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淘宝：学思创想
专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）...................................................................................................5
模型3.双角平分线模型（双外角）...............................................................................................................7
..................................................................................................................................................10
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模型1 双角平分线模型（双内角）
双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P；结论：
。
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P，∴
，
。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-
（180°-∠A）=90°+
∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴
，
。
∴∠P=180°- （∠PBC+∠PCB ）=180°-
（∠ABC+∠DCB ）=180°-
（360°-∠A-∠D ）=
（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
。
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证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴
，
。
∴∠P=180°- （∠PCD+∠PDC ）=180°-
（∠BCD+∠CDE ）=180°-
（540°-∠A-∠D-∠E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．（2023 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在
中，点
是
内一点，且点
到
三
边的距离相等，若
，则
．
例2．（2023 秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，
是
内一点，连接
，
．
(1)猜想：
与
、
、
存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若
，
、
分别是
、
的三等分线，直接利用（1）中结论，可得
的度数为 ．
例3．（2023 秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于
，又知道角平
分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在
中，
、
分别是
和
的角平分线．
解决问题：(1)若
，
，则
______；（直接写出答案）
(2)若
，求出
的度数；
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拓展延伸：(3)如图②，在四边形
中，
、
分别是
和
的角平分线，直接写出
与
的数量关系．
例4．（23-24 八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，
中，
平分
，
平分
，探求
与
之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，
中，
、
是
的三等分线，
、
是
的三等分线，
则
与
之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3，
中，
、
、
是
的四等分线，
、
、
是
的四等分线，则
与
之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4，
中，
、
、……、
、
是
的
等分线，
、
、……、
、
是
的
等分线，请用一个等式表示
、
、
三者之间的
数量关系是______；
【探究与应用】（5）
中，
、
、……、
是
的2024 等分线，
、
、……、
是
的2024 等分线，若
与
的和是
的7 倍，则
______ ．
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模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴
，
。
∴∠P=∠PCD-∠PBC=
（∠ACD-∠ABC）=
∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，
，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点
，
的平分线相交于点
，
，
的平分线相交于点
……以此类推；结论：
的度数是．
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证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴
，
。
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=
（∠ACD-∠ABC）=
∠A=
。同理：∠P2=
∠P1=
，∠Pn=
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，
平分
，点
是射线
，
上的点，连接
．
按以下步骤作图：
①以点
为圆心，任意长为半径作弧，交
于点
，交
于点
；
②分别以点
和点
为圆心，大于
长为半径作弧，两弧相交于点
；
③作射线
，交
于点
．若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D 是△ABC 外的一点，点E 在BC 边的延长线
上，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACE．试探究∠D 与∠A 的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC 是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC 是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC 为一般三角形，在（1）中获得的∠D 与∠A 的关系是
否还成立？若成立，利用图1 证明你的结论；若不成立，说明理由．
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例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）∠ACD 是△
的外角，
的平分线与
的平分线交
于点
，
的平分线与
的平分线交于点
，…，
的平分线与
的平分线交于
点An． 设∠A＝
．则
＝ ，∠A2021＝ ．
模型3.双角平分线模型（双外角）
双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。
E
D
C
B
A
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
．
证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴
，
。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-
（∠EBC+∠BCF）=180°-
（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
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=180°-
（180°+∠A）=90°+
∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D 作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD。,
例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC 中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交
于点E，则∠AEC＝ ．
例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），
平分
，
平分
.
①当
时，求
的度数.②猜想
与
有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），
平分外角
，
平分外角
，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，
请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.
例3．（2023 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），
，
是
的外角，
的
平分线所在直线与
的平分线
交于点D，与
的平分线
交于点E．(1)若
，则
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度；(2)若
，求∠E 的度数；(3)在图（1）的条件下，沿
作射线
，连接
，如图
（2）．求证：
平分
．
例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC 中，图1，图2，图3 中的△ABC 的内角平分线或
外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O 是△ABC 的两个内角平分线的交点，猜想∠O 与∠A 之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．如图2，若
，△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝
________；
如图3，若
，△ABC 的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
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1．（2023 春·山东泰安·七年级统考期末）如图，
的外角
的平分线
与内角
的平分线
交与点P，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏·八年级统考期末）
中，点
是
内一点，且点
到
三边的距离相等；
，则
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A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠A＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC
与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D 等于（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
4．（2023 春·广东·七年级专题练习）如图，已知△ABC，O 是△ABC 内的一点，连接OB、OC，将
∠ABO、∠ACO 分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O 四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180° C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
5.（2023.广东七年级期中）在四边形
中，
的平分线与
的平分线交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在
中，
是角平分线，
是边
上的高，延长
与外角
的平分线交于点
．以下四个结论：①
；②
；③
；④
．其中结论正确的个数是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的
平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC 的平分线与∠An﹣1CD 的
平分线交于点An．设∠A=
．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ．
8．（2023 春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC 中，BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，
CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E，记
，
，则以下结论①
，②
，③
，④
，正确的是 ．（把所有正
确的结论的序号写在横线上）
9．（2023 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在
中，点
是
内一点，且点
到
三边
的距离相等，若
，则
．
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10．（2023 秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在
中，
，
的平分线与外角
的平分线相交于点M，作
的延长线得到射线
，作射线
，有下面四个结论：
①
；②
；③射线
是
的角平分线；④
．
所有正确结论的序号是 ．
11．（2023 春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在
中，
．
(1)分别作
，
的平分线，它们交于点
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当
时，
的度数为 ．(3)当
时，
的度数为 ．
12．（2023·成都市·八年级专题练习）在
中，
，线段
、
分别平分
、
交于点G．(1)如图1，求
的度数；(2)如图2，求证：
；(3)如图3，过点C 作
交
延长线于点D，连接
，点N 在
延长线上，连接
交
于点
，使
，若
，
，求线段
的长．
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13．（2023 秋·山东·八年级专题练习）如图，在
中，
，
是
，
平分线的交
点．(1)
；(2)若
是两条外角平分线的交点，则
；(3)在（2）的条件下，
若
是内角
和外角
的平分线的交点，试探索
与
的数量关系，并说明理由．
14．（2022 春·湖北十堰·七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规
律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识．
如图1，
中，
分别平分
，且相交于点
“勤奋小组”的同学发现:
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．证明过程如下:
证明:如图2，连接
并延长，
则
(依据1)
与
分别平分
又
，(依据2)
．
依据1 是 ___，依据2 是 __；
如图3，在图1 的基础上，作
的角平分线
交于
点
试探究
与
之间的数量关系．
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15．（2023 秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1，
，
分别是
的内角
，
的平分线，说明
的理由．
（2）【深入探究】①如图2，
，
分别是
的两个外角
，
的平分线，
与
之
间的等量关系是_________；
②如图3，
，
分别是
的一个内角
和一个外角
的平分线．
，
交于点D，探
究
与
之间的等量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在
中，
，
分别平分
，
．
M，N，Q 分别在
，
，
的延长线上，
，
分别平分
，
，
，
分别平分
，
．若
，则
的度数是________．
16．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO 分别是
中
和
的平分线，
则
与
的关系是______（直接写出结论）；
（2）如图2，BO、CO 分别是
两个外角
和
的平分线，则
与
的关系是______，
请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO 分别是
一个内角和一个外角的平分线，则
与
的
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关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：
，点
A、B 分别是射线OF、OD 上的动点，
的外角
的平分线与内角
的平分线相交于点P，
猜想
的大小是否变化？请证明你的猜想．
17．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，
与
分别为
的两个外角．
试探究
与
的数量关系_____(即列出一个含有
，
，
的等式，直接写出
答案即可)；
探究二：已知：如图2，在
中，
分别平分
和
，求：
与
的数量关系；
探究三：若将探究2 中的
改为任意四边形
呢？
即：如图3，在四边形
中，
分别平分
和
，试利用上述结论探究
与
的数量关系．
18．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交
于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋
∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，
CD，AC 之间的数量关系，并加以证明．
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19．（2024·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在
中，
和
的平分线相交于点
，过点
作
交
于
，交
于
，过点
作
于
.
（1）求证：
（2）求证：
（3）若
，
，请用含
，
的代数式表示
的面积，
___________（直接写出结果）
20．（2023 秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知
中，
，
，
分别平分
和
．
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(1)如图（1），求
的度数；(2)如图（2），延长
交
于
，作
交
于
，作
交
的延长线于
，垂足为
，求证：
；
(3)如图（3），若
，
是边
所在直线上一点，分别关于
，
作
的对称点
，
，
它们到直线
的距离分别记作
和
．①若点
在边
上，直接写出
的最大值；
②若点
在
的延长线上，取十个特殊的
点，使十个对应的
值依次为
，
，…，
这
十个自然数，对应的
的值分别记作
，
，…，
．直接写出
的和．
21．（23-24 七年级下·河南洛阳·期末）已知直线
与
互相垂直，垂足为O，点A 在射线
上运动，
点B 在射线
上运动，点A，B 均不与点O 重合．
(1)如图1，
平分
，
平分
，
交
于I，则
______°．
(2)如图2，
平分
交
于点I，
平分
，
的反向延长线交
的延长线于点D．
①直接写出，则
______°．②在点A，B 的运动过程中，
的大小是否会发生变化？若不变，
求出
的度数；若变化，请说明理由．
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