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专题 06 相似三角形中的基本模型之半角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.半角模型...............................................................................................................................................2
....................................................................................................................................................8模型1.半角模型
半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的
条件集中，隐蔽的关系显现）。
常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图1 图2
证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且 ；
A D A D
45° 45°
N N
F F
M M
B E C B E C
图3 图4
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°， ，∴∠BAM+∠MAC=45°，
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴ 。
同理：△AND∽△AEC， ；即 。
结论：如图4，△AMN∽△AFE且 ．
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知： ，∴ 。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图1
条件：如图1，已知∠BAC＝120°， ；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；② ；③ （ ）。
证明：∵ ，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴ ，即： ，
同理：△CAE∽△CBA，∴ ，即： ，即：△ABD∽△CAE∽△CBA； ，∴ ，∵AD=AE=DE，∴
例1．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，正方形 的对角线相交于 ，点 ， 分别是边
， 上的动点（不与点 ， ， 重合）， ， 分别交 于 ， 两点，且 ，
则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确
的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD
上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
例3．（2024·吉林长春·九年级校考开学考试）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放
在一起，其中 ， ，点 为公共顶点， ．如图②，若 固定不动，
把 绕点 逆时针旋转，使 、 与边 的交点分别为 、 ，点 不与点 重合，点 不与
点 重合．(1)求证： ；(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出 的值；②若 ，请求出 的长．例4．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图， 中， ， ，点 为 边上一
点．
(1)如图1，若 ， ．①求证： ；②若 ，求 的值．
(2)如图2，点 为线段 上一点，且 ， ， ，求 的长．
例5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知在菱形 中， 是锐角， 是 边上的动
点，将射线 绕点 按逆时针方向旋转，交 于点 ．(1)如图 ，当 ， 时，证明： ；
(2)如图 ，连接 ，射线 与线段 的延长线交于点 ，射线 与线段 的延长线交于点 ，当
时， ，设 ， ，求 与 之间的函数关系式；
(3)在（ ）的条件下，若 ，当 为直角三角形时，求 的长；
例6．（2023秋·湖北·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线
AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．(1)∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
(2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则
；
(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证：BM2＋DN2＝MN2．
例7．（2023·河南平顶山·一模）（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上．连接
， ， ． ，将 绕点 顺时针旋转 ，点 与点 重合，得到 ．易证：
，从而可得：线段 ， 与 的关系：______．（请直接写出结论，不必说明理
由）
（2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ， ，
，若 ，求证： ．
（3）如图3，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，
已知 ， ，则 的长是______．1．（2024·广东九年级期中）如图，在 中， 是斜边 上两点，且 将
绕点 顺时针旋转90°后，得到 连接 下列结论：① ② ③ 的面积等于四边形 的面积；
④ ⑤ 其中正确的是( )
A．①②④ B．③④⑤ C．①③④ D．①③⑤
2．（2024·安徽·校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，
点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：
①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·山东·统考一模）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，
A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、
AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论：
（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2；
（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．其中正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）如图，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且
， 分别交 ， 于点 ， ，以点 为圆心， 长为半径画 ．下列结论不正确的
是( )
A． B． C． 与 相切 D．
5．（2023·广东深圳·九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF
分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN ＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；
③ ；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2023春·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，
且∠DAE=45°，将△ADC绕点 顺时针旋转90 后，得到△△AFB，连接EF，下列结论：
①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
7．（2023·广东汕头·校考三模）如图，在正方形 中， ， 为 中点， 为 上的一点，
且 ， ，连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，则以下结论；①
② ③ ④ ；中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形 边长为 ， 为 边上一点，将
以点 为中心按顺时针方向旋转得到 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， 若 ，则
．9．（2023上海市中考数学二模试题）已知：Rt ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE＝45°．
△
(1)如图1，当AC＝1， ，且点D与A重合时，求线段BE的长.
(2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2＝DE2.
(3)如图3，当AC＝3，BC＝4时，设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
10．（2023江苏九年级期末）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角
的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当 AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并△说明理由．
11．（2023江苏中考数学一模）（1）如图①，在正方形 中，E，F分别是 ， 边上的动点，且
，将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ，可以证明 ，进一步推出 ，
， 之间的数量关系为 ；（2）在图①中，连接 分别交 和 于P，Q两点，求证：
；（3）如图②，在菱形 中， ，点E，F分别是边 ， 上的动点
（不与端点重合），且 ，连接 分别与边 ， 交于M，N．当 时，猜想 ，
， 之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．12．（2024·广东广州·九年级校考期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝
∠CEF＝45°．(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证： ；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出
△CEF的面积．
13．（2023春·山东泰安·九年级统考期末）在 中， ， ．
(1)如图1，若点D关于直线 的对称点为点F，求证： ；
(2)如图2，在（1）的条件下，若 ，求证： ；(3)如图3，若 ，点E在 的延长线上，则等式 仍成立，请说明理由．
14．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）【问题发现与证明】
如图①，正方形 中， 分别在边 、 上，且 ，连接 ，这种模型属于“半角模
型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中 与 可以
看作绕点A旋转 的关系．这可以证明结论“ ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长 到点 ，使 ___________，连接 ；（2）求证： ．
【问题拓展与应用】（3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形 是平行四
边形，已知 米， 米， ．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道
、 、 ，要求点 在 边上，点 为 边的中点，且 ，现计划在 所在区域种
植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金．
15．（2024·江西吉安·统考模拟预测）【模型建立】(1)如图1，在正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，探究图中线段 ， ，
之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
．① ， ， 之间的数量关系为________；
②小亮发现这里 可以由 经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】(2)如图2，在四边形 中， ， 与 互补， ， 分别是边 ，
上的点，且 ，试问线段 ， ， 之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】(3)如图3，在矩形 中，点 在边 上， ， ， ，求 的长．
16．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形 中， ．
(1)如图1，若 ，点 ， 分别在 ， 上，连接 ．
①线段 ， ， 三者之间的数量关系是：________；
②当点 是 中点时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，点 ， 分别在 ， 上．若 ，请直接写出线段 的长；(3)如图3，若 ， ，连接 ，将 绕点 旋转，当 的一边与射线 重合时，另
一边与 的垂直平分线交于点 ，请直接写出线段 的长．
17．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】（1）如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 和对角
线 上， ，点G，H分别在边 和 上， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，在矩形 中， ，点E，F分别在边 和对角线 上，
，求 的长；
【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形 中， ，点E，F分别在边 和
对角线 上， ， ，试求 的长．
