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专题 10 填空小压轴（图形的运动、新定义）（16 区）
1．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面
内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为_____．
【答案】 或
【分析】分两种情况，结合正方形和正三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，在正方形 和正三角形 中，连接 交于点O，正三角形 的中线
交于点F，则点O，P分别正方形 和正三角形 的中心，
在正方形 和正三角形 中， ， ， ，
∴点O，E均在 的垂直平分线上，
∴点E，O，P，G四三点共线，
∵正方形 和正三角形 的边长都为6，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即中心距为 ；
如图，在正方形 和正三角形 中，连接 交于点O，正三角形 的中线 交于点
F，则点O，P分别正方形 和正三角形 的中心，
学科网（北京）股份有限公司在正方形 和正三角形 中， ， ， ，
∴点O，E均在 的垂直平分线上，
∴点E，O，P，G四三点共线，
∵正方形 和正三角形 的边长都为6，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即中心距为 ；
综上所述，中心距为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了正方形和正三角形的性质，解直角三角形，利用分类思想解答是解题的关键．
2．（2023·上海宝山·统考二模）如图，已知 中， ， ，如果将 绕点C顺时
针旋转到 ，使点B的对应点 落在边 上，那么 的度数是__________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /20度
【分析】根据旋转可得 ， ， ，等边对等角得
，根据 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵将 绕点C顺时针旋转到 ，使点B的对应点 落在边 上，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．
3．（2023·上海松江·统考二模）我们定义：二次项系数之和为 ，图像都经过原点且对称轴相同的两个二
次函数称作互为友好函数，那么 的友好函数是________．
【答案】
【分析】函数 的对称轴为 设 的友好函数是 根据二次项系数之和
为 ，图像都经过原点且对称轴相同可列出方程组，解出即可求出．
【详解】解：函数 的对称轴为
学科网（北京）股份有限公司设 的友好函数是
的友好函数是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是读懂“友好对称二次函数”的定义．
4．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角 、 满足 ，那么
我们称这个三角形为特征三角形．
问题解决：如图，在 中， 为钝角， ， ，如果 是特征三角形，那么线
段 的长为___________．
【答案】
【分析】由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，此种情况不符合题意；
②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，然后根据三角函数及勾股定
理可进行求解．
【详解】解：由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为钝角，故不存在 ；
②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，如图所示：
∵ 是特征三角形，即 ，且 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键．
5．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，如果将菱形 绕着点D
逆时针旋转后，点A恰好落在菱形 的初始边 上的点E处，那么点E到直线 的距离为
___________．
【答案】3
【分析】如图，旋转、菱形的性质可知， ，则 ，
， ， ，根据E
到直线 的距离为 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，菱形 绕着点D逆时针旋转后为菱形 ，
由旋转、菱形的性质可知， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴E到直线 的距离为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识．解题
的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．（2023·上海黄浦·统考二模）我们规定：在四边形 中，O是边 上的一点．如果 与
全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形 中， ， ， ，
，如果该四边形的“等形点”在边 上，那么四边形 的周长是________．
【答案】8或
【分析】根据平行线的性质，得到 ，分两种情况讨论：当 时，证明四边形
时平行四边形，据此即可求出四边形 的周长；当 时，根据全等三角形的性质，推出
， ，利用勾股定理，依次求出 ， ，即可求出四边形 的周长．
【详解】解： ， ，
，
四边形 的“等形点”在边 上，
如图1，当 时，则 ，
，
四边形 时平行四边形，
，
四边形 的周长为 ；
如图2，当 时，
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
四边形 的周长为 ，
故答案为：8或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角
形的性质是解题关键．
7．（2023·上海黄浦·统考二模）七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，
取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线 ；分别取 中点E、F，连接 ；过点A作
垂线，分别交 于G、H两点；分别取 中点M、N，联结 ，沿图中实线剪开
即可得到一副七巧板．其中四边形 的面积是________平方厘米．
学科网（北京）股份有限公司【答案】50
【分析】根据勾股定理求出BD，证明四边形 是正方形，即可解得．
【详解】根据勾股定理可得，
，
∵ 中点E、F，联结 ，
∴ ，
，
∵N是 的中点，
∴
∵根据对称性， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：50．
【点睛】此题考查了正方形的证明和面积，解题的关键是熟悉正方形的性质．
8．（2023·上海杨浦·二模）如图，已知在扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径OA＝8，点P在弧AB上，过点
P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，那么线段CD的长为________．
【答案】
【分析】作辅助线：接 ，取 的中点E，连接 ，通过COPD共圆求出等腰三角形CDE的钝角
为120°，从而求出CD的长度．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点E，连接 ，
在 和 中，点E是斜边 的中点，
根据圆的定义可知，点 四点均在同一个圆，即⊙E上，
又
过点H作 ，垂足为点H，
由垂径定理得， ，
在 中， ，
学科网（北京）股份有限公司．
故答案为： ．
【点睛】本题考查辅助线的添加、直角三角形斜边上的中线、对角互补的四边形共圆；掌握这些是本题关
键．
9．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，点B落在点E处， 与
边 相交于点F．如果 ，那么 的正弦值等于_____．
【答案】
【分析】通过证明 得到 ， ，在 中，根据勾股定理列出等
量关系式，得出边之间的关系，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∵ 由 沿 折叠得到，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，整理得： ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，
勾股定理，以及解直角三角形的方法和步骤．
10．（2023·上海金山·统考二模）已知 中， ， ， ，点 是线段 上的动
点，点 在线段 上，如果点 关于直线 对称的点 恰好落在线段 上，那么 的最大值为
________．
【答案】
【分析】过A点作 于点G，先解直角三角形求出 ， ，然后利用面积求出 ，
当 与G重合时 最小，即 最大，求出最大值即可．
【详解】解：如图，过A点作 于点G，
∵ ， ， ，
∴ ，
则 ，
又∵ ，
∴
∵点 、点 关于直线 对称，
∴ ，
又点 恰好落在线段 上，
学科网（北京）股份有限公司∴当 与G重合时 最小，即 最大，
∴ 最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．
11．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的
三角形为“倍角互余三角形”．已知在 中， ， ， ，点D在边 上，
且 是“倍角互余三角形”，那么 的长等于__________．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，当 时，利用 ，列式计算即可求解；当
时，即 是 的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：当 时， ，即 ， 是“倍角互
余三角形”，
则
∴
∴
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
当 时， ，即 ， 是“倍角互余三角
形”，此时 是 的角平分线，
作 于E，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵， ， ， ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得
．
综上， 的长等于 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．
12．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，
， ， ， ，将 绕着点C顺时针旋转，当点D
恰好落在 边上时，联结 ，那么 ________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出 的长，证明 ，得到
，推出 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二
次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司13．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点 、点 ， 的半径为5，点
C是 上的动点，点P是线段 的中点，那么 长的取值范围是______．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，由勾股定理求出 ，由三角形中位线
定理求 ，当C在线段 上时， 的长度最小值 ，当C在线段 延长线上时，
的长度最大值 ，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当C在线段 上时， 的长度最小值为： ，
学科网（北京）股份有限公司当C在线段 延长线上时， 的长度最大值为： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的
辅助线是解答本题的关键．
14．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线 ： 与抛物线 ： 组成一个
开口向上的“月牙线”，抛物线 和抛物线 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴
的交点分别为C、D．如果 ，那么抛物线 的表达式是______．
【答案】
【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为 ，则 ，利用勾股定理结合 得
到 ，解得 ，则 ，可设抛物线 的解析式为 ，利用待定
系数法求出 ．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：在 中，令 ，则 ，
∴ ，
在 中，令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，则
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 经过A、B，
∴可设抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求
出点D的坐标是解题的关键．
15．（2023·上海静安·统考二模）在平面直角坐标系 中，我们定义点 的“关联点”为
学科网（北京）股份有限公司．如果已知点 在直线 上，点 在 的内部， 的半径长为 （如图所示），
那么点 的横坐标 的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求得点 的“关联点”为 ，过点 作 轴的垂线 ，交圆 于点 、
，连接 ，则点 在线段 （两端点除外）上运动，利用勾股定理及垂径定理即可求解．
【详解】解：∵点A在直线 上，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的“关联点”为 ，
过点 作 轴的垂线 ，交圆 于点 、 ，连接 ，则点 在线段 （两端点除外）上运动，
在 中， ，
∵ 轴， 轴过圆心，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，一次函数数等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
16．（2023·上海静安·统考二模）如图，在 中， ，将 绕着点 旋转后，点 落在
边上的点 处，点 落在点 处， 与 相交于点 ，如果 ，那么 的大小是______．
【答案】 /108度
【分析】设 ，由 ， 得 ， ，再由旋转的性质得
， ，从而有 ，同理可证： ，利
用三角形的内角和定理构造方程即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵将 绕着点 旋转后，点 落在 边上的点 处，点 落在点 处， 与 相交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质以及一元一次方程的应用，
熟练掌握三角形的内角和定理时解题的关键．
17．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt 中， ， ， ，点 、 分别是
学科网（北京）股份有限公司边 、 的中点，连接 ．将 绕点 顺时针方向旋转，点 、 的对应点分别是点 、 ．如
果点 落在线段 上，那么线段 ____．
【答案】
【分析】根据勾股定理求得 ，根据旋转的性质得出 ， ，进而得出
，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】在Rt 中， ， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，
∴ , ，
如图所示，点 落在线段 上，
设旋转角为 ，
∴ ，
旋转，
∴ ，
∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关
键．
18.（2023上海普陀二模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6, 4C=4，D为AB中点(如图6)，E为射线CA上
一点，将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE,点A的对应点为A'，如果∠EA'C=90°，那么AE= ▲ .
答案：1.5
ABCD AC B M
19．（2023上海长宁二模）如图，将平行四边形 沿着对角线 翻折，点 的对应点为 ，
CM交
AD于点N ，如果∠B=76°，∠ACM=∠DCM+10°，且NC=m，那么平行四边形ABCD的周长
为
▲ ．
cos76°≈0.24,tan76°≈4
（参考数据： ）
M
A N D
B C
答案：4.96米
学科网（北京）股份有限公司20．（2023上海青浦二模）如图4，在Rt ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，点D是边AB的中点，点M在
边AC上，将△ADM沿DM所在的直线翻折，点A落在点E处，如果EC//AB，那么CE= ▲ ．
△
答案：
21．（2023上海奉贤二模）如图5，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，EF⊥CE．将
△CDE沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段CF上，那么∠EFC的正切值是 ▲ ．
D C
A B
图5
答案：2．
22（2023上海虹口二模）．如图6，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，联结DE，将△ADE沿
着DE翻折，点A的对应点为P，联结EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF= ，那么CG的长是
▲ ．
A D
E
B C
图6
答案：
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
