安徽省“皖南八校”2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（人教版）Word版含解析_2025年12月高一试卷_251210安徽省“皖南八校”2025-2026学年高一上学期期中考试（全)

“皖南八校”2025-2026 学年高一第一学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请 将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章、第三章． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知命题“ ”，则 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 若命题“ ”， 则 是 . 故选：A 2. 已知集合 ， ，那么集合 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先表示出集合 ，然后根据并集运算求得 的结果.【详解】因为 ， ， 所以 ， 故选：C. 3. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式 转化为 ，利用一元二次不等式的解法即可得到答案. 【详解】 即 ，化简为 ，即 ， 解得 ，所以不等式的解集为 . 故选：A. 4. 设函数f(x)＝ 则f(f(3))＝( ) A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ,,故选D. 5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数 的定义域为 ，函数 有意义， 得 ，解得 ， 所以所求定义域为 . 故选：D 6. 定义集合 和 的运算： ，若集合 ，则 的 真子集个数为（ ） A. 31 B. 32 C. 62 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义求出集合 的所有元素，确定其元素个数 ，再代入真子集个数公式 计 算即可. 【详解】由新定义知， ，一共6个元素，所以 的真 子集的个数为 . . 故选：D 7. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调，且 ，则 ，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为 是偶函数，所以 ， 已知 ，由偶函数性质 ，因此 ， 所以 在 上单调递减； 数值大小关系为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 即 . 故选：B. 8. 存在 且 ，对于任意的 ，使得 ； 在 上单调 递减，且 恒成立； 在 上单调递增，且存在 使得 ；下列说法成立的 是（ ） A. 只有 是 的充分条件 B. 只有 是 的充分条件 C. 、 都是 的充分条件 D. 、 都不是 的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件的定义判断即可.【详解】对于命题 在 上单调递减，且 恒成立， 当 时，此时 ， 又因为 在 上单调递减，所以 ， 又因为 恒成立，所以 ， 所以 ，所以命题 ⇒命题 ， 对于命题 在 上单调递增，且存在 使得 ， 当 时，此时 ， ， 又因为 在 上单调递增，所以 ， 所以 ，所以命题 ⇒命题 ， 所以 、 都是 的充分条件， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握函数单调性的定义，找到相应 的值，从而得解. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若 ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 D. 若 且 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可求解.【详解】若 ，则 ， 两边同除以 得 ，故A正确； 由 可得 ，又因为 ，所以 ，故B正确； 若 ，则 ，由不等式的同向可加性可得 ，故C正确； 若 且 ，则 ，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由 ，求出 ，通过二次函数图像法求出单调性，值域 ，即可 得解. 【详解】 ， ，故选项A正确； 的对称轴为 ， 在 上是单调递增函数，故选项C正确； 当 时， 取最小值为 ， 的值域为 ，故选项B不正确； 的值域为 ， 的值域为 ，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）A. B. 函数 在 上单调递增 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令 ，即可求出 ；对于B，采用举反例来进行判断；对于 C，先证明 ，再令 ，得到 ，从而判断 ；对于D，采用赋值法，求 出 和 ，再结合 进行比较. 【详解】对于A，令 ，则 ，故A正确； 对于B，因为 ，而 ，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于C，令 ，则 ，则 ， ，则 ， 又 ，则 ， 令 ， ，则 ，故C正确； 对于D，由 ，则 ，所以 ， ， 又 ，则 ，即 ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数 的图象经过点 和点 ，则 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】依次代入点 和点 即可求解. 【详解】由题意 ，所以 ， 所以 ，所以 . 故答案为：4 13. 已知两正数 ，满足 ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得 ，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因 为正数， ，则 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号. 故答案为： 14. 定义域为 的偶函数 在 上单调递减，且 ，若关于 的不等式的解集为 ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数和零点判断 取正值、负值的区间范围，然后将不等式进行化简，进而通过讨 论，得到 的关系式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为定义域为 的偶函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递增， 且 ， 可知当 时， ；当 时， ； 那么当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 由 可得 ， 因为 . 由题意可知不等式 的解集为 ， 显然 不恒为0，可知当 时， ； 当 时， ；当 时， . 可知一次函数 的零点为2，且图象是由左向右下降的， 则 ，所以 . 所以 ，当 时， 取最小值为 .故答案为： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）已知 ，求 的解析式； （2）已知 为二次函数，且 ，求 的解析式. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）已知 的解析式，求 ，只需将 替换为 ，然后按照代数运算规则展开、 化简即可. （2）已知 为二次函数，设其一般式为 ，将 和 分别代入该式， 然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的 对比对应项的系数，得到关于 的方程组，解方程组即可求出 的值，即可 得 的解析式. 【详解】（1）由题意得 . （2）设 ，则 ， 整理可得 . 由题意得 , 所以 ，解得 ， 所以 .16. 已知命题 ，不等式 恒成立，当命题 为真命题时，实数 的取值集合为 ． （1）求集合 ； 的 （2）设非空集合 ，若“ ”是“ ” 充分不必要条件，求实数 的取值范 围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分为 和 两种情况分别讨论，根据一元二次不等式恒成立，即可求得答案； （2）根据充分不必要条件得出 是 的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果. 【小问1详解】 当 时， ，不等式 恒成立，此时命题 为真命题，符合题意； 当 时，若命题 为真命题，则 ，解得 ， 综上所诉， ，所以集合 . 【小问2详解】 ，即 ， 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集， 则 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 . 17. 已知函数 .（1）当 时，求函数 的最小值； （2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值； （3）设关于 的不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）最小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将 代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于 的方程组，解出 的值即 可. （3）先对二次函数因式分解，得到 ，然后根据零点的大小分类讨论，并结合 和 ，即可得出 的取值范围. 【小问1详解】 当 时，函数 ， 则当 时，函数 取得最小值，最小值为 . 【小问2详解】 因为关于 的不等式 的解集为 ， 所以1和5是一元二次方程 的两个根， 所以 ，解得 . 【小问3详解】 由 ，可得 ，①当 ，即 时， ， 要使 ，则 或 ， 解得 或 ，又 ，可得 或 ； ②当 ，即 时， ，满足 ； ③当 ，即 时， ， 要使 ，则 或 ， 解得 或 ，又 ，可得 . 综上，实数 的取值范围为 . 18. 设矩形 的周长为 ，其中 .如图所示， 为 边上一动点，把四边形 沿 折叠，使得 与 交于点 .设 ， . （1）若 ，将 表示成 的函数 ，并求定义域； （2）在（1）条件下，判断并证明 的单调性； （3）求 面积的最大值. 【答案】（1） ， （2） 在 上单调递增，证明见解析（3） . 【解析】 的 【分析】（1）通过几何关系确定 ，利用R 三边关系建立 ， 的关系，再利用 ，进而确定 的范围即可. （2）应用函数单调性的定义证明即可； （3）设 ，将面积表示为 ，适当变形应用基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 解：根据题意，由 ，得 ， 由已知 ，故 ， 又因为 故在 中，则 ， 即 ，整理得 又 ，则 ，故 ， ，所以，定义域为 . 【小问2详解】 解：因为 ， ， 任取 ， 且 ，则 因为 ， 所以 ， ， 所以 ， 即 在 上单调递增. 【 小问3详解】 解：易知，当 点位于 点时， 面积最大. 此时再设 ， ，那么 ， 由 得 ， ， 所以， 的面积 ， 令 ，则 ， ， 故 ， 当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，故当 时， 的面积 的最大值为 . 19. 已知函数 的定义域为 ，给定集合D，若 满足对任意 ， ，存在实数 ，当 时，都有 ，则称 是D上的“ 级优函数”． （1）请写出一个 上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知 是 上的“2级优函数”， （ⅰ）证明： ； （ⅱ）当 时， ，其中a， ，求a，b 的值． 【答案】（1）函数 是 上的“1级优函数，理由见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） ，或 ． 【解析】 【分析】（1）根据“ 级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得 ，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明 ，故 ，进而可得 ，进而可判定 是 上的“2级优函数”，且 是 上单调递增函数，对 分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解 （ⅱ）. 【小问1详解】 函数 是 上的“1级优函数”．理由如下： 因为当 时，有 ，所以 是 上的“1级优函数”．【小问2详解】 （ⅰ）因为 是 上的“2级优函数”，由定义可得对任意 ， ， 当 时，有 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． （ⅱ）由（ⅰ）可得 ， 故 又 ，因此 ， 又 ，故 ， 因此 ， 在上式中，以x代 可得 ， 再令 ，可得 ， 又对任意 ， ，当 时，有 ， 因为 是 上的“2级优函数”，所以 ，又 ，所以 ，所以 ， 即对任意 ， ，当 时，都有 ， 故 是 上的“2级优函数”， 由上述分析可得 ，且 是 上单调递增函数． 当 时， ，其中a， ，有 ， 当 时， ，此时 在 上单调递增，满足题意； 当 时，则 或 解得 ； 当 时，则 此时无解； 综上所述， ，或 ． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学 思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者 函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.