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淘宝：学思创想
专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型
进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）
图1 图2 图3
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①
；②
。
条件：如图2，线段BO 平分∠ABC，线段OD 平分∠ADC； 结论：∠O=
（∠A+∠C）。
条件：如图3，线段AO 平分∠DAB，线段CO 平分∠BCD； 结论：∠O=
（∠D-∠B）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发
现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四
边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个
内角之和．
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（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+
∠
∠
∠
∠C=180°，又∵
在△ABD 中，∠1+ 2+
∠
∠ADB=180°，∴∠ADB= 3+ 4+
∠
∠
∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是
；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若
∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1 所示的“镖形”图中，请探究
与
、
、
的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，
平分
，
平分
，
，
，请直接写出
的度数．
例3．（2022 秋·广西八年级期中）如图，
，
的角平分线交于点
，若
，
，
则
的度数（ ）
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A．
B．
C．
D．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，
，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC 于点D. 求证：（1）
；（2）
.
例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究
与
、
、
之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺
放置在
上，使三角尺的两条直角边
、
恰好经过点
、
，若
，则
；②如图3，
、
的2 等分线（即角平分线）
、
相交于点
，若
，
，求
的度数；
拓展：（3）如图4，
，
分别是
、
的2020 等分线（
），它们的
交点从上到下依次为
、
、
、…、
．已知
，
，则
度．
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模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型
图1 图2
1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A+∠O= 1+ 2
∠
∠；
2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，
，
，
分别是四边形
的外角，判定下列大小关
系：①
；②
；③
；④
．
其中正确的是 ．（填序号）
例2．（2023 春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角
内部有一点D，在其两边
和
上各取任
意一点E，F，连接
．求证：
．
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小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接
并延长至点M，
，
（ 依据 ）
，
又∵
，
，
∴
．
证明：
∵
，
（量角器测量所得），
∴
，
（计算所得）．
∴
（等量代
换）．
任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变
的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D 在
的内部任意移动100 次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D 在锐角
外部，
与
相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成
立，请说明理由；若不成立，请探索
之间的关系．
例3．（2022 秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于
如何证明这个定理呢？我们知道，平角是
，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角
中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】
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已知：
如图①，求证：
．
（2）【定理推论】如图②，在
中，有
，点D 是
延长线上一点，由平角的定
义可得
，所以
_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E 分别是
的边
延长线上一点．
（3）若
，
，则
_______．（4）若
，则
_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E 分别是四边形
的边
延长线上一点．
（5）若
，
，则
_________．
（6）分别作
和
的平分线
，如图⑤，若
，则
和
的关系为
__________．
（7）分别作
和
的平分线，交于点O，如图⑥，求出
，
和
的数量关系，说明理由．
模型3、角内翻模型
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图1 图2
条件：如图1 ，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 内部时，结论：
2∠C=∠1+∠2；
条件：如图2，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023 春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，
中，
，将
沿
翻折后，点
A 落在
边上的点
处，如果
，那么
的度数为 ．
例2．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在
中，
，将
沿直线m 翻折，点B
落在点D 的位置，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，
中，
，
，
．点
是
边上的定点，点
在
边上运动，沿
折叠
，折叠后点
落在点
处．下面我们来研究折叠
后的
有一边与原三角形
的一边平行时
的值．
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(1)首先我们来研究边
．因为
和
的
、
相交，所以只有一种可能的情况（如图2），
，此时
．
(2)其次，我们来研究边
．因为点
在
上，所以
可能与
的边
、
边分别平行．
当
时（如下图），则
．
当
时（如下图），则
．
(3)最后，我们来研究边
．因为点
在
上，所以
可能与
的边
、
边分别平行．
当
时，
．当
时，
．
例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将
沿
折叠，使点 A 落在
的内
部的点 M 处，当
，
时，求
的度数；
（2）如图，将
沿
折叠，使点 A 落在
的外部的点 M 处．求图中
，
，
之间的数量关系；（3）如图 ，将
、
一起沿
折叠，使点 A、点B 的对应点 M、N 分别
落在射线
的左右两侧，
，
，
、
的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
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课后专项训练
1．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，
中，
，将
沿
折叠，使得点B 落在
边上的点F 处，若
且
，则
的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部
时，则∠A 与∠1 和∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（
）
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A．2∠A＝∠1
2
∠
﹣
B．3∠A＝2（∠1
2
﹣∠） C．3∠A＝2 1
2
∠
∠
﹣
D．∠A＝∠1
2
﹣∠
3．（2023 秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将
沿
翻折交
于点
，又将
沿
翻折，
点
落在
上的
处，其中
，
，则原三角形中
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东八年级课时练习）如图，在
中，
，将
沿直线m 翻折，点B 落在点D
的位置，则
．
5．（2023·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E 在同一平面内，连接
，若
，则
．
6．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
是
边上的高，点E，F 分别是
，
边上的点，连接
，将
沿着
翻折，使点A 与
边上的点G 重合，若
，
，则
的度数为 ．
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7．（2023 春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，
中，
，将
沿
翻折后，点A
落在
边上的点
处，如果
，那么
的度数为 ．
8．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，若
≌
，且
，
，则
．
9．（2023 春·四川·七年级统考期末）在四边形
中，
，
．
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(1)如图1，若
，则
__________度；
(2)如图2，作
的平分线
交
与点E，若
，求
的度数；
(3)如图3，作
和
的平分线交于点E，求
的度数．
10．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018 十三中开学考）已知，在
中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O，则∠BOC=
；
（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O1，O2，则
；
（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O1，O2，…，
（内部有
个点），则
；
（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O1，O2，…，
，若
，求n 的值．
11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四
边形（如图1）．
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（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）
；
①
②
③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形
性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB=AD=6，
BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）．
12．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD 叫做
“飞镖模型”．
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（1）求证：
；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE 与BF 交于
点D，若
，求
的度数．
13．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D，则
．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“
”
这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:
（1）直接应用：①如图2，
．②如图3，
的2 等分
线（即角平分线）
交于点F，已知
，则
③如图4，
分别为
的2019 等分线
．它们的交点从上到下依
次为
．已知
，则
度
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14．（2022 秋·浙江·八年级期末）如图（1）
是一个三角形的纸片，点D、E 分别是
边上的两
点，
研究（1）：如果沿直线
折叠，写出
与
的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2 的形状，猜想
和
的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3 的形状，猜想
和
的关系，并说明理由．
15．（2022 秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）已知，在四边形ABCD 中，
．
（1）求证：
．
（2）如图1，若DE 平分
，BF 平分
的外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE 分别平分
，
的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．
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16．（2023 春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线
两侧，反射角等于入射角．如图1，
为一镜面,
为入射光线，入射点为点O，
为法线（过入射点
O 且垂直于镜面
的直线），
为反射光线,此时反射角
等于入射角
，由此可知
等
于
．
（1）两平面镜
、
相交于点O，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．
①如图2，当
为多少度时，光线
？请说明理由．
②如图3，若两条光线
、
所在的直线相交于点E，延长
发现
和
分别为
一个内角
和一个外角的平分线，则
与
之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）
（2）三个平面镜
、
、
相交于点M、N，一束光线从点A 出发,经过平面镜三次反射后，恰好经
过点E，请直接写出
、
、
与
之间满足的等量关系．
17．（2023·江西新余·八年级统考阶段练习）已知，P 为第四象限一动点，Q 为x 轴负半轴上一动点，R 在
下方且为y 轴负半轴上一动点．
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(1)如图①，若
，
，
，求
；(2)如图②，若
、
分别平分
，
P、Q、R 在运动过程中，
是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在．请
说明理由；(3)如图③，若将R 点改为y 轴正半轴上一动点，且在P、Q 及（2）中的条件不变的前提下，
又有何数量关系？
18．（2023·山东·八年级假期作业）模型规律：如图1，延长
交
于点D，则
．因为凹四边形
形似箭头，其四角具有“
”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
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模型应用：（1）直接应用：①如图2，
，则
__________ ；
②如图3，
__________ ；
（2）拓展应用：①如图4，
、
的2 等分线（即角平分线）
、
交于点
，已知
，
，则
__________ ；
②如图5，
、
分别为
、
的10 等分线
．它们的交点从上到下依次为
、
、
、…、
．已知
，
，则
__________ ；
③如图6，
、
的角平分线
、
交于点D，已知
，则
__________ ；
④如图7，
、
的角平分线
、
交于点D，则
、
、
之间的数量关系为
__________．
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19．（2023 春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板
放置在直角三角板
上，使三角板
的两条直角边DE、
分别
经过点
、
，且
，已知
，则
；
②如图2，若直角三角板
不动，改变等腰直角三角板
的位置，使三角板
的两条直角边
、
仍然分别经过点
、
，那么
；
（2）猜想证明：如图3，
与
、
、
之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4，
平分
，
平分
，
若
，
，求
度数．②如图5，
，
的
等分线相交于点
，若
，
，则
的度数为 ．
20．（2023·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形
中，
，
，
．直接写出
与
，
，
之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算
的度数．
（3）如图③，在
中，设
，
和
的平分线
，
交于点O，过B 作
的平行
线
交
的延长线于点
，试用含
的代数式表示
的度数．
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21．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在
中，
，直线
分别交
的边
、
和
的延长线于点D、E、F．(1)若
，则
．(2)
、
、
有什么数
量关系？请说明理由．
22．（2023·江苏·八年级专题练习）Rt△ABC 中，∠C＝90°，点D，E 分别是边AC，BC 上的点，点P 是一
动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
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(1)若点P 在线段AB 上，如图1 所示，且∠α＝50°，则∠1+ 2
∠＝ °；
(2)若点P 在边AB 上运动，如图2 所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为 ；
(3)如图3，若点P 在斜边BA 的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2 之间的关系式，并说明理由．
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