精品解析：上海市嘉定区迎园中学2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022 学年第二学期八年级数学学业水平练习 （考试时间 90分钟，总分 100分） 一、选择题：（本大题共 6题，每题 3分，满分 18分） 1. 下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】A. 6 与 3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B. 9 3，与 3不是同类二次根式； C. 12 2 3，与 3被开方数相同，故是同类二次根式； D. 18 3 2 ，与 3被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次 根式的定义判断解题是求解的关键． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论错误的是（ ） A. ∠A+∠DCB=90° B. ∠ADC= 2∠B C. AB=2CD D. BC=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCB=∠B，再逐个判 断即可． 【详解】A、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， 1 ∴CD=AD=BD= AB， 2 ∴∠DCB=∠B， 第 1 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A+∠DCB=90°，故本选项正确，不合题意； B、∵∠DCB=∠B，∠ADC=∠B+∠DCB， ∴∠ADC=2∠B，故本选项正确，不合题意； C、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AB=2CD，故本选项正确，不合题意； D、根据已知不能推出BC=CD，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半是解此题的关键． 2 3. 以下选项中的各点，不在反比例函数y  图象上的是（ ） x A. 1,2 B. 2,1 C. (-1,2) D. 1,2 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得：xy 2， A.212，不符合条件； B.122，不符合条件； C.122，符合条件； D. 122，不符合条件； 故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐 标特征进行判断是解此题的关键． 4. 如果y关于x的函数y k1x是正比例函数，那么k的取值范围是（ ） A. k 0 B. k 1 C. 一切实数 D. k 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 第 2 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：∵函数y k1x是正比例函数， ∴k 10， ∴k 1， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如y kxk 0 的形式，叫正比例 函数． 5. 如果关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的 三边长，那么△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根， 0 (2b)24acac＝0 { ，即{ ， ac0 a c 解得：a2=b2+c2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形． 故选A． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 在一个三角形中，等边对等角 C. 全等三角形三条对应边相等 D. 全等三角形三个对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答． 【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题； B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题； C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题； D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题， 故选：D． 第 3 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键． 二、填空题（本大题共 12小题，每小题 2分，满分 24分） 7. 计算： 4a  a ______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次根式的除法解题即可． 【详解】解： 4a  a  4 2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的除法，掌握运算法则是解题的关键． 8. 函数y  1x的定义域是______． 【答案】x1 【解析】 【分析】根据二次根式有意的条件解题即可． 【详解】解：由题可得1x0， 解得x1， 故答案为：x1． 【点睛】本题考查二次根式有意的条件，掌握被开方数大于等于零是解题的关键． 9. 已知变量x和变量x- 2，那么x- 2______x的函数？（填“是”或“不是”） 【答案】是 【解析】 【分析】根据函数的概念进行判断即可解答． 【详解】解：∵对于变量x的每一个确定的值，变量x- 2有且只有一个值与之对应， ∴根据函数的概念可知，x- 2是x的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两个变量x与 y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． k 10. 如果反比例函数y  k 0的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么请你写出一个满足 x 条件的反比例函数解析式_____（只需写一个）． 1 【答案】y （答案不唯一）． x 第 4 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象的性质确定k的正负情况，然后写出即可． 【详解】解：∵在每个象限内y随着x的增大而减小， ∴k 0 ． 1 例如：y （答案不唯一，只要k 0即可）． x k 【点睛】反比例函数y  k 0 ， x 当k 0时，在每个象限，y随着x的增大而减小， 当k 0时，在每个象限，y随着x的增大而增大． 11. 已知关于x的方程x2 mx60的一个根为2，则这个方程的另一个根是__． 【答案】－3 【解析】 【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程， 求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】∵方程x2 mx60的一个根为2， 设另一个根为a， ∴2a=－6， 解得：a=－3． 故答案为：－3 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时 b c 方程有解，此时设方程的解为x ，x ，则有x +x  ，x x  ． 1 2 1 2 1 2 a a 12. 在实数范围内因式分解：x2-2x-4________.    【答案】 x1 5 x1 5 【解析】 【分析】令x2 2x40，解出两根，即可写出因式分解的结果. 【详解】解：令x2 2x40， 解得x 1 5，x 1 5 1 2 所以x2 2x4x  1 5 x  1 5    x1 5  x1 5     第 5 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )    故答案为 x1 5 x1 5 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，根据ax2 bxcaxx xx  先解方程是关键. 1 2 3 13. 如果点A2,m 在正比例函数y  x图象上，那么m______． 2 【答案】3 【解析】 【分析】把点的坐标代入解析式计算即可． 3 3 【详解】解：把点A2,m 代入y  x得：m 23， 2 2 故答案为：3． 【点睛】本题考查函数上点的坐标，利用已知条件列出方程求出未知数是解题的关键． 14. 到点P的距离等于3cm的点的轨迹是________． 【答案】以P为圆心，以3cm为半径的圆 【解析】 【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到 点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆． 【详解】解：到点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以3cm为半径的圆． 故答案为：以P为圆心，以3cm为半径的圆． 【点睛】本题考查了学生的理解能力,理解到点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以3cm为半 径的圆是解题的关键． 15. 点C在y轴上，点C到点A1,4 与点B2,5 的距离相等，则点C的坐标为______． 【答案】 0,6 【解析】 【分析】设点C的坐标为 0，y ，根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式： d  x x 2 y  y 2 . 1 2 1 2 【详解】设点C坐标为 0,y . 利用两点间的距离公式，得AC  12 4 y2 , BC  22 5 y2 . 根据题意,得AC  BC, ∴AC² BC². 第 6 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即14 y2 45 y2 . 解得y 6. 所以,点C的坐标是 0,6 ， 故答案为 0,6 . 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键. 16. 如图，在Rt△ABC 中，C 90，AD平分BAC，交边BC点D，AC 4，BC 3，则BD ______． 5 2 【答案】 ##1 3 3 【解析】 【分析】如图：过点D作DEAB于E，由角平分线的性质定理可得CDDE，再证 Rt  ACD≌Rt  AEDHL 可得AE  AC 3，再由勾股定理可得AB5，进而得到BE 1，设 CD DE  x，则BD3x，运用勾股定理列方程求得x,进而完成解答． 【详解】解：如图：过点D作DEAB于E， ∵AD平分BAC， ∴.CDDE， 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD，CD DE ∴Rt  ACD≌Rt  AEDHL ， ∴AE  AC 4， 由勾股定理得：AB AC2 BC2  42 32 5, ∴BE  ABAE 541， 设CD DE  x，则BD3x， 4 在Rt△BDE中，DE2 BE2  BD2，即x2 12 3x2 ,解得x ， 3 第 7 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 5 ∴BD3  ． 3 3 5 故答案为: ． 3 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等 知识点，运用勾股定理列出方程是解答本题的关键． 17. 如图，含30°的三角板ABC绕点B顺时针旋转150°得到△EBD，连接AE，若CB4cm，则 ABE  的面积为______． 【答案】3cm2 【解析】 【分析】过A点作AF CE的垂线, 垂足为F , 由ABC 30及旋转角ABE 150可知CBE为 平 角 , 在 Rt ABC 中 , CB4,ABC 30, 则 AC 2,AB2 3，由 旋 转 的 性 质 可 知  AB BE 2 3，DE  AC 2,BDCB4, 由 面 积 法 :AFBC  ACAB, 求 AF , 则 1 S  BEAF. ABE 2 【详解】解：过A点作AF CE的垂线, 垂足为F , ∵ABC 30,ABE 150， ∴CBE ABCABE 180, 第 8 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵在Rt ABC 中,CB4,ABC 30,  AC 2， ∴AB BC2 AC2  42 22 2 3 ， 由旋转的性质可知. AB BE 2 3，DE  AC 2,BDCB4, 由AFBC  ACAB, 即AF42 32,解得 AF  3, 1 1 ∴ S  BEAF  2 3 3 3cm2， ABE 2 2 故答案为：3cm2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，关键是围绕三角形的面积需确定底和高的值. 18. 在 ABC中，AB AC，MN 垂直平分AB分别交AB，BC于M ，N ．如果△ACN是等腰三角形，  那么B的大小是______． 【答案】45或36 【解析】 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出NA NB，即可得到BBAN C. 然后对 ANC  中的边进行讨论，然后在 ABC中，利用三角形内角和定理即可求得B的度数.  【详解】∵MN 是AB的中垂线, ∴NB NA， ∴BBAN， ∵AB AC, ∴BC， 设B x,则C BAN  x， 第 9 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ①当AN  NC时,CAN C  x 则在 ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x180,  解得: x45,则B45； ②当AN  AC时,ANC C  x, 而 ANC BBAN, 故此时不成立； 180x ③当CACN 时, ANC NAC  2 在 ABC中，根据三角形内角和定理得到：  180x xxx 180， 2 解得: x36， 即B的度数为45或36， 故答案为45或36． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对 ANC 的  边进行讨论是解题的关键. 三、简答题（本大题共 6小题，每题 6分，满分 30分） 19. 解方程：2x32 5 xx5． 4 【答案】x  ,x 1 1 3 2 【解析】 【分析】先整理，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：2x32 5 xx5， 整理得：3x2 7x40， ∴ 3x4x10， 第 10 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即3x40,x10， 4 解得：x  ,x 1． 1 3 2 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 1 20. 计算： 12  6 3 ． 3 2 【答案】3 32 2． 【解析】 【分析】二次根式的混合运算，先算乘除，然后算加减． 1 【详解】解： 12  6 3 3 2 3 2 =2 3  63 ( 3 2)( 3 2) 2 3 3 23 2 3 32 2 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 21. 已知直角坐标平面内的 ABC的坐标分别是 1,4 、 4,2 、 2,5 ，求 ABC的面积．   45 【答案】 2 【解析】 【分析】先计算三角形的三条边的长度，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后求出三角形 的面积． 【详解】∵ 点 A、B、C的坐标分别为 1,4、4,2、2,5 , ∴AC  122 452  90 3 10， AB 142 422  45 3 5， BC  422 252  45 3 5， ∴ AB²BC²454590,AC²90, 第 11 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ AB²BC² AC²， ∴ ABC是直角三角形，  1 1 45 ∴S  ABBC  3 53 5  ． ABC 2 2 2 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，能判断三角形是直角三角形 是解题的关键． 2 22. 如图，正比例函数y kx（k 0）与反比例函数y  的图象交于点A1,m 和点B．求点B的坐 x 标． 【答案】B1,2 【解析】 【分析】把A1,m 代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点A和点B关于原点对称可得点B的 坐标． 2 2 【详解】解：把点A1,m 代入y  得：m 2， x 1 ∴A1,2 ， 2 ∵正比例函数y kx（k 0）与反比例函数y  的图象交于点A和点B， x ∴点A和点B关于原点对称， ∴B1,2 ． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正 比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 23. 如图，已知 ABC中，BAC 2C，AD是BAC的角平分线，AC 2，AB 1，求BD的  值． 第 12 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 【答案】 3 【解析】 【分析】在AC上截取AE  AB，连接DE，则CE  AE，由角平分线可知BADDAC C，即 DA DC ，然后证明 ABD≌ AED，可得BADDAC C 30，然后利用勾股定理解题即可．   【详解】解：在AC上截取AE  AB1，连接DE， ∵AC 2， ∴CE  AE 1, ∵AD是BAC的角平分线， 1 ∴BADDAC  BAC， 2 ∵BAC 2C， ∴BADDAC C， ∴DA DC ， ∴AEDCED90， 又∵AE  AB，BADDAC，AD AD， ∴ ABD≌ AED，   ∴BAED90，BD DE， ∴BC  AC2 AB2  22 12  3， 又∵BADDAC C， ∴BADDAC C 30， 1 1 ∴BD AD CD， 2 2 1 3 ∴BD BC  ． 3 3 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，全等 第 13 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 四、解答题（本大题共 3小题，第 24题和第 25题每题 8分，第 26题 12分，满分共 28 分） 24. 如图，已知DA AB，CB AB，垂足分别为点A和点B，AB BC，AD BE （1）试判断BD与CE的位置关系，并证明你的结论； （2）如果点E是AB的中点，连接CD，DE，试判断△DCE的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）BDCE 证明见解析 , （2）△DCE是等腰三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证 ADB≌  BECSAS 可得ABDECB，然后根据等量代换和直角三角形的性质即 可解答； 1 1 （2）先说明AD AB BC，如图，过点D作DG  BC于G，再证明 ABD≌  GDBAAS 可得 2 2 1 BG  AD BC，再根据垂直平分线的性质可得BDCD，进而得到CDCE，即可解答． 2 【小问1详解】 解：BDCE,证明如下： ∵DA AB，CB AB， ∴AABC,AD∥BC， ∵AB BC，AD BE， ∴ ADB≌  BECSAS ， ∴ABDECB, ∵ABDDBC 90 ∴ECBDBC 90 ∴BFC 90,即BDCE． 第 14 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问2详解】 解：△DCE是等腰三角形，证明如下： ∵AB BC，点E是AB的中点， 1 ∴BE  AB 2 ∵AD BE， 1 1 ∴AD AB BC, 2 2 如图，过点D作DG  BC于G ∴DGB90A， ∵AD∥BC ∴GBDADB， 在△ABD和△GDB中，ADGB，ADBGBD，BD BD， ∴ ABD≌  GDBAAS 1 ∴BG  AD BC， 2 ∴DG垂直平分BC， ∴BDCD, 又∵BDCE， ∴CDCE ∴△DCE是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定与性质等知识 点，灵活运用相关判定与性质是解答本题的关键． 25. 定义：如图1，点M 、N 把线段AB分割成AM 、MN 、BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角 形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB的勾股分割点． 第 15 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）已知点M 、N 是线段AB的勾股分割点，AM 2，MN 3，求BN 的长； （2）如图2，Rt△ABC 中，ACB90，AC  BC，点M 、N 在斜边AB上，MCN 45， ①求证：点M 、N 是线段AB的勾股分割点； ②当ACM 15，AM 1时，请直接写出线段BN 的长． 【答案】（1） 13或 5 （2）①见解析；② 3 【解析】 【分析】（1）分BN 是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）①过点 A 作 ADAB，且 AD BN ，则 DAB90，先证  ADC≌  BNCSAS 可得 CDCN，ACDBCN ，再证 MDC≌  MNCSAS 可得MDMN，然后在Rt△MDA中，最 后由勾股定理得即可证明结论．②如图，过点 C 作 CD AB，垂足为 D，结合已知条件可得 DCM DCAACM 30，再由直角三角形的性质和勾股定理可得CD 3DM ，进而求得 31 3 3 31 3 3 DM  、AD DB ；再根据图形可得MN  DN,BN  DN，然后代 2 2 2 2 3 3 入BN2  AM2  MN2可求得DN  ，最后再求得BN 即可． 2 【小问1详解】 解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，AM 2，MN 3， ∴①当BN 是直角三角形的斜边时，BN  MN2  AM2  32 22  13； ②当BN 是直角三角形的直角边时，BN  MN2 AM2  32 22  5； 故答案为： 13或 5； 【小问2详解】 ①证明：如图，过点A作ADAB，且AD BN ，则DAB90， 第 16 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵BCA90，AC  BC， ∴BAC B45， ∴DAC 90BAC 45， ∵AD BN，DAC B45，AC  BC， ∴ ADC≌  BNCSAS ， ∴CDCN，ACDBCN ， ∴ACDACN BCN ACN BCA90，即DCN 90， ∵MCN 45， ∴MCDDCN MCN 904545， ∴MCDNCM ， 又∵CDCN，CM CM ， ∴ MDC≌  MNCSAS ， ∴MDMN， 在Rt△MDA中，由勾股定理得：AD2  AM2  DM2， ∴BN2  AM2  MN2， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点． ②如图，过点C作CD AB，垂足为D ∵AC  BC,ACB90,CD AB 第 17 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ADCD BD，DBCDCB45， ∵ACM 15, ∴DCM DCAACM 30， ∴由直角三角形的性质和勾股定理可得：CD 3DM , ∴AD DB 3DM , ∵AM  ADDM 1 31 ∴ 3DM DM 1，解得：DM  , 2 3 3 ∴AD DB 3DM  ， 2 31 3 3 ∵MN  DN,BN  DN,BN2  AM2  MN2, 2 2 2 2 3 3   31  3 3 ∴ DN 12  DN ，解得：DN  ,      2   2  2 3 3 3 3 3 3 ∴BN  DN    3． 2 2 2 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质， 全等三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 26. 如图，已知，在 ABC中，ACB90，AB 4，B 30，点P是边BC上一动点，过点P作  射线PM 交边AB于点E．在射线PM 上取一点F ，使PF  PC ，并连接CF 交边AB于点D． （1）当PM BC时，如图1，求点D到BC的距离： （2）当PM  AB时，如图2： ①求证：AD BD； ②设CP x， CPF的面积是y，求y与x的函数关系式．并写出定义域．  第 18 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）3 3 3 2 3  （2）①见解析 ②y  x2   x2 3   4 3   【解析】 【分析】（1）现根据条件得到AC 2，BC 2 3，作DH  BC于点H ，设DH CH a，则 BC a 3a，解方程即可求解； （2）①推导 ACD是等边三角形解题即可；  1 ②作PG CF于点G,则CG  FG  CF,PGC 90，在Rt△CBG中,运用勾股定理求出 2 3 1 CF  x，然后利用S  CF·PG，求出函数关系式即可． 2 CPF 2 【小问1详解】 ∵ACB90,AB4,B30， 1 ∴A60,AC  AB2, 2 BC  AB2 AC2 2 3， ∵PM  BC,PF  PC， ∴ PCF是等腰直角三角形.  ∴PCF PFC ACD45， 如图①,作DH  BC于点H . 则DHC DHB90,CDH DCH 45， 设DH CH a.则DB2a， ∴BH  DB2 DH2  2a2 a2  3a， 第 19 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BC CH BH a 3a 2 3 ， 解得a3 3， 即点D到BC的距离是3 3. 【小问2详解】 ①证明:∵PM  AB， ∴PEBAEP90， ∵B30,PEB90， ∴BPE 60BCDPFC， ∵PF  PC ， 1 ∴BCDPFC  BPE 30B， 2 ∴CD BD,ACD903060A, ADC 180ACDA180606060， ∴ ACD是等边三角形，  ∴ADCD BD， 1 ②如图②,作PG CF于点G,则CG  FG  CF,PGC 90， 2 1 x 在Rt△CBG中,PG  CP . 2 2 3 CG  CP²PG2  x. 2 ∴CF 2CG  3x· 1 ∴S  CF·PG， CPF 2 第 20 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 x 3 2 3  即y   3x  x2   x2 3．   2 2 4 3   【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，函数关系式，掌握勾股定理是解题的关键． 第 21 页 共 21 页