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专题 05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.对角互补模型（相似模型）...............................................................................................................2
..................................................................................................................................................48
模型1.对角互补模型（相似模型）
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
△
结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE OHF；②
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∼△
∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE OHF，∴ ，
∼△
∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB ACB，∴ ，∴
2）对角互补相似 2 ∼△
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG DCF；②CE＝CD·
. ∼△
证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG DCF，∴ ，
∼△
∵CF=OG，∴ ，∵在Rt COG中， ，∴CE＝CD·
△
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE COD；②CE＝CD· .
∼△
证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE COD，∴ ，∵在Rt OCF中， ，∴CE＝CD· .
3）对角互补相似3
∼△ △
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE DCF；②A、B、C、D四
点共圆。 ∼△
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE DCF；
∼△例1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在 中， ， ， ，D为
边上的一点．过点D作射线 ，分别交边 于点E、F．
(1)当D为 的中点时：①如图1，若 ， ， 与 的数量关系是________； 与
是否相等？________（填“是”或“否”）；
②将 绕点D旋转到图2位置时，①中 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
(2)改变点D的位置，当点D是 的三等分点时，直接写出 的值．
【答案】(1)① ，是；② ，理由见详解(2) 的值为1或4
【分析】（1）①证明四边形 是矩形，根据矩形的性质即可证明 ；证明
，根据相似三角形的性质可得 ，即可得出答案；
②过点 作 于点 ，作 于点 ，利用同角的余角相等得 ，则
，可知 ，由①知， ，即可证明 ；
（2）过点 作 于点 于点 ，根据 ，可得 ，再证明
，得出 ，分为①当 时，和②当 时，
分别计算即可；
【详解】（1）解：①∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ；
∴ ，∴ ，∵点 是 的中点，∴ ，则 ，故答案为： ，是；
② 仍然成立．如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，
则 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
∴ ， ，由①知， ， ，即 ．
（2）如图，过点 作 于点 于点 ， ，
∴四边形 是矩形，∴ ，由（1）②可得 ， ，
∵ ，∴ ， ，
①当 时，则 ，∴ ， ；
②当 时，则 ，∴ ， ；
综上， 的值为1或4．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌
握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践
【问题情境】在 中， ， ， ，在直角三角板 中， ，将
三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ，
分别与边 ， 交于点 ， ．
【猜想证明】如图 ，在三角板旋转过程中，当 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并说
明理由．
【问题解决】如图 ，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长．【答案】[猜想证明]四边形 是矩形，理由见解析；[问题解决] ．
【分析】[猜想证明]由三角形中位线定理可得 ，可证 ，即可求解；
[问题解决]由勾股定理可求 的长，由中点的性质可得 的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】[猜想证明]四边形 是矩形，理由如下：
如图 ， 点 是 的中点，点 是 的中点，
是 的中位线， ， ，
， ， ，
， 四边形 是矩形；
[问题解决]过点 作 于 ，如图 ：
， ， ， ，
点 是 的中点， ， ，
， ，
， ， ，
又 ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有
关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．例3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形 中， ，点 在对角线 上运
动（点 不与点A，点C重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ， ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与
边 交于点E， 与边 交于点F．
【特例感知】（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是______；
【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含k的代数式表示）；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接 ， ， ，求 的长度．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得 ， ， ，结合
正方形的性质可得 ，然后利用 证明 ，得出 ，
即可得出结论；（2）过 作 ，交 于M， ，交 于N，证明平行四边形
是菱形，得出 ，证明 ，得出 ，则可求出
，即可求解；（3）过 作 于H，设 ，利用含 的直角三角形的
性质求出 ，在 和 中，利用勾股定理可得出 ，
即可得出关于x的方程，然后求出x的值，最后利用（2）中的 求解即可．
【详解】解：（1）连接 ，∵ ，∴菱形 、 都是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，∴ 是 中点，∴ ， ， ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，故答案为： ；
（2）过 作 ，交 于M， ，交 于N，
∴四边形 是平行四边形，∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴平行四边形 是菱形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∵ ，∴ ；
（3）过 作 于H，
设 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，在 中， ，
∴ 解得 或3，∴ 或3，又 ， ，∴ 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含 的直角三角形的性质，
全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、直角三角形是解题的关
键．
例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点
O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时
针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明
△DOM∽△EON；
（3）设AC＝BC＝a，解Rt EON和斜△AOM，用含 的代数式分别表示 再利用比例的性质可
△
得答案．
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt AOD中， ，同理：OE＝ OB，
△
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt DOM和Rt EON中， ，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
△ △
（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝ OA，OE＝ OB，∴ ，
由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，
∴ ，∴ON＝k•OM．
（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝ a，∵OB＝k•OA，
∴OB＝ • a，OA＝ • a，∴OE＝ OB＝ a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝ ＝ OE＝ • a，
∵CE＝OD＝ OA＝ a，∴NC＝CE＋EN＝ a＋ • a，
由（2）知： ，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵ ，∴ ，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝ a，∴PN＝PE＋EN＝ a＋ • a，
设AD＝OD＝x，∴DM＝ ，由AD＋DM＝AC＋CM得，（ ＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝ （AC＋CM）＜ （AC＋ AC）＝ AC，∴k＞1
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；
本题的难点是条件 得出k＞1．
例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，
点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在 ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点
E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点
F，当AE＝4AF时，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 或 或
【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；
（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；
（3）证明△EBD∽△DCF，推出 ，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即
可．
【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，
∴BD＝CD＝AD BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD ∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在 BDE和 ADF中， ，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
△ △
（2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，
在 BDE和 ADF中， ，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，
△ △
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD ∠BAC＝60°，
∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2 ，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴ ，
∴ ，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m 或 （舍弃），
经检验，m 是分式方程的解．
当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由 EBD∽△DCF，可得 ，
△
∴ ，解得，m 或 （舍弃），经检验，m 是分式方程的解．
当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴ ，∴
解得，m 或 （舍弃），经检验，m 是分式方程的解．
综上所述，满足条件的AF的值为 或 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过
点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与
交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证：
．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到
∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；
（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合
∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到
∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．
【详解】解：（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ；
（2）证明：∵ ∴ ，即 ，
∵ ，∴ ；
（3）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关
系得到三角形相似．
例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，ΔABC是等边三角形， 点 是 边上的一点， 以
点 为顶点的 ， 射线 、 分别交 、 于点 、
(1)如图①，当点 为 中点时，判断 与 的数量关系，并证明；
(2)如图②，当 时，判断 与 的数量关系，并证明；
(3)若 ， ， 时，请直接写出 的长．【答案】（1）PD=PE，证明见解析；（2） ，证明见解析；（3） 或 ．
【分析】（1）PD=PE，过点P作PE∥AC交AB于点F，易证得△BPF为等边三角形，可得FP=BP，进而
证明△PDF≌△PEC，即可得出结论；（2）过点P作PE∥AC交AB于点F，同（1），易证得
△PDF∽△PEC，则有 ，由 即可证得结论；（3）在图②中连接AP，过点A作
AO⊥BC于O，利用等边三角形性质求得BO、AO，进而求得PO、BP、PC，由（2）中知△PDF∽△PEC,
由 即可解得CE的长，同理，如备用图，解得CE另一解．
【详解】（1）PD=PE 证明：过点P作PE∥AC交AB于点F，
∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，
∴△BPF为等边三角形，∴FP=BP，∵BP=CP，∴FP=CP
∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF≌△PEC，
∴PD=PE．
图① 图②
（2） 过点P作PE∥AC交AB于点F，
∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠BFP=∠A=60°，∠BPF=∠C=60°，∴△BPF为等边三
角形，
∵∠DPE+∠EPF=∠CPE+∠EPF=120°，∴∠DPE=∠CPE，又∵∠BFP=∠C=60°，∴△PDF∽△PEC，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ．（3）在图②中，连接AP，过点A作AO⊥BC于O，
∵∠B=60º，∴∠BAO=30º∵AB=8，∴BO=4，
在Rt APO中，AP=7， ∴BP=3，PC=5，
△
由（2）知△PDF∽△PEC，BP=BF=PF=3∴ ，又BD=2，∴ ，解得： ，
同理，如备用图，BP=5，PC=3，由 得： ，解得： ，故CE的长为
图②
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等
知识，解得的关键是认真审题，找出相关信息，通过作辅助线找到联系点，进而推理、计算．
1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt MPN中，
∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于△点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝_△_______．【答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得
AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即
可解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴ ，
， ，∵PQ//BC，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴ ，∴AP＝5x＝3．故答案为3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023年河南周口一模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ，
， 分别是 ， 边上的点，且 ， ， 与 交于点 ，则 的值为
．
【答案】 或1
【分析】先证 ，接着在 中利用勾股定理求出所需线段的长度，最后利用正切的定
义求解．【详解】解：在菱形 中， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
如图，过点 作 于点 .
在 中， ，
∴ ，
∴ .
设 ，则 ， .
在 中， ，即 ，
解得 ， .
当 时， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，∴ .
当 时， ，
，即 ，
解得 ，
∴ ，∴
综上可知， 的值为 或1.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正切的定义等．综合性较强，需要学生
具有较强的几何推理能力．
3．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（ ），正方形 的对角线相交于点 ，正方形
与正方形 的边长相等．在正方形 绕点 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积
（即四边形 的面积）始终等于正方形 面积的 ．
【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形 这一条件主要用到的信息是
，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（ ），
中， ， ， 是边 的中点．以 为顶点作 ， 交线段 于
点 ， 交线段 于点 ．请完成以下问题：
问题（1）：四边形 的面积是 面积的________．
问题（2）：猜想线段 之间的等量关系，并说明理由．
【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让 绕点 旋转， 交直线 于点
E， 交直线 于点 ，连接 ．若 ， ，请直接写出 的面积．【答案】（ ） ；（ ） ，理由见解析；延伸探究： 或 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由 ， ， 是边 的中点，得 ， ， ，
根据同角的余角相等得 ，证明 ，则 ，最后
即可；
（ ） ， ， 是边 的中点，得 ， ， ，
根据同角的余角相等得 ，证明 ，得 即可；
延伸探究：分两种情况讨论即可；
【详解】（ ）如图，连接 ，
∵ ， ， 是边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ） ，理由如下：
连接 ，
∵ ， ， 是边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【延伸探究】 如图，连接 ，过 作 于点 ，∴ ，
∵由（1）知在等腰直角 中，
∴ ，
∵ ， 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ 的面积为 ；
如图，同理 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ 的面积为 ，
综上可知： 的面积为 或 ．
4．（2023·广东佛山·二模）【课本再现】
(1)正方形 的对角线相交于点 ，正方形 与正方形 的边长相等，如图1摆放时，易得
重叠部分的面积与正方形 的面积的比值是 ；在正方形 绕点 旋转的过程中（如图2），上
述比值有没有变化？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，在正方形 中， 的顶点 在对角线 上，且 ，
，将 绕点 旋转，旋转过程中， 的两边分别与 边和 边交于点 ， ．
①在 的旋转过程中，试探究 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ，当点 与点 重合时，求 的长．
【答案】(1)没有变化．理由见解析
(2)① ．理由见解析；②【分析】(1)在 和 中,利用正方形的性质和已知可证出 ，再利用全等三角
形的面积相等即可得结论；
(2)①过点 作 于点 ， 于点 ，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，
求出 ，可得结论．
【详解】（1）没有变化
理由如下：在正方形 和正方形 中，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
，
，
正方形 绕点 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一
；
（2）如图3中，过点 作 于点 ， 于点
四边形 是正方形，
，
， ，
， 是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②如图4中，
，
， ， ，
， ，
，
，
，.
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题
5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=
．将三角 板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一
条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
(1)如图，当点F在射线CA上时，
①求证：PF＝PE．
②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
(2)连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
【答案】(1)①见解析，② （0≤x＜1）；
(2)当△CEF与△EGP相似时，①当点F在射线CA上时，EG＝2 ，②当点F在AC延长线上时，EG＝2
．
【分析】（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明 PMF≌△PNE即可
△证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变
量的取值范围即可；
（2）当 CEF与 EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长
线上时，△分别讨论△求出满足题意的EG长即可．
【详解】（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PM＝PN，
由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，
∴∠1+∠FPN＝90°，
∵∠2+∠FPN＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△PMF≌△PNE，
∴PF＝PE；
②∵CP＝ ，
∴CN＝CM＝1．
∵△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝1﹣x．
∴CE＝2﹣x．
∵CF∥PN，
∴△GCF∽△GNP，
∴ ．
∴ ．
∴ （0≤x＜1）．
（2）当 CEF与 EGP相似时，点F的位置有两种情况：
△ △①当点F在射线CA上时，
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，
∴∠G＝∠1．
∴FG＝FE．
∴CG＝CE．
在Rt EGP中，EG＝2CP＝2 ；
△
②当点F在AC延长线上时，
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，
∴∠5＝∠2，
易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4，
∴FC＝CP＝ ，
∴FM＝1+ ，
易证 PMF≌△PNE，
△
可得EN＝1+ ，
∵CF∥PN，
∴ ，∴GN＝ ﹣1．
∴EG＝2 ．
【点睛】本题综合性的考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思
想在几何题目中的运用，题目的难度很大，对学生的解题能力要求很高．
6．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动．
模型感知：
小明同学善于观察思考，如图 ，在 和 中， ，他发现当两个直角三角形共斜
边时，取斜边中点 ，根据斜边中线等于斜边的一半，易知 ，由圆的定义可知，
四点共圆，则有 ，其依据是______．
操作判断：
小明同学把等腰直角三角板 的直角顶点 绕着直角三角板 的斜边中点旋转，其中 ，直
线 与 相交于点 ，边 与 相交于点 ．
（ ）如图 ，当 时，线段 与 的数量关系是______．
深入探究：
（ ）将图 中的 旋转到图 所示的位置，请判断 与 的数量关系是否发生变化，并说明理由．
应用：
（ ）如图 ，已知 ，若等腰直角三角板 绕点 继续旋转，边 与 的交点 始终在线段
上，当点 为 的三等分点时，直接写出 的面积．
【答案】模型感知：同弧所对的圆周角相等；（1） ；（2）仍有 ，证明见解析；
（3）
【分析】模型感知：根据圆周角定理即可求解；
（ ）连接 ，可得四边形 是矩形，得到 ，由直角三角形的性质可得
，即得 ，又由 得到 ，即可得到 ；（ ） 与 的数量不会发生变化．如图 ，连接 ，由 ， ，可得
四点共圆，即得 ，进而可得 ，利用直角三角形的性质即可求证；
（ ）如图 ，过点 作 于 ，解直角三角形求出 ，进而得到 ，
，即得 ，利用勾股定理求得 ，再根据（
）的结论得到 ，再根据勾股定理得到 ，最后根据三角形的面积公式
即可求解．
【详解】解：模型感知：由题意可知，其依据是同弧所对的圆周角相等，
故答案为：同弧所对的圆周角相等；
（ ）如图 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵点 为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（ ） 与 的数量不会发生变化，理由如下：
如图 ，连接 ，∵ ， ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∵点 是 斜边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
即 ；
（ ）解：如图 ，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的三等分点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆，解直角三角形，勾
股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（23-24河南九年级期中）已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过
点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC△于点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①， ______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时， ______．
②若改变点D的位置，且 时，求 的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
【答案】(1) (2)① ；② ，解答过程见解析(3) 或
【分析】（1）证 、 是 的中位线，得 ， ，即可得出答案；
（2）①过点 作 于点 ， 于点 ，先证 ，得出 ，再根据（1）所得结论即可得出答案；②过点 作 于点 ， 于点 ，证 ，
，推出 ， ，同①得 ，则 ，即可得出结论；
（3）分 和 两种情况分别求解可得．
【详解】（1）解： ， ， ， ， ，
点 是 的中点， 、 是 的中位线，
， ， ，故答案为：3；
（2）①过点 作 于点 ， 于点 ，如图2所示：
则 ， 四边形 是矩形， ，即 ，
， ，即 ，
， ， ，
同（1）得： ， ，故答案为：3；
②过点 作 于点 ， 于点 ，如图3所示：
， 四边形 是矩形，
， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
与①同理得： ， ；
（3）如图 所示：在 中，由勾股定理得： ，
， 与 相似分两种情况：
① ，则 ，即 ，整理得： ，
， ；
② ，则 ，即 ，整理得： ，
， ；
综上所述，当 或 时， 与 相似；故答案为： 或 ．
【点睛】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、
矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
8．（2023年广东省广州市中考二模数学试题）在 中， ，点D为边
的中点．(1)尺规作图，过点D作 交边 于点E；(2)求 的长；
(3)点P为射线 上的一动点，点Q为边 上的一动点，且 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，(3) 或
【分析】（1）如图：以 为圆心，以任意长为半径画弧与 交于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，
以大于 为半径画弧，两弧交于Q，连接 交 于E即可；
（2）由勾股定理可得 ，则 ；然后再证 ，然后根据相似三角形的性
质即可解答；
（3）分点P在线段 上和线段 的延长线上两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1即为所求：
（2）解：如图1， ，
∴根据勾股定理得到， ，
∴ ．
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ．
（3）解：如图2：当点P在线段 上时，
∵ ，
∴ ，，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
如图2：当点P在线段 的延长线上时，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、作垂线、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
9．（2023·江苏镇江·统考二模）【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正
方形 的边长为6，E为对角线 上一动点（不与点A、C重合），连接 ，过E作 交
于点G，探索线段 、 有何数量关系？
（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作 、 的垂线 、
，证明 ，发现 和 的数量关系是_________．
【问题探究】该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题：
（2）如图2，过点G作 交AC于点F， 的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；
若变化，请说明理由；
【深度探究】如图3，连接 交 于点H．（3）图中 的面积S的取值范围为_________；
（4）若 ，则 的长是_________．【答案】（1）
（2） 的长度不会发生变化，这个不变值为
（3）
（4）
【详解】解：（1）过点E分别作 、 的垂线 、 ，
∵正方形 ， 为对角线，
∴直线 是平分 ，
∵ 于N， 于M，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） 的长度不会发生变化，理由如下：
过点B作 于H，∵正方形 ， 为对角线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度不会发生变化，这个不变值为 ；
（3）过点B作 于点O，由（2）知 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ；
（4）过点B作 于O，过点G作 交 于点F，如图，
∵正方形 ， 为对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知 ，由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．此题
属四边形综合题目，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
10．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点，
过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直
接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，
点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)① ，证明过程略；②当点F在射线 上时， ，当点F在 延
长线上时，
(3)
【分析】（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到 即
可解答；
（2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时， ，根据
，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结论可得 ，再根据
， ，即可得到 ；
②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨迹
长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利用中点公式求出 ，最后
利用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时， ，即 ，
是 的中点，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
根据（1）中的结论可得 ，
；
故线段 之间的数量关系为 ；
②解：当点F在射线 上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
同①，可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
，即线段 之间数量关系为 ；
当点F在 延长线上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，连接
同（1）中原理，可证明 ，
可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
即线段 之间数量关系为 ,
综上所述，当点F在射线 上时， ；当点F在 延长线上时，
；
（3）解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的
轨迹长度即为 的长度，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线段，交 于点
，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，是 的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的
性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
13．（2024·重庆·九年级校联考期中）如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．
(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：
PB+AF＝PF．
(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝2．当AG绕着
点G运动时，求CQ的最大值．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连CD，取BC中点E，连DE，根据 为30°的直角三角形，得出 为等边三角形，
证明出 ，即可求解；
（2）把 绕点C逆时针旋转120°，由 ，得 在同一直线上，再证
明出 即可求解；
（3）以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形 ，根据 ，及 ，证明出
∽ ，连结KG，得KG=2， 即可得出结论．
【详解】（1）解：连CD，取BC中点E，连DE，为30°的直角三角形，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：把 绕点C逆时针旋转120°，得 ，
，
在同一直线上，
，
，
，
，
，
（3）解：以BG为底边向上作底角为30°的等腰三角形 ，
，
又 ，∽ ，
，
，
连结KG，易得KG=2，
，
CQ的最大值为 ．
【点睛】本题考查了含 的直角三角形、等边三角形、三角形全等的判定及性质、图形的旋转、三角形
相似的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，灵活运用相应定理进行求解．
14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形
的边长为 ， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ．将 绕点
旋转， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点 （点 与点 ， 不重合），
问：在旋转过程中，四边形 的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探
究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图 ，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了 ，则
，那么 ，这样，就实现了四边形 的面
积向 面积的转化；
小航：如图 ，也是考虑到正方形对角线的特征，过点 分别作 于点 ， 于点 ，证明
，从而将四边形 的面积转化成了小正方形 的面积．
通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段
与 的和也是一个定值，为 ．（2）【类比探究】①如图2，矩形 中， ， ，点 是 边的中点， ．点
在 上，点 在 上，则四边形 的面积为 ； ；
②如图3，若将（1）中的“正方形 ”改为“ ，边长为 的菱形 ，其他条件不变，
当 ”时，四边形 的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由；
③如图4，在②的条件下，当点 在对角线 上运动，顶点 与 点的距离为 ，且 旋转至
时， 的长度为 ．
【答案】（1） ， ；（2）① ， ；②是定值，定值为 ；③ 或
【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；
（2）①过 作 于点 ，证四边形 是正方形，则 ，再证 ，
得 ， ，即可解决问题；②过 作 交 于点 ，证 是等边三角形和
是等边三角形，得 ， ，再证 ，得 ，则
，然后证 ，即可解决问题；③连接 交 于点 ，分两种情况， 、点
在 上时， 、点 在 上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可；
【详解】解：（1）浩浩： 四边形 是正方形，边长为 ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，， ；
小航： ， ， ，
， 四边形 是矩形， ， ， ，
四边形 是正方形，边长为 ， ， ，
， ， 是 的中位线， ，
同理： ， ， ，四边形 是正方形，
， ，
，
；故答案为： ， ；
（2）①如图2，过点 作 于点 ，
则 ， 四边形 是矩形， ，
四边形 是矩形， ， ， ，
，点 是 边的中点， ， ，
四边形 是正方形， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，故答案为： ， ；
②当 时，四边形 的面积还是一个定值，理由如下：
如图3，过点 作 交 于点 ，
四边形 是菱形，边长为 ， ，
， ， ， ， ，
， 是等边三角形， ， ，， ，
， ， ，
， 是等边三角形， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
即当 时，四边形 的面积还是一个定值 ；
③连接 交 于点 ，分两种情况
a、点 在 上时，如图4， 四边形 是菱形， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，过点 作 交 于点 ，
同②得： 都是等边三角形， ， ， ，
， ， ， ；
b、点 在 上时，如图4﹣1，过点 作 交 于点 ，
同理得： ， 是等边三角形， ，
， ；
综上所述， 的长为 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三
角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合
性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．（2023·山东泰安·二模）点P在四边形 的对角线 上，直角三角板 绕直角顶点P旋转，
其边 、 分别交 、 边于点M、N．
(1)【操作发现】如图①，若四边形 是正方形，当 时，可知四边形 是正方形，显然
．当 与 不垂直时，判断确定 、 之间的数量关系； ．（直接写出结论即可）
(2)【类比探究】如图②，若四边形 是矩形，试说明 ．
(3)【拓展应用】如图③，改变四边形 、 的形状，使四边形 内接于圆，其他条件不变，
且满足 ， ， 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过 作 于 ，作 于 ，则 ， ，证明
，推出 ，由 ， 可得， ，推出 ，
可得结论；
（2）先过 作 于 ，作 于 ，判定 ，再根据相似三角形的性质以及
平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
（3）先过 作 ，作 ，由圆内接四边形的性质可知 ，判定
，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可．
【详解】（1）解： ．
理由：过 作 于 ，作 于 ，则 ， ，∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如图，过 作 于 ，作 于 ，则 ， ，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过 作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵四边形 内接于圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ①，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ②，
由①②可得， ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其
他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
