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淘宝：学思创想
专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、
风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1
模型2.风筝（鹰爪）模型...............................................................................................................................7
模型3.角内（外）翻模型.............................................................................................................................11
..................................................................................................................................................16
模型1.飞镖模型（燕尾）模型
飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖
（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。
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图1 图2 图3
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①
；②
。
证明：连接AC 并延长至点P；在△ABC 中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD 中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC 交AD 于点P；在△ABQ 中，
；在△CDQ 中，
。
即：
，故
。
拓展模型1：条件：如图2，BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC； 结论：∠O=
（∠A+∠C）。
证明：∵BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC；∴∠ABO=
∠ABC；∠ADO=
∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=
∠ABC+
∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=
（∠A+∠C）。
拓展模型2：条件：如图3，AO 平分∠DAB，CO 平分∠BCD； 结论：∠O=
（∠D-∠B）。
证明：根据飞镖模型：
=
+
+
，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，
∵AO 平分∠DAB，CO 平分∠BCD，∴∠DCO=
∠DCB，∠DAO=
∠DAB，
∴∠DCO-∠DAO=
（∠DCB-∠DAB）=
（∠D+∠B），
∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，
∴∠D-∠O=
（∠D+∠B）,即∠O=
（∠D-∠B）
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例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹
四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是
一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：
方法一：如图2，连结AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，
又：在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图3，连结CD 并延长至F，
∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，．．．．．．．．．．
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；
(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析
【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD 并延长至F，由三角形外角的性质即可证明．
【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理，
故答案为：三角形的内角和定理；
（2）连结CD 并延长至F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，
，
，即
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键．
例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如
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果
，
，那么
的度数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长BE 交CF 的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出
再利用邻补角的性质
求出
，再根据四边形的内角和求出
，根据邻补角的性质即可求出
的度数．
【详解】延长BE 交CF 的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴
,故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是
会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：
．
例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
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探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究
与
、
、
之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺
放置在
上，使三角尺的两条直角边
、
恰好经过点
、
，若
，则
；②如图3，
、
的2 等分线（即角平分线）
、
相交于点
，若
，
，求
的度数；
拓展：（3）如图4，
，
分别是
、
的2020 等分线（
），它们的
交点从上到下依次为
、
、
、…、
．已知
，
，则
度．
【答案】（1）
，理由见详解； （2）①30；②95°；（3）
【分析】（1）连接AD 并延长至点E，利用三角形外角的性质得出
左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论
有
，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据
求出
，然后结合角平分线的定义再利用
即可求解；
（3）先根据
求出
，再求出
的度数，最
后利用
求解即可．
【详解】（1）如图，连接AD 并延长至点E，∵
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又∵
∴
（2）①由（1）可知
∵
，
∴
②由（1）可知
∵
，
∴
平分
，CF 平分
（3）由（1）可知
∵
，
∴
∵
，
分别是
、
的2020 等分线（
）
∴
∴
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题
的关键．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，
，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC 于点D. 求证：（1）
；（2）
.
【详解】（1）∵
，∴
，∵
，∴
，∴
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∵
，∴
（2）过点
作
，交
、
于
、
，则
，
由（1）知
∵
，
∴
即
（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）
模型2.风筝（鹰爪）模型
图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
证明：∵∠1 是三角形ABO 的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA；
∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
证明：∵∠1 是三角形ABO 的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA；
∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）
=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。
例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 中，
、
、
分别为
、
、
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的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和是
及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】解：如图，连结BD，延长AD 到E，
，
，
，
故选项A 正确，符合题意；B 不正确，不符合题意；
多边形的外角和是
，∴
∴
故选项C 不正确，不符合题意；选项D 不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是
是解题的基础．
例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知
，在
的两边上分别取点B、
C，在
的内部取一点O，连接
、
．设
，
，探索
与
、
、
之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O 在
的边
上时，
，此时
，则
与
、
、
之间的数量关系是
．
【问题再探】（1）如图2，当点O 在
的内部时，请写出
与
、
、
之间的数量关系
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并说明理由；（2）如图3，当点O 在
的外部时，
与
、
、
之间的数量关系是
________；
【拓展延伸】（1）如图4，
、
的外角平分线相交于点P．
①若
，
，则
________°；②若
且
，则
________°；
③直接写出
与
、
之间的数量关系；
（2）如图5，
的平分线与
的外角平分线相交于点Q，则
________（用
、
表示）．
【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）
∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）
【分析】[问题再探]（1）如图2 中，结论：
．连接
，延长
到
．利用三
角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理解决问题即可．
[拓展延伸]（1）①求出
，再利用结论，构建关系式即可解决问题．
②根据
，可得结论．
③根据
，可得结论．
（2）结论：
．设
，
．构建方程组求解即可．
【详解】解：[问题再探]（1）如图2 中，结论：
．
理由：连接
，延长
到
．
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，
，
．
（2）如图3 中，结论：
．
理由：连接
．
，
，
，
．
[拓展延伸]①如图4 中，
，
，
，
、
的外角平分线相交于点
，
，
，故答案为：25．
②
，
，
，
，故答案为：20．
③
，
．
（2）如图5 中，结论：
．理由：设
，
．
则有
．②
①可得，
，
即
，故答案为：
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问
题，属于中考压轴题．
例3．（23-24 七年级下·山东聊城·期末）如图，在
中，
，点
、
是
边
、
上
的点，点
是平面内一动点．令
，
，
．
(1)若点
在线段
上，如图1 所示，
，求
的值；
(2)若点
在边
上运动，如图2 所示，则
、
、
之间的关系________；
(3)若点
运动到边
的延长线上，如图3 所示，则
、
、
之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点
运动到
外，如图4 所示，则请表示
、
、
之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
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(3)猜想
，理由见解析(4)
，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质：
（1）根据
，可得
，再根据平角的定义可得
，则
；（2）同（1）求解即可；
（3）由三角形的外角的性质知：
，
，据此可得结论；（4）由三角形的
外角的性质知：
，
，再由
，则
．
【详解】（1）解：∵在四边形
中，
（四边形内角和可以看做连
接对角线后两个三角形的内角和），
，
，∴
∵
，∴
，∴
；
（2）解：∵在四边形
中，
（四边形内角和可以看做连接对角线
后两个三角形的内角和），
，∴
∵
，∴
，∴
；
（3）解：猜想
，理由如下：设
交于M，
由三角形的外角的性质知：
，
，
，即
；
（4）解：
，理由如下：设
交于M，
由三角形的外角的性质知：
，
，
，
，，即
，
模型3.角内（外）翻模型
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图3 图4
条件：如图3，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 内部时，
结论：2∠C=∠1+∠2；
证明：∵∠1 是三角形CC’E 的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C
。
条件：如图4，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 外部时，
结论：2∠C=∠2-∠1。
证明：∵∠1 是三角形CC’E 的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）
=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
例1．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张
的纸片，点
，
分别在边AB，
上，将
沿着DE折叠压平，
与
重合，若
，则
．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得
，
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，进而可得
，结合
，
可得
，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵将
沿着
折叠压平，
与
重合，
∴
，
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，故答案为：
．
例2．（23-24 八年级下·山东德州·开学考试）如图，把
纸片沿
折叠，当点
落在四边形
的外面时，此时测得
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的
关键．根据折叠的性质得出
，根据三角形外角的性质得出
，再次利用
三角形外角的性质即可求出
的度数．
【详解】解：如图，设
与
交于点
，
，
根据折叠的性质，
，
，
，
，
，
，故选：
．
例3．（2023 春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将
纸片沿
折叠，使点
落在四边形
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内点
的位置．则
之间的数量关系为：_______；
（2）如图2，若将（1）中“点
落在四边形
内点
的位置”变为“点
落在四边形
外点
的位置”，则此时
之间的数量关系为：_________；
（3）如图3，将四边形纸片
（
，
与
不平行）沿
折叠成图3 的形状，若
，
，求
的度数；
（4）在图3 中作出
的平分线
，试判断射线
的位置关系，当点
在
边
上向点
移动时（不与点
重合），
的大小随之改变（其它条件不变），上述
，
的位置关系改变吗？为什么？
【答案】（1）
，（2）
；（3）
；（4）位
置不改变，
．
【分析】（1）连接
，证明
，结合
，
，
再利用角的和差关系可得答案；
（2）连接
，证明
，结合
，
，再利用
角的和差关系可得答案；（3）如图，延长
，
交于点Q，延长
，
交于点
，则对折后
与
重合，由（2）的结论可得：
，可得
，再利用三角形的内
角和定理可得答案；（4）如图，
平分
，
平分
，可得
，
，由对折可得：
，
，
由（2）的结论可得：
，即
，证明
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，可得
．
【详解】（1）结论：
理由：连接
，
沿
折叠A 和
重合，∴
∵
，
∴
．
（2）
理由：连接
， 沿
折叠A 和
重合，∴
∵
，
∴
；
（3）如图，延长
，
交于点Q，延长
，
交于点
，则对折后
与
重合，
由（2）的结论可得：
，而
，
，
∴
，∴
，∵
，∴
；
（4）
，理由见解析 如图，
平分
，
平分
，
∴
，
，
由对折可得：
，
，
由（2）的结论可得：
，即
∴
，
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∴
，
∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的
性质并进行解题是关键．
1．（2024.山东七年级期中）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当A 落在四边形BCDE 内时，则∠A 与
∠1+∠2 之间有始终不变的关系是（ ）
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A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1 与∠AED 的2 倍和∠2 与∠ADE
的2 倍都组成平角，结合△AED 的内角和为180°可求出答案．
【详解】∵△ABC 纸片沿DE 折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，
∴∠AED=
(180°−∠1),∠ADE=
(180°−∠2)，
∴∠AED+∠ADE=
(180°−∠1)+
(180°−∠2)=180°−
(∠1+∠2)
在△ADE 中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−
(∠1+∠2)]=
(∠1+∠2)
则2∠A=∠1+∠2，故选择B 项.
【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.
2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在
中，
，
与
的角平分线交于
，
与
的角平分线交于点
，依此类推，
与
的角平分线交于点
，则
的度数
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得
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∠ABDn+∠ACDn=160×（
）
n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1 平分∠ACB，∴∠ABD1=
∠ABC，∠ACD1=
∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=
∠ABD1=
∠ABC，∠ACD2=
∠ACD1=
∠ACB，
同理可得∠ABD5=
∠ABC，∠ACD5=
∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×
=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4 满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系．根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，
从而推出∠1+∠4=∠2-∠3
【详解】解：∵∠6 是△ABC 的外角，∴∠1+∠4=∠6 ①，
又∵∠2 是△CDF 的外角，∴∠6=∠2-∠3 ②，
由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D．
【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理．
4．（2023 春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形
中，若去掉一个
的角后得到一个六边
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形
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理可得
，根据平角的定义可得
，从而求出结论．
【详解】解：∵
，∴
，
∵
，∴
．故选D．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片
沿
折叠，使点
落在四边形
外点
的
位置，点
落在四边形
内点
的位置，若
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和
定理和外角的性质是解题的关键．
延长
交
于点
，利用四边形的内角和定理得到：
，利用四边形的内角和定理，
折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得
的值，则结论可求．
【详解】解：延长
交
于点
，设
交
于点
，如图，
淘宝：学思创想
四边形的内角和为
，
，
，
．
由折叠的性质可得：
．
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．故选：D．
6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC 中，将边BC 沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A 的
度数是 度．
【答案】55/五十五
【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A 的度数．
【详解】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D，
淘宝：学思创想
由折叠可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D，
又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°-110°=250°，
∴四边形AEDF 中，∠A=
（360°-250°）=55°，故答案为：55．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算．
7．（2023 春·山东潍坊·七年级统考期末）在
中，
，
，将
、
按照如图所示
折叠，若
，则
°
【答案】
【分析】先根据折叠的性质求出
，
，
，再根据三角形内
角和定理求出
，
，进而求出
，然后求出四边形内角和，进而得出
，即可
得出答案．
【详解】根据折叠性质得
，
，
．
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，
∴
．
在四边形
中，
.
∴
，
即
，∴
，
∴
．故答案为：265．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题
的关键．
淘宝：学思创想
8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C 在直线BD 的上方），且
∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠A 不变，将
∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
【答案】 增大 10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到
∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE 并延长，连接AC 并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE 分别是∠ABC、∠ADC 平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD 增大了10°．故答案为：增大，10．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中
所给的结论是解题的关键．
9．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，
是
的平分线，
是
的平分线，
与
交
于
，若
，
，则
．
BE
ABD
CF
ACD
BE
CF
G
140
BDC
110
BGC
A
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出
，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断
出
，再根据BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，判断出
；最后根
据三角形的内角和定理，用
即可求出∠A 的度数.
【详解】如下图所示，连接BC，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵
，∴
，
∴
，
∴
. 故答案为：
.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键.
10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q 为三角形ABC 内两点，B，P，Q，C 构成凸四边形．
求证：
．
80
1
2
40
3
4
30
5
6
30
180
( 1
2
3
4
5
6)
140
BDC
1
2
180
140
40
110
BGC
1
2
3
4
180
110
70
3
4
70
40
30
3
4
30
5
6
30
1
2
3
4
5
6
1
2
3
(
)4
5
6
70
30
100
(
)
180
100
80
A
80
淘宝：学思创想
Q
P
C
B
A
N
M
Q
P
C
B
A
【详解】作直线PQ，分别与AB，AC 交于点M，N
由三角形的三边关系可得
①+②+③得
∴
，即
．
11．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形
形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
(1)如图①，在规形
中，若
，
，
，则
______°；
(2)如图②，将
沿
，
翻折，使其顶点A，B 均落在点O 处，若
，则
______°；
(3)如图③，在规形
中，
、
的角平分线
、
交于点E，且
，试探究
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)20(2)54(3)
；理由见解析
【分析】（1）连接
，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出
、
，即可
得出
，根据
，
，
，即可得出答案；
（2）根据翻折得出
，
，根据三角形内角和得出
，在根据
，列出关于
的方程，解方程即可得出答案；
淘宝：学思创想
（3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出
，
，根据
，
，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，连接
，并延长到点E，
则
、
，∴
，即
，
∵
，
，
，∴
，故答案为：20；
（2）解：∵将
沿
，
翻折，顶点A，B 均落在点O 处，
∴
，
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
．
（3）解：
；理由如下：如图3，由（1）知
，
∵
平分
，∴
，
∵
平分
，∴
，∵
，
，
∴
即
．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌
握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四
边形（如图1）．
淘宝：学思创想
（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
①
②
③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形
性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB=AD=6，
BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）．
【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）
．
【分析】（1）根据凹四边形的定义即可得出结论；（2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质；
（3）连接BD，根据SΔABD-SΔBCD 即可求出燕尾四边形ABCD 的面积．
【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①；
（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1，
淘宝：学思创想
在凹四边形ABCD 中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D．
证明：连接AC．在△ABC 和△ADC 中，
，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．
②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC 所在的直线是燕尾四边形的对称轴；
（3）如图2，连接AC，过点B 作BE⊥AC 交AC 的延长线于E；
由（2）知，燕尾四边形ABCD 是轴对称图形，∴∠BCE=
∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，
在Rt△BCE 中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=
BC=2，BE=
CE=2
，
在Rt△ABE 中，AB=6，BE=2
，根据勾股定理得，AE=
，
∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=
BE•AE-
BE•CE=
BE（AE-CE）=
×2
×（2
-2）=6
-2
∴燕尾四边形ABCD 的面积为2S△ABC=12
−4
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股
定理，三角形的面积公式，解本题的关键是构造出直角三角形．
13．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形
形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
淘宝：学思创想
(1)如图①，在规形
中，若
，
，
，则
______°；
(2)如图②，将
沿
，
翻折，使其顶点A，B 均落在点O 处，若
，则
______°；
(3)如图③，在规形
中，
、
的角平分线
、
交于点E，且
，试探究
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)20(2)54(3)
；理由见解析
【分析】（1）连接
，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出
、
，即可
得出
，根据
，
，
，即可得出答案；
（2）根据翻折得出
，
，根据三角形内角和得出
，在根据
，列出关于
的方程，解方程即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出
，
，根据
，
，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，连接
，并延长到点E，
则
、
，∴
，即
，
∵
，
，
，∴
，故答案为：20；
（2）解：∵将
沿
，
翻折，顶点A，B 均落在点O 处，
∴
，
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
．
（3）解：
；理由如下：如图3，
由（1）知
，∵
平分
，∴
，
∵
平分
，∴
，∵
，
，
淘宝：学思创想
∴
即
．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌
握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD 叫做
“飞镖模型”．
（1）求证：
；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE 与BF 交于
点D，若
，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）240°
【分析】（1）延长CD 交AB 于点E，根据三角形外角性质可证
，
，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方
法可证
，
，
和
是对顶角，可推出
的度数等于2 倍
的度数，计算得出答案．
【详解】（1）证明：延长CD 交AB 于点E，如图：
淘宝：学思创想
∵
是
的外角，∴
．
∵
是
的外角，∴
，
∴
．
（2）解：∵
和
是对顶角，∴
．
由（1）的结论可知
，
，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．
15．（2023 春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于
”．
在三角形纸片中，点D，E 分别在边
上，将
沿
折叠，点C 落在点
的位置．
(1)如图1，当点C 落在边
上时，若
，则
＝ ，可以发现
与
的数量关系
是 ；(2)如图2，当点C 落在
内部时，且
，
，求
的度数；(3)如图
3，当点C 落在
外部时，若设
的度数为x，
的度数为y，请求出
与x，y 之间的数
量关系．
【答案】(1)
，互余(2)
(3)
【分析】（1）根据平角定义求出
，再利用折叠性质即可求出
，
然后利用三角形内角和进行计算即可；（2）根据平角定义求出
，
，然后利用折叠性质可得
，然后利用三角形内角和进行计算即可；（3）根据平角定义求出
，再利用折叠性质即可求
出
，然后利用三角形内角和进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
，∴
，
由折叠得：
.
∴
，
∵
，∴
与
的数量关系是互余．
淘宝：学思创想
（2）解：∵
，
∴
，
由折叠得：
∴
，∴
的度数为
；
（3）解：如图：∵
，∴
，
由折叠得：
，
∴
，
∴
与x，y 之间的数量关系：
．
【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把
纸片沿
折叠，使点A 落在四边形
内部
点
的位置，通过计算我们知道：
.请你继续探索：
(1)如果把
纸片沿
折叠，使点A 落在四边形
的外部点
的位置，如图②，此时
与
之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形
沿时折叠，使点A、D 落在四边形BCFE 的内部
、
的位置，如图③，你能求出
、
、
与
之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
【答案】(1)
(2)
淘宝：学思创想
【分析】（1）连接
，由外角的性质得到
，做差即可得到答
案；
（2）由图形折叠的性质可知
，两式相加变形后即可得到答案．
【详解】（1）连接
，
∵
，
，∴
；
（2）由图形折叠的性质可知
，
两式相加得，
，即
，
∴
，即：
．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键．
17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于
且小于
的角称为优角，
如果两个角相加等于
，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若
、
互为组角，且
，则
________ ；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于
的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形
中，优角
与钝角
互为组角，试探索内角
、
、
与钝
角
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，
________；（用含
的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形
中，延长
、
交于点
，延长
、
交于
，
、
的平分线交于点
，
；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：
；
180
360
360
1
2
1
135
2
180
ABCD
BCD
BCD
A
B
D
BCD
A
B
C
D
E
F
ABCD
AD
BC
Q
AB
DC
P
APD
AQB
M
180
A
QCP
PM
QM
淘宝：学思创想
（5）如图④，
、
分别为
，
的2019 等分线（
）．它们的交点从
上到下依次为
，
，
，…，
．已知
，
，则
_______ ．（用
含
、
的代数式表示）
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ 与钝角∠PCQ；②
见解析；（5）
【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角
∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）两次运用镖形中的角的关系可得；
（4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ 与钝角∠PCQ 是一对互组的角；
②先由∠APD、∠AQB 的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令
∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ 中，有∠A+α+β=∠PMQ，在
镖形APCQ 中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而
∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由
，
知
，代入
得
，据此得出
i
BO
i
CO
ABO
ACO
1,2,3,
,2017,2018
i
1
O
2
O
3
O
2018
O
BOC
m
BAC
n
1000
BO
C
m
n
1000
1019
2019
2019
m
n
1000
1000
1000
1000
1019 (
)
2019
BOC
OBO
OCO
BO
C
ABO
ACO
BO
C
1000
1000
1000
1000 (
)
2019
BO
C
ABO
ACO
BAC
ABO
ACO
BAC
1000
2019 (
)
1000
ABO
ACO
BO
C
BAC
1000
1019 (
)
2019
BOC
ABO
ACO
BO
C
1000
1000
1019
2019 (
)
2019
1000
BOC
BO
C
BAC
BO
C
1000
1000
1019
1000
1019
(
)
2019
1000
2019
2019
BO
C
BOC
BAC
BOC
BAC
淘宝：学思创想
，代入可得答案．
【详解】解：（1）∵∠1、∠2 互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：
如图①，∵在四边形ABCD 中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α；
（4）①优角∠PCQ 与钝角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB 的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．
令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．∵在镖形APMQ 中，有∠A+α+β=∠PMQ，
在镖形APCQ 中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM；
（5）如图，由题意知
，
，
，
，
，
，
则
，代入
得：
，
解得：
，
，
，
．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，
1000
1000
1019
1000
1019
(
)
2019
1000
2019
2019
BO
C
BOC
BAC
BOC
BAC
1000
1000
2019
ABO
ABO
1000
1019
2019
OBO
ABO
1000
1000
2019
ACO
ACO
1000
1019
2019
OCO
ACO
1000
1000
1000
1000
1019 (
)
2019
BOC
OBO
OCO
BO
C
ABO
ACO
BO
C
1000
1000
1000
1000 (
)
2019
BO
C
ABO
ACO
BAC
ABO
ACO
BAC
1000
2019 (
)
1000
ABO
ACO
BO
C
BAC
1000
1019 (
)
2019
BOC
ABO
ACO
BO
C
1000
1000
1019
2019 (
)
2019
1000
BOC
BO
C
BAC
BO
C
1000
1000
1019
1000
1019
(
)
2019
1000
2019
2019
BO
C
BOC
BAC
BOC
BAC
BOC
m
BAC
n
1000
1000
1019
2019
2019
BO
C
m
n
淘宝：学思创想
学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键．
18．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB 平分
∠ABC，同时PD 平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将
点D 移至∠ABC 的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明．
【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.
【分析】（1）延长AD 交BC 于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外
角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线
的性质即可得到.
【详解】（1）如图1,延长AD 交BC 于E，
在△ABE 中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，
在△DEC 中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，
淘宝：学思创想
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB 平分∠ABC,PD 平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB 平分∠ABC,PD 平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
19．（2023 春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在
中，
，点
在
上，过点
的一条直线与直线
、
分别交于点
、
．(1)如图1，
，则
______°．
(2)如图2，猜想
、
、
之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，直接写出
、
、
之间的数量关系______．
【答案】(1)140(2)
，证明见解析(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出
，再根据
，
代入后得出
，即可得出答案；
（2）先求出
，再得出
，进而可得出答案；
（3）根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
，∴
，
∵
，∴
，
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∵
，∴
；
（2）
，
证明：在
中∵
，∴
，
在
中，∵
，∴
，
∴
，∵
，∴
；
（3）解：∵
，
，
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和180 度是解题的关键．
20．（23-24 八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知
为直角三角形，
，若沿图中虚
线剪去
，则
____；
（2）如图2，已知
中，
，剪去
后成四边形，则
____；
（3）如图3，当
时，将
折成如图3 形状，试求
的度数（用含α 的式子表示）．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）根据三角形的内角和为
，三角形的外角和定理，则
，
，
，即可；
（2）根据三角形的内角和为
，三角形的外角和定理，则
，
，
，即可；
（3）根据折叠的性质，则
，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则
，
，
，再根据等量代换即可．
【详解】解：（1）如图，
为直角三角形，
，∴
，
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∵
，
，∴
，∴
；
（2）如图，∵
，∴
，∵
，
，
∴
，∴
；
（3）如图，
，理由见下：
由题意得，
，∴
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，即
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，
熟练掌握三角形内角和定理，外角的性质是解题的关键．
