CE CE ∴  ，解得：CE5． 6 10 （3）如图，连接DF，过F 作FT  AD交DA的延长线于T， CB 4 ∵tanFAT tanCAB  ， AB 3 FT 4 ∴  ，而AF 2， AT 3 第 40 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 8 6 同理可得：FT  ，AT  ， 5 5 由垂直平分线的性质可得：FDFB AFAB8， 16 ∴TD FD2FT2  6， 5 16 6 16 66 ∴ADDT AT  6  ． 5 5 5 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角 函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键． 一、单选题 1．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 【答案】A 【分析】根据相似图形的概念进行判断即可； 【解析】解：A、两个等边三角形，三个角都是60° ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 2．（2019·上海松江·统考中考模拟）在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD:BD2:3，那么下  列条件中能够判断DE∥BC的是（ ） DE 2 DE 2 AE 2 AE 2 A．  B．  C．  D．  BC 3 BC 5 AC 5 AC 3 【答案】C 【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 第 41 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】如图， 可假设DE∥BC， ∵AD:BD2:3 DE AD 2 ∴   ，故A选项错误， BC AB 5 AE AD 2   ，故D选项错误； AC AB 5 DE AD 2 反过来，当   时，不能得到DE∥BC，故B选项错误； BC AB 5 AE AD 2 当   时，能得到DE∥BC，故C选项正确； AC AB 5 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 3．（2021·上海长宁·一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（ ） A．5( 5-1) B．5( 5+1) C．10( 5-2) - D．5(3- 5) 【答案】C 【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB－ AB即可求出PQ的长度． 【解析】解：如图， PB AQ 51 根据黄金分割点的概念，可知   ， AB AB 2 AQ=PB， AB=10， 51 AQ=PB= 105 55， 2 PQ=AQ+PB－AB=5 555 551010 52010( 52)． 故选：C． 第 42 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键． 4．（2022·上海普陀·统考二模）如图，已知直线l ∥l ∥l ，它们依次交直线l 、l 于点A、C、E和点B、 1 2 3 4 5 D、F，下列比例式中正确的是（ ） AC CD AB CD AC BD AC DF A．  B．  C．  D．  AE EF CD EF AE BF EC BD 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例逐项判断即可． 【解析】∵l ∥l ∥l ， 1 2 3 AC BD AC BD ∴  ，  ， AE BF CE DF 所以A，D，不正确；C正确． B中的线段不是对应线段，所以不正确. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关 键． 5．（2022·上海·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC 并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（ ）     A．6 2cm B． 9 2 cm C． 7cm D． 253 2 cm 第 43 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 【分析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再证明 ACD ECB，即可求出AC，BC，然后根据垂径定理求出BF，最后根据勾股定理得出答案．   【解析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，过点O作OF⊥AB，于点F， ∴EO=CO+CD=5cm， ∴CE=8cm． ∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE， ∴ ACD ECB，   AC CD ∴  ， CE BC 即AC·BC=CE·CD， 则2AC2=16， 解得AC 2 2， ∴BC4 2， 则AB6 2． ∵OF⊥AB， 1 ∴BF  AB 3 2． 2 在Rt△BOF中，BO=5cm， ∴OF  BO2  BF2  52 (3 2)2  7（cm）． 故选：C． 【点睛】这是一道关于圆得综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定 理等，构造相似三角形求出线段的长是解题的关键． 6．（2022·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么 第 44 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（） A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得AB的长，根据AD=2CD，求得AD的长，根据DE∥BC，证明 ADE∽ ACB，   求得AE，进而求得BE的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系 进行判断即可． 【解析】解：连接CE， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3， ∴AB AC2BC2 3 5，  AD=2CD，AC=6， AD4，CD2．  DE∥BC，  ADE∽ ACB，   DE AD   ， BC AC ADBC 43 DE  2． AC 6 AE AD2DE2 2 5， 第 45 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BE ABAE 5． 在Rt△CDE中，CE CD2DE2  2222 2 2． CDBE 52>2 2． 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交． 故选C． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关 键． 7．（2022·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，B(0,2)，以A为顶点，BA为一边 作45角，角的另一边交y轴于C（C在B上方），则C坐标为（ ） 22 13 A．(0，6) B．(0,7) C．(0, ) D．(0, ) 3 2 【答案】B 【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，AB 5，BD=1，然后 10 可得BE ，  ADC∽  BEC，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解． 2 【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示： 第 46 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵A(2,1)，B(0,2)， ∴AD=2，AB 202122  5，BD=1， ∵BAC 45， 2 10 ∴BE AB ， 2 2 ∵ADC BEC 90,ACDBCE， ∴ ADC∽ BEC，   BE EC 10 ∴   ， AD DC 4 设BC=x，则CD=x+1， 10 ∴EC  x1， 4 2 2  10   10 在Rt△BEC中，由勾股定理得： x1    x2，   4 2     解得：x5（负根舍去）， ∴DC 6， ∴OC 7， ∴点C0,7； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角 三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 8．（2021·上海浦东新·统考一模）如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如 果∠ACD=∠B，DE//BC，EF//CD，下列结论不成立的是（ ） 第 47 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．AE2  AFAD B．AC2  ADAB C．AF2 AEAC D．AD2 AFAB 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可． 【解析】解：∵DE//BC，EF//CD， ∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF， 又∵∠ACD=∠B， ∴∠ADE=∠AEF， ∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A， ∴AEF∽ADE， AE AD ∴  ， AF AE ∴AE2  AFAD，故选项A正确； ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴ACD∽ABC， AC AD ∴  ， AB AC ∴AC2  ADAB，故选项B正确； ∵DE//BC， AE AD ∴  ， AC AB ∵EF//CD， AE AF ∴  ， AC AD AF AD ∴  ， AD AB 第 48 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AD2 AFAB，故选项D正确； ∵EF//CD， AE AF ∴  ， AC AD ∴AFAC  AEAD，故选项C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性 质是解决本题的关键． 9．（2021·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交 1 边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝ ，S CEF＝1，那么S ABC的值是（ ） △ △ 3 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 1 EC 1 1 1 【分析】根据tanEAC  ，可得  ，由 EFC∽ ABC，可得相似比为 ，从而得到面积比为 ，进   3 AC 3 3 9 而求出答案． 【解析】∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠ADF＝90°， ∴∠BAC+∠F＝90°， ∴∠B＝∠F， 又∵∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ACB， EC CF 1 ∴  ＝tan∠EAC＝ ， AC BC 3 S 1 ∴ △ECF  ， S 9 △ACB 第 49 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 又∵S ECF＝1， △ ∴S ABC＝9， △ 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题 的关键． 10．（2021·上海奉贤·统考一模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,BC 3AD，对角线AC、BD交于点 O,EF是梯形ABCD的中位线，EF 与BD、AC分别交于点G、H ，如果OGH 的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 1 1 【分析】设AD=2x，BC=6x，根据EF是梯形ABCD的中位线，求得EG=FH= AD=x，GF= BC=3x，证 2 2 得GH=AD，由此得到S S 1，S 3S 9，S S 3S 3，即可求出答案． OGH AOD BOC OGH A0B DOC AOD 【解析】设AD=2x，BC=6x， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF∥AD∥BC， 1 ∴EF= (ADBC)4x， 2 1 1 ∴EG=FH= AD=x，GF= BC=3x， 2 2 ∴GH=2x， ∴GH=AD， ∵GH∥AD, ∴△OAD∽△OHG, 第 50 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OD AD ∴  1， OG GH ∴OG=OD，S S 1， OGH AOD ∵GH∥BC, ∴△OGH∽△OBC， GH 2x 1 ∵   BC 6x 3 ∴S 9S 9， BOC OGH ∵O是DG的中点，G是BD的中点， ∴S S 3S 3， A0B DOC AOD S 133916， ABCD 故选：C． ． 【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相 似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题． 二、填空题 1 11．（2023·上海静安·统考一模）已知  ABC  A 1 B 1 C 1  A 2 B 2 C 2 ，  ABC与△A 1 B 1 C 1 的相似比为 5 ，  ABC与 2 △ABC 的相似比为 ，那么△ABC 与△ABC 的相似比为_________． 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 10 【答案】 3 3 【分析】设ABm，根据相似三角形的对应边成比例分别表示出AB 5m,A B  m，继而求解即可． 1 1 2 2 2 【解析】设ABm， 第 51 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵ ABC  A 1 B 1 C 1  A 2 B 2 C 2 ， AB 1 AB 2   ，  ， AB 5 A B 3 1 1 2 2 3 ∴AB 5m,A B  m， 1 1 2 2 2 AB 5m 10 1 1   ∴ A B 3 3 ， 2 2 m 2 10 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够用同一个字母表示AB,A B 的长度是解题的关键． 1 1 2 2 12．（2022·上海金山·统考二模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和 四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝________． 【答案】6 【分析】由DE∥BC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质结合△ADE和四边形BCED的面积分别为4 DE 2 和5，可得出 ＝ ，结合DE＝4，即可求出BC的值，经检验后即可得出结论． BC 3 【解析】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵DEBC， ∴△AED∽△ABC． S 4 又∵ ADE ＝ ， S 5 四边形BCED S 4 4 ∴ ADE ＝ ＝ ， S 45 9 ABC DE 2 4 2 ∴ ＝ ，即 ＝ ， BC 3 BC 3 ∴BC＝6， 故答案为：6． 第 52 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关 键． 13．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC 2AD，点F 在BC的 延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD2CF，那么DEG与CFG的面积之比 等于______． 16 【答案】16:7## 7 【分析】根据ADG∽FCG和ADE∽FBE，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于 相似比的平方，即可求解． 【解析】解：  AD  BC， ADG∽FCG， AD AG   2， CF GF ADG与CFG的面积之比4:1，  AD  BC， ADE∽FBE， AD AE 2    ， BF EF 5 令GF a，则AG2a， 设AEx,EG2ax， x:(a2ax)2:5， 6 x a， 7 6 8 AE a,EG a， 7 7 AE:EG3:4， DEG与ADE的面积之比是4:3， DEG与CFG的面积之比是16:7． 第 53 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：16:7． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形 的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键． 14．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如图，在 ABC中，ACB120，AC BC 6，点E在边AB  上且AE2BE，点F在边BC上，过点F作EF 的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG的一条直角边与 ABC   的一边平行时，则AG的长为 _____． 【答案】4或8##8或4 【分析】分GF∥AB，GE  BC，EF∥AC三种情况，结合含30角的直角三角形和平行线分线段成比例定 理分别求解． 【解析】解：过点C作CM⊥AB， ∵ACB120，AC BC 6， ∴∠A∠B30， 1 在Rt CBM 中，CM  BC 3，  2 ∴AB2BM 2 3CM 6 3， ∵AE2BE， ∴AE4 3，BE2 3， ①当GF∥AB时， 由题意可得GFE90， 第 54 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴FEB90， 在Rt△EFB，B30， 3 ∴EF  BE2，BF 4， 3 又∵GF∥AB， ∴CGF CFG30， ∴CGCF 2， ∴AG4； ②当GE  BC时， AG AE 此时  ， AC AB AG 4 3 ∴  ， 6 6 3 ∴AG4； ③当EF∥AC时， 此时FEBA30， 过点F作FN EB， ∴EN BN  3，BF 2FN 2， ∵ACB120，CGF90， ∴GCF 60， 1 1 在Rt GCF中，CG CF  622，  2 2 ∴AG628， 综上，AG的长为4或8， 第 55 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三 角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解题是关键． 15．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）如图1，ABC内有一点P，满足PABCBPACP，那 么点P被称为  ABC的“布洛卡点”．如图2，在△DEF中，DE=DF，EDF=90，点P是△DEF的一个“布 洛卡点”，那么sinDFP______． 5 【答案】 5 DE DP EP 1 【分析】通过证明DEP∽EFP，可得    ，从而即可求解． EF EP PF 2 【解析】解：  DE=DF,EDF=90， EF  2DE 2DF，DEF=DFE=45，  点P是DEF 的一个“布洛卡点”， EDPPEF DFP， DEPEFP，  DEP∽ EFP，   DE DP EP 1     ， EF EP PF 2 1 DP PE,PF  2PE， 2 EDP+PDF=90，  DFP+PDF=90， DPF=90， 10 DF  PD2PF2  PE， 2 DP 5 sinDFP  ． DF 5 5 故答案为： ． 5 第 56 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关 键． 16．（2022·上海虹口·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC 6，点E是BC的中点，连接AE， 点O是线段AE上一点，  O的半径为1，如果  O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的 取值范围是 __． 5 15 【答案】  AO 3 4 【分析】根据题意，需要分 O分别与边AB、BE相切两种情况下，计算出AO长度即可解答．  【解析】解：设  O与AB相切于点F，连接OF ，OF＝1， 1 1 ∵BE BC  63，ÐB=90°， 2 2 ∴.AE AB2BE2  4232 5， ABE中，  ∵ABBE， ∴BAE<BEA ∵AD∥BC， ∴DAEBEA， ∴BAE<DAE， ∵AFOABE90，FAOBAE， ∴△AFO∽△ABE， AO OF OFAE 15 5 ∴  ，即AO   ， AE BE EB 3 3 ∵DAE>BAE， ∴若  O与AD相切时，和AB一定相交； 第 57 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 若  O与AB相切时，和AD一定相离． 5 同理当  O与BC相切于点M时，连接OM ，OM 1，计算得EO ， 4 5 15 ∴此时AO5EO5  ， 4 4 5 15 ∴当  AO 时，  O与矩形ABCD的各边都没有公共点， 3 4 5 15 故答案为：  AO ． 3 4 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算． 三、解答题 17．（2022·上海金山·统考二模）如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F 是AB边上一点，且BF＝CD． (1)求证：DE∥CF； (2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形 外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF； （2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DF∥ AC． 第 58 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1） 如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°， 在△ACD和△CBF中，  AC CB  ACDB，   CDBF ∴△ACD≌△CBF（SAS）， ∴∠CAD＝∠BCF， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠ACB＝60°， ∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD， ∴∠BDE＝∠CAD， ∴∠BDE＝∠BCF， ∴DE∥CF； （2） 如图2， 第 59 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵DF2＝FM•FC， DF FC ∴  ， FM DF ∵∠DFM＝∠CFD， ∴△DFM∽△CFD， ∴∠FDM＝∠FCD， ∵∠CAD＝∠BCF， ∴∠FDM＝∠CAD， ∴DF∥AC． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边 三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 18．（2022·上海松江·统考二模）已知：如图，两个 DAB和 EBC中，DADB，EBEC，   ADBBEC，且点A、B、C在一条直线上．联结AE、ED，AE与BD交于点F ． DF AB (1)求证：  ； BF BC (2)如果BE2 BFBD，求证：DF BE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证DABDBAEBC ECB，从而证得AD  BE， BD∥CE，再利用平行线分线段成比例即可得出结论． （2）证明△EBF∽△DBE，得DEBBFE，继而利用△DAF≌△BDE，即可得出结论． （1） .证明： DADB，EBEC，  DABDBA，EBC ECB， 第 60 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ADBBEC，  DABDBAEBC ECB， AD∥BE，BD∥CE， DF AF AF AB   ，  ， BF EF EF BC DF AB   ． BF BC （2） 证明： BE2 BFBD，  BE BD   ， BF BE EBF DBE，  △EBF∽△DBE， DEBBFE， AFDBFE，  AFDDEB，  AD  BE， ADF DBE 又 ADBD，  △DAF≌△BDE， DF BE． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线 段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关 键． 19．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，已知 ABC，点E在边AC上，且BAC CBE，过点A作BC的  平行线，与射线BE交于点D，连结CD． (1)求证：AB2 BEBD； 第 61 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 (2)如果AB4,cosABC  ． 4 ①当BEBC，求CE的长； ②当ABDC时，求BAC的正弦值． 【答案】(1)见详解 30 10 (2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为 或 ． 8 4 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可 求证； AB BC （2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得 ACB∽ BCE，则有  ，然后可得BC 2，进而问   BE EC 题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形 ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解． (1) 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBE， ∵BAC CBE， ∴∠BAE=∠BDA， ∵∠ABE=∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， AB BE ∴  ， BD AB ∴AB2 BEBD； (2) 解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵BAC CBE，ACBBCE， 第 62 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ ACB∽ BCE，   AB BC ∴  ， BE EC ∵BEBC， ∴BC2  ABEC，AB AC， 1 ∴BF  BC， 2 1 ∵AB4,cosABC  ， 4 ∴BF  ABcosABC 1， ∴BC 2， BC2 ∴CE 1； AB ②∵AD∥BC， ∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， 当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示： 1 1 ∴EN∥AM，AE CE  AC，BE DE  BD， 2 2 ∴ CEN∽ CAM ，   EN CE 1 ∴   ， AM AC 2 BM 1 ∵在Rt△ABM中，cosABC   ,AB4， AB 4 1 ∴BM  AB1， 4 ∴根据勾股定理得：AM  AB2BM2  15， 1 15 ∴EN  AM  ， 2 2 由（1）得：AB2 BEBD， ∵AB4,BD2BE， 第 63 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴42 BE2BE， ∴BE  2 2 （负根舍去）， EN 30 ∴sinCBE  ， BE 8 30 ∴sinBAC sinCBE ； 8 当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示： ∴BADCDA， 在△BAD和△CDA中，  ABDC  BADCDA，   ADDA ∴ BAD≌ CDA，   ∴BDACAD， ∵AD∥BC， ∴CBEBDA,BCECAD， ∴CBEBCE， ∴BECE， ∵EQBC， 1 ∴BQCQ BC， 2 ∵CBE BAC， ∴CADBAC， 过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC， ∴DPACAD， ∴DP=AD， 第 64 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵DP∥AB， ∴ ABE∽ PDE，   AB BE ∴  ， PD DE AB BE ∴  ， AD DE ∵AD∥BC， ∴ BCE∽ DAE，   BC BE ∴  ， AD DE BC AB ∴  ， AD AD ∴BC=AB=4， ∴BQCQ2， 由以上可知：BH 1,AH  15， ∴CH 3， ∵AH⊥BC，EQ⊥BC， ∴AH∥EQ， ∴ CEQ∽  CAH ， EQ CQ ∴  ， AH CH CQAH 2 15 ∴EQ  ， CH 3 4 6 在Rt△BEQ中，由勾股定理得：BE BQ2EQ2  ， 3 EQ 10 ∴sinBAC sinCBE  ； BE 4 30 10 综上所述：∠BAC的正弦值为 或 ． 8 4 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解 直角三角形是解题的关键． 20．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC 的中点，E、F分别是OM、ON上的点． 第 65 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：∠AOM＝∠AON； 1 (2)如果AE∥ON，AF∥OM，求证：OEOM  AO2． 2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出OM AB，ON  AC，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出 结论； （2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性 1 OE OP 质得EF  AO，PO AO．然后证△EPO∽△AMO．得  ，代入即可得出结论． 2 AO OM 【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴OM AB，ON  AC． 又∵AB AC， ∴AM  AN ． ∵在Rt△AOM和Rt△AON中， AM  AN  ， OAOA ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， ∴AOM AON． （2）解：连接EF，交AO于点P． 第 66 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AE∥ON，AF∥OM ， ∴四边形AEOF是平行四边形． ∵AE∥ON， ∴EAOAON ， ∵AOM AON， ∴AOM EAO． ∴AEEO， ∴四边形AEOF是菱形． 1 ∴EF  AO，PO AO． 2 ∵OM AB， ∴EPOAMO90． ∵AOM AOM ， ∴△EPO∽△AMO． OE OP ∴  ， AO OM 1 1 ∴OEOM  AOOP AO2，即OEOM  AO2． 2 2 【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的 判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键． 21．（2022·上海虹口·统考二模）已知：如图，AB、AC是  O的两条弦，AB AC，点M 、N 分别在弦 AB、AC上，且AM CN，AM  AN，联结OM 、ON． 第 67 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：OM ON ； (2)当BAC为锐角时，如果AO2  AMAC，求证：四边形AMON为等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明△AOM △CON即可； （2）由AO2  AMAC可得  AOM  ACO，可得OM ON=AM ，再证明OM∥AC即可． 【解析】（1）∵AB、AC是  O的两条弦，AB AC， ∴OABOAC OCA 在 AOM 和 CON 中   OAOC  OAM OCN  AM CN ∴△AOM △CON（SAS） ∴OM ON ； （2）∵AO2  AMAC AO AC ∴  AM AO ∵OABOAC ∴ AOM ACO   ∴AOM ACO ∵OABOAC OCA ∴OABOAC OCA=AOM ∴AM MO，OM∥AC 第 68 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AM MO=ON ∴四边形AMON为等腰梯形． 【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键 是由弦AB AC得到OABOAC OCA． 22．（2022·上海·校考模拟预测）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝ 9，AE＝6，AE2  ABAD，且DC∥AE． (1)求证：DE2  AEDC； (2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积； (3)如图2，延长AD、BC交于点F，设BEx,EF  y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1)见解析 (2)34 2 36x (3)y 3x9 81x2 【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得 △ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论； （2）如图，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD 1 （SAS），再求得S  AEBG18 2，根据△ABE∽△AED且相似比为3:2，可求得 ABE 2 S =S 8 2，由S =S S S 可求答案； ABE CDE 四边形ABCE ABE AED CDE 2 2 （3）由△ABE∽△AED，可求得：DE= x，进而得出DC  x2，再利用△ADE∽△ECD，进而求得： 3 27 x2 CF  EF，再结合题意得出答案． 81 （1） ∵AE平分∠BAD 第 69 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠BAE=∠DAE ∵AE2  ABAD AB AE ∴  AE AD ∴△ABE∽△AED ∵∠ABE=∠ADE ∴DC∥ AE ∴AEDDCE，∠AED=∠CDE ∴∠ADE=∠DCE， ∴△ADE∽△ECD AE DE ∴  DE DC ∴DE2  AEDC （2） 如图，过点B作BG⊥AE ∵BE=9=AB ∴△ABE是等腰三角形 ∴G为AE的中点， 由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形， ∵AE2  ABAD，AB=BE=9，AE=6 ∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3 ∴△ADE≌△ECD（SAS） 在Rt△ABG中， BG= AB2AG2  9232 6 2 第 70 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 ∴S  AEBG 66 2 18 2 ABE 2 2 ∵△ABE∽△AED且相似比为3:2 ∴S ：S 9:4 ABE AED ∴S S =8 2 △AED △CDE ∴S S S S 18 28 28 2 34 2 四边形ABCD ABE AED CDE （3） 由（1）知：△ABE∽△AED AB AE ∴  BE DE ∵BE=x，AB=9,AE=6，AE2  ABAD,AD4 9 6 ∴  x DE 2 ∴DE x 3 由（1）知： DE2  AEDC, 2 ∴DC  x2 27 ∵△ADE∽△ECD AD CE 2    AE DE 3 4 CE x 9 DC∥AE   AEF DCF   x2 EF EF CE EFCF 81 81x2     EF EF EF 81 81 81 4 36x yEF  CE  x 81x2 81x2 9 81x2 x0 x0   y0 即y0   xAE AB x69 3x9 第 71 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 36x y关于x的函数解析式为 y ，定义域为3x9 81x2 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定 和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 第 72 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 73 页 共 73 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司