一次函数与几何压轴汇编（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1：一函数中面积问题】
【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】
【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】
【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】
【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】
【题型7：一次函数与将军饮马问题】
【题型8：一次函数中角度问题】
【
题
型
1
一
函
数
中
面
积
问
题
】
1．如图，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 6分别与x 轴、y 轴交于点E，F，已知点E 的坐标为( ―8,0)，点A
的坐标为( ―6,0)．
(1)求k 的值；
(2)若点𝑃(𝑥,𝑦)是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P 运动到什么位置
时，△𝑂𝑃𝐴的面积为
27
8 ？请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵:𝑦1 =
1
2𝑥+ 1与直线𝐶𝐷:𝑦2 = 𝑚𝑥+ 𝑛交于点𝐴(4,𝑎)，
直线𝐶𝐷交𝑦轴于点𝐷(0,9)．
(1)求出𝑎的值；
(2)求直线𝐶𝐷的解析式；
(3)若点𝑃在𝑥轴上，当△𝐴𝐵𝑃的面积为6时，求点𝑃的坐标．
3．如图，一次函数𝑦= ―3𝑥+ 𝑏的图象与𝑥轴交于点𝐴( ―1,0)，与𝑦轴交于点𝐵，点𝐶(3,0)，
点𝑀是线段𝐴𝐶上的任意一点，过点𝑀作直线𝑙∥𝑦轴，直线𝑙交直线𝐴𝐵于点𝑃，交直线𝐵𝐶于
点𝑄．
(1)求直线𝐵𝐶的函数表达式；
(2)当𝑃𝑄= 2时，求△𝑃𝑄𝐶的面积．
4．如图(1)，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点𝐵
与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知𝐵𝐶= 4，𝐴𝐵= 3．
(1)求直线𝐴𝐶的解析式；
(2)将长方形纸板的一个直角沿𝐴𝐸折叠，使𝐵点恰好落在线段𝐴𝐶上的𝐵′处，折痕𝐴𝐸交𝐵𝐶
边于点𝐸（图(2)），求点𝐸坐标；
(3)在(2)的条件下，直线𝐴𝐶上是否存在一点𝑃，使得𝑆△𝐴𝐷𝑃= 𝑆△𝐴𝐵𝐸？若存在，请直接写
出点𝑃的坐标，若不存在，请简要说明理由．
【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】
1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵:𝑦= 𝑘𝑥+ 2与𝑥轴交于点𝐴( ―1,0)，与𝑦轴交于
点𝐵(0,2)．
(1)求直线𝐴𝐵的表达式：
(2)若直线𝐴𝐶⊥𝐴𝐵交𝑦轴负半轴于点𝐶，求△𝐴𝐵𝐶的面积：
(3)在𝑦轴负半轴上是否存在点𝑃，使以𝐴,𝐵,𝑃三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请直接写出点𝑃的坐标：若不存在，请说明理由．
2．如图，直线𝑦= ―
3
4𝑥+ 15与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，𝐷，𝐸分别是线段𝐴𝐵，𝑂𝐴上的
点．
(1)若𝐵𝐷= 5．
①求𝐴𝐷的长．
②若△𝑂𝐷𝐸是等腰三角形，求点𝐸的坐标．
(2)连接𝐵𝐸，若𝐵𝐷= 𝐴𝐸，当𝑂𝐷+ 𝐵𝐸最小时，求点𝐸的坐标．
3．如图，直线𝑙1的解析式为𝑦= ―𝑥+ 2，𝑙1与𝑥轴交于点𝐵，直线𝑙2经过点𝐷(0,5)，与直线𝑙1
交于点𝐶( ― 1,𝑚)，且与𝑥轴交于点𝐴；
(1)求点𝐶的坐标及直线𝑙2的解析式；
(2)连接𝐵𝐷，试求△𝐵𝐶𝐷的面积．
(3)若点𝑃是直线𝑦= ―𝑥+ 2上的一点，当△𝐵𝑂𝑃为等腰三角形时，求点𝑃的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= 𝑥+ 2与𝑥轴、𝑦轴分别交𝐴、𝐵两点，与直线
𝑦= ―
1
2𝑥+ 𝑏相交于点𝐶(2, 𝑚)，若直线𝑦= ―
1
2𝑥+ 𝑏与𝑥轴相交于点𝐷．动点𝑃从点𝐷开始，
以每秒1 个单位的速度向𝑥轴负方向运动，设点𝑃的运动时间为𝑡秒．
(1)求𝑚和𝑏的值；
(2)在点𝑃的运动过程中，△𝐴𝐶𝑃的面积为𝑆，求𝑆与𝑡之间的函数关系式，并写出自变量𝑡的
取值范围；
(3)是否存在𝑡的值，使△𝐴𝐶𝑃为等腰三角形？若存在，直接写出𝑡的值；若不存在，请说
明理由．
5．如图，正比例函数𝑦= 2𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象交于点𝐴(𝑚,4)，一次函数
图象与𝑦轴的交点为𝐶(0,2)，与𝑥轴的交点为𝐷．
(1)求一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的表达式；
(2)一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象上是否存在点𝑃，使得𝑆△𝑂𝐷𝑃= 3，若存在，求出点𝑃的坐
标；若不存在，说明理由；
(3)如果在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象存在点𝑄，使△𝑂𝐶𝑄是以𝐶𝑄为腰的等腰三角形，请
求出点𝑄的坐标．
【题型
3
一次函数中直角三角形的存在性问题】
1．如图，直线𝑙1：𝑦= 𝑥+ 3与过点𝐴(3,0)的直线𝑙2交于点𝐶(1,𝑚)，与𝑥轴交于点𝐵．
(1)求直线𝑙2的函数表达式；
(2)点𝑀在直线𝑙1上，且在点𝐶右侧，𝑀𝑁∥𝑦轴交直线𝑙2于点𝑁，若𝑀𝑁= 𝐴𝐵，求点𝑀的坐
标．
(3)在𝑥轴上是否存在点𝐷，使得△𝐴𝐶𝐷是直角三角形？若存在，求出点𝐷的坐标；若不
存在，请说明理由．
2．已知直线𝑙1经过点(5,6)，交x 轴于点𝐴( ―3,0)，直线𝑙2:𝑦= 3𝑥交直线𝑙1于点B．
(1)求直线𝑙1的解析式和点B 的坐标．
(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积．
(3)在x 轴上是否存在点P，使得△𝑃𝐴𝐵是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
3．已知函数𝑦= 𝑥+ 1的图象与y 轴交于点A，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐵(0, ― 1)，
与 x 轴以及𝑦= 𝑥+ 1的图象分别交于点C，D，且点D 的坐标为(1,𝑛)．
(1)求k，b，n 的值．
(2)求四边形𝐴𝑂𝐶𝐷的面积．
(3)在x 轴上是否存在点P，使得以点P，C，D 为顶点的三角形是直角三角形?若存在，
请求出点P 的坐标；若不存在，请说出理由．
4．如图， 直线𝐴𝐵交𝑥轴于点𝐴( ―4,0)，交𝑦轴于点𝐵(0,2)，
(1)求直线 𝐴𝐵的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点𝑃，使得 △𝐴𝐵𝑃是直角三角形? 若存在，求出点𝑃的坐标；
若不存在，请说明理由．
5．如图，直线𝑙1:𝑦=
1
2𝑥+ 2与𝑦轴交于点A，直线𝑙2与𝑥轴交于点𝐵(1,0)，与𝑦轴交于点𝐶，与
直线𝑙1交于点𝐷(2,𝑛).
(1)求直线𝑙2的函数关系式；
(2)连接𝐴𝐵，求△𝐴𝐵𝐷的面积；
(3)若点𝑃在𝑦轴上，且△𝐴𝐷𝑃是直角三角形，请求出所有符合条件的点𝑃的坐标．
6．如图，直线𝑦= 2𝑥+ 4与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点C 是OB 的中点．
(1)求点C 的坐标：
(2)在x 轴上找一点D，使得𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，求点D 的坐标；
(3)在x 轴上是否存在一点P，使得△𝐴𝐵𝑃是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
7．如图，直线𝑙1:𝑦=
1
2𝑥+ 2与y 轴交于点A，直线𝑙2与x 轴交于点B，与y 轴交于点
𝐶(0, ― 3)，与直线𝑙1交于点𝐷(2,𝑛)．
(1)求直线𝑙2的函数解析式；
(2)求△𝐴𝐵𝐷的面积；
(3)在y 轴上有一点P，且△𝐴𝐷𝑃是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐
标．
【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 𝑙1:𝑦=
1
2𝑥+ 𝑏过点𝐴( ―2,0)．若直线 𝑙2:𝑦= 𝑘𝑥+ 4与
x 轴、y 轴分别交于点B、D，且与直线𝑙1交于点C，点C 的横坐标为2．
(1)求直线𝑙2的表达式；
(2)直线 𝑙2上是否存在点M，使△𝐴𝐵𝑀为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条
件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知一次函数𝑦= ―𝑥+ 2的图象与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵．直线𝐴𝐵上有一
点𝐶，点𝐶在第二象限，连接𝑂𝐶，以𝑂𝐶为直角边，点𝑂为直角顶点，在直线𝐴𝐵下方作等
腰直角三角形𝐶𝑂𝐷，连接𝐵𝐷．
(1)求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
(2)当𝐵𝐷= 2𝐵𝐶时，在𝑥轴上有一点𝑃，若△𝐶𝑂𝑃是等腰三角形，直接写出所有𝑃点的坐
标．
(3)若点𝐵是𝐴𝐶的三等分点，求点𝐷的坐标．
3．已知，一次函数𝑦= ―
3
4𝑥+ 6与x 轴、y 轴分别交于点A、点B，与直线𝑦=
5
4𝑥相交于点
C，过点B 作x 轴的平行线l，点P 是直线l 上的一个动点．
(1)若𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝑃，求点P 的坐标．
(2)若点E 是直线𝑦=
5
4𝑥上的一个动点，当△𝐴𝑃𝐸是以𝐴𝑃为直角边的等腰直角三角形时，
求点E 的坐标．
4．如图1，已知直线𝑙1:𝑦1 = ―
2
3𝑥+ 𝑎与坐标轴交于𝐴,𝐵两点，直线𝑙2:𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏与坐标轴交
于𝐶，𝐷两点，且𝑂𝐵= 3𝑂𝐶= 3𝑂𝐷= 6．
(1)分别求出两个一次函数的关系式；
(2)如图2，过点𝐵作平行于𝑦轴的直线𝑙3，点𝑁为直线𝑙3上一点，点𝑀为直线𝑙2上一点，问
能否构成以点𝐴,𝑀,𝑁为顶点，以𝐴𝑀为腰的等腰直角三角形？若能，请求出𝑀点的坐标；
若不能，请说明理由．
5．如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙1：𝑦= ―
1
2𝑥+ 3与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点
𝐵，直线𝑙2与𝑥轴交于点𝐶，与𝑦轴交于𝐷点，𝐴𝐶= 9，𝑂𝐷= 2𝑂𝐶．
(1)求直线𝑙2的解析式；
(2)连接𝐴𝐷，点Q 为直线𝐶𝐷上一动点，若有𝑆△𝑄𝐴𝐷= 5𝑆△𝑂𝐴𝐵，求点Q 的坐标；
(3)点𝑀为直线𝑙1上一点，点𝑁为𝑦轴上一点，若𝑀，𝑁，𝐶三点构成以𝑀𝑁为直角边的等腰
直角三角形，求点𝑀的坐标．
【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线𝐴𝐵与x 轴交于点𝐴( ―2,0)，与y 轴交于点B，点𝐶(2,4)
在直线AB 上．
(1)求直线𝐴𝐵的解析式．
(2)P 为x 轴上一动点，连接𝑃𝐵,𝑃𝐶，当𝑃𝐵+ 𝑃𝐶最小时，求点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，当𝑃𝐵+ 𝑃𝐶最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形𝐴𝐵𝑃𝑄
是平行四边形?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在△𝐴𝑂𝐵中，点B 在x 轴上，直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏经过点𝐴(4,3)，且与x 轴交于点C，
直线𝑦= ―𝑥+ 4与x 轴相交于点B，与𝐴𝐶相交于点D．
(1)求直线𝐴𝐶的表达式；
(2)在y 轴上是否存在一点E，使△𝑂𝐷𝐸是等腰三角形，若存在，求出点E 坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)点P 在直线𝐴𝐶上，在直线𝐵𝐷上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q 为顶点的四边形
是平行四边形．若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，直线𝑙与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴(4,0)，𝐵(0,2)两点，点C 的坐标是
(2,4)．
(1)求直线𝑙的解析式；
(2)若点𝑃是直线𝑙上的一个动点，在x 轴上是否存在一点𝑄，使以𝑂、𝐶、𝑃、𝑄为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在请说明理由．
4．如图，直线𝑙1:𝑦1 = 𝑘𝑥+ 1与直线𝑙2:𝑦2 = ―
1
2𝑥+ 𝑏交于点𝐴1, 3
2 ，𝑙1与𝑥轴交于点𝐵，𝑙2与𝑥
轴交于点𝐶．
(1)求点B 和点C 的坐标；
(2)P 为直线𝑙1上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，与直线𝑙2交于点Q，设点P 的横坐
标为m，△𝑂𝑃𝑄的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式；
(3)点M 是y 轴上一点，点N 是直线𝑙1上一点，以点A、C、M、N 为顶点的四边形是平
行四边形，求出点N 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= 2𝑥+ 4与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，过点B
的直线交x 轴正半轴于点C，且△𝐴𝐵𝐶面积为10．
(1)求点C 的坐标及直线𝐵𝐶的解析式；
(2)若M 为线段𝐵𝐶上一点，且满足𝑆△𝐴𝑀𝐵= 𝑆△𝐴𝑂𝐵，求直线𝐴𝑀的解析式；
(3)若E 为直线𝐴𝑀上一个动点，在x 轴上是否存在点D，使得以点𝐷、𝐸、𝐵、𝐶为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】
1．已知：在平面直角坐标系中，直线𝑙1:𝑦= ―𝑥+ 2与x 轴，y 轴分别交于A、B 两点，直线
𝑙2经过点A，与y 轴交于点𝐶(0, ― 4)．
(1)求直线𝑙2的解析式；
(2)如图1，点P 为直线𝑙1一个动点，若△𝑃𝐴𝐶的面积等于12 时，请求出点P 的坐标；
(3)如图2，将△𝐴𝐵𝐶沿着x 轴平移，平移过程中的△𝐴𝐵𝐶记为△𝐴1𝐵1𝐶1，请问在平面
内是否存在点D，使得以𝐴1、𝐶1、C、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D 的
坐标；不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴、𝐵分别在x 轴、y 轴上，线段OA、OB 的长
（𝑂𝐴< 𝑂𝐵）是方程组𝑥― 1
2 𝑦= 0
3𝑥― 𝑦= 6
的解，点C 是直线𝑦= 2𝑥与直线𝐴𝐵的交点，点𝐷在
线段𝑂𝐶上，𝐶𝐷=
5．
(1)求点𝐶的坐标．
(2)求直线𝐴𝐷的解析式．
(3)当点P 在直线𝐴𝐷上运动时，在平面内是否存在点𝑄，使以𝑂、𝐴、𝑃、𝑄为顶点的四边
形是菱形？若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= ―
4
3𝑥+ 8的图象与𝑥轴和𝑦轴分别交于点A 和
点𝐵．
(1)点A 的坐标为___________，点𝐵的坐标为___________；
(2)若点𝑃在线段𝐴𝐵上，过点𝑃分别作𝑃𝐶⊥𝑂𝐴于点C，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵于点D，若四边形𝑃𝐶𝑂𝐷
是正方形，求点P 的坐标；
(3)点M 在x 轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N 为顶点的四边
形是菱形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系𝑥𝑜𝑦中，直线𝑚:𝑦= 𝑘𝑥― 6𝑘分别交x 轴，y 轴于A，𝐵0，3 两
点，直线𝑙:𝑦=
3
4𝑥+ 𝑏交𝑦轴于C 点，交直线m 于点𝑃𝑛，1 ．
(1)填空：𝑘= ，𝑏= ，𝑛= ；
(2)点D 是直线m 上一点，E 是直线l 上的一点，若𝐵𝐷与𝐶𝐸互相平分，求点E 的坐标及
四边形𝐵𝐶𝐷𝐸的面积；
(3)N 是平面直角坐标系内一点，直线l 上是否存在点M，使以点B，C，M，N 为顶点
的四边形是菱形，请求出符合条件的点𝑁的坐标．
5．如图，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴、𝐶分别在𝑥、𝑦轴的正半轴上，点𝐵的坐标为(6,8)，一次函数
𝑦=
2
3𝑥+ 𝑏的图像与边𝑂𝐶、𝐴𝐵分别交于点𝐷、𝐸，并且满足𝑂𝐷= 𝐵𝐸，点𝑀是线段𝐷𝐸上
的一个动点．
(1)求得𝑏= ____；
(2)连接𝑂𝑀，若△𝑂𝐷𝑀的面积与四边形𝑂𝐴𝐸𝑀的面积之比为1:5，求点𝑀的坐标；
(3)设点𝑁是𝑥轴上方平面内的一点，以𝐴、𝑀、𝐸、𝑁为顶点的四边形为菱形时，请求出
点𝑁的坐标．
6．如图，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点A、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(15,21)，一
次函数𝑦= ―
3
5𝑥+ 15的图象与边𝑂𝐶、𝐴𝐵分别交于D、E 两点，点M 是线段𝐷𝐸上的一
个动点．
(1)求证：𝑂𝐷= 𝐵𝐸；
(2)点M 坐标为(5,12)，设点P 是x 轴上一动点，点Q 是平面内的一点，以O、M、P、
Q 为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q 的坐标．
【
题
型
7
一
次
函
数
与
将
军
饮
马
问
题
】
1．如图，直线𝑙1与x 轴、y 轴分别交于点A、点𝐵(0,1)，直线𝑙2：𝑦= ―𝑥+ 4与x 轴、y 轴分
别交于点C、点D，直线𝑙1与𝑙2交于点𝐸(2,𝑚)．
(1)求m 的值和直线𝑙1的表达式；
(2)点G 是x 轴上的一个动点，连接𝐺𝐵，𝐺𝐸，求𝐺𝐵+ 𝐺𝐸的最小值和此时点G 的坐标；
(3)在直线𝐶𝐷上是否存在一点P，使得△𝐵𝐸𝑃的面积等于5，若存在，请求出点P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
2．将矩形纸片𝑂𝐴𝐵𝐶放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，
𝑂𝐴= 12，𝑂𝐶= 6．
(1)如图①，沿𝑂𝐵折叠矩形，点𝐶落在𝐶′处，𝐵𝐶′交𝑂𝐴于点𝐹，求点𝐹的坐标；
(2)如图②，点𝐷是𝑂𝐶中点，点𝐸在𝑂𝐴上，求𝐵𝐸+ 𝐷𝐸的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点𝐶落在边𝑂𝐴上的点为𝐶′(4,0)，折痕为𝑀𝑁，点𝑀在边𝐵𝐶上，
求直线𝐶′𝑀的函数解析式．
3．如图，过点𝐴(2,0)的直线𝑙1：𝑦= ―𝑥+ 2与直线𝑙2：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏交于点𝐶(𝑎,3)，其中
2 ⋅𝑂𝐵= 3 ⋅𝑂𝐴．
(1)求直线𝑙2对应的表达式；
(2)若点P 在直线𝑙2上运动，点Q 在y 轴上运动，求𝐴𝑄+ 𝑄𝑃的最小值．
4．如图，直线𝑦= ―
3
4𝑥+
9
2与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，点C、D 在直线𝑥= 2（直线
上所有点的横坐标均为2）上，且𝐶𝐷=
3
2．
(1)求A、B 两点坐标；
(2)四边形𝑂𝐴𝐶𝐷的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由．
【题型8 一次函数中角度问题】
1．【模型建立】
如图1，等腰Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐵= 𝐶𝐴，直线𝐸𝐷经过点C，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐸𝐷
于点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝐸𝐷于点E，求证：△𝐵𝐸𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．
【模型应用】
（1）如图2，在图1 中建立平面直角坐标系，使点E 与坐标原点O 重合，𝐸𝐷和𝐸𝐵所
在直线分别为x 轴、y 轴，若𝑂𝐵= 2，𝑂𝐶= 1，请解答下列问题：
①点C 的坐标是________，点A 的坐标是________；
②在x 轴上存在点M，使得以O，A，B，M 为顶点的四边形的面积为4，请直接写出
点M 的坐标：________；
（2）如图3，已知直线𝑙1：𝑦= 2𝑥+ 4与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，将直线𝑙1绕
点B 旋转45°至直线𝑙2，求直线𝑙2的函数表达式．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线𝑙1：𝑦= ―
3
4𝑥+ 𝑏与x 轴交于点A，与直线𝑙2：𝑦=
4
3𝑥
交于点𝐵(3,𝑚)．
(1)求m 的值；
(2)点D 是直线𝑙1上一动点．
①如图2，当点D 恰好在∠𝐴𝑂𝐵的角平分线上时，求直线𝑂𝐷的函数表达式；
②是否存在点D，使得∠𝐷𝑂𝐵= 45°，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明
理由．
3．新人教版八年级下册课本第30 页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1 验证了勾股定理，直
线𝑙过等腰直角△𝐴𝐵𝐶的直角顶点𝐶：过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑙于点𝐷，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑙于点𝐸，研
究图形，不难发现：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt △𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐶的坐标
为(0, ― 2)，𝐴点的坐标为(4,0)，求𝐵点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线𝑙1:𝑦= 2𝑥+ 4分别与𝑦轴，𝑥轴交于点𝐴,𝐵，将直
线𝑙1绕点𝐴顺时针旋转45°得到𝑙2，求𝑙2的函数表达式；
4．如图，直线𝑙1 ∶𝑦= 𝑥+ 𝑎与x 轴交于点𝐴( ― 3，0)，与y 轴交于点B，C 点在x 轴上A 点
的右边，𝐴𝐶= 7，经过点C 的直线𝑙2与正比例函数𝑦= ―
1
2𝑥的图象平行，直线𝑙1与直线
𝑙2相交于点D，点P 为直线𝑙1上一动点．
(1)求点D 坐标；
(2)若7𝑆△𝑃𝐶𝐷= 6𝑆△𝐴𝐶𝐷，请求出P 点的坐标；
(3)若∠𝑃𝐶𝐷= 45°，请直接写出点P 坐标．
5．综合与实践
如图，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，点C 在线段𝐴𝑂上，将△𝐴𝐵𝐶
沿𝐵𝐶所在直线翻折后，点A 恰好落在y 轴上的点D 处，已知𝑂𝐴= 4，𝑂𝐵= 3．
(1)求直线𝐴𝐵的解析式．
(2)求𝑆△𝐴𝐵𝐶:𝑆△𝑂𝐶𝐷的值．
(3)直线𝐶𝐷上是否存在点P 使得∠𝑃𝐵𝐶= 45°？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存
在，请说明理由．
6．如图，已知直线𝑙1：𝑦= ―2𝑥+ 3与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，过点A 的直线𝑙2与y
轴负半轴交于点C，且𝑂𝐴:𝑂𝐶= 1:3．
(1)求直线𝑙2的函数表达式；
(2)点D 在x 轴负半轴上，在直线𝑙2上是否存在点E，使以A，B，D，E 为顶点的四边形
为平行四边形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线𝑙3：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑘与y 轴正半轴交于点F，与直线𝑙2交于点P，若∠𝐹𝑃𝐴= 45°，求k
的值．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦= ―𝑥+ 4分别交𝑥轴、𝑦轴于点𝐵、𝐴，直线𝑦= 2𝑥+ 4
分别交𝑥轴、𝑦轴于点𝐶、𝐴．
(1)求线段𝐴𝐶的中点坐标；
(2)若点M 是直线𝐴𝐵上的一点，连接𝐶𝑀，若
𝑆△𝐴𝐶𝑀
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
3
4，求点M 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点𝑀在第一象限内，以𝑀为顶点作∠𝐶𝑀𝑃= 45°，射线𝑀𝑃交𝑥轴
于𝑃．求点𝑃的坐标．
8．定义：一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0且𝑏≠0）和一次函数𝑦= ―𝑏𝑥― 𝑘为“逆反函数”，如
𝑦= 3𝑥+ 2和𝑦= ―2𝑥― 3为“逆反函数”．如图1，一次函数𝑙1：𝑦= 𝑥― 2的图象分别交
𝑥轴、𝑦轴于点𝐴、𝐵．
(1)请写出一次函数𝑙1的“逆反函数”𝑙2的解析式______；点𝐶(𝑎,0)在𝑙2的函数图象上，则𝑎
的值是______．
(2)一次函数𝑙1图象上一点𝐷(𝑚,𝑛)又是它的“逆反函数”𝑙2图象上的点，
①求出𝐷点坐标；
②求出△𝐴𝐶𝐷的面积．
(3)如图2，过点𝐷作𝑦轴的垂线段𝐷𝐸，垂足为𝐸，𝑀为𝑦轴上的一点，且∠𝑀𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐴，
请直接写出直线𝐷𝑀的解析式．
9．如图，一次函数𝑦= ―2𝑥+ 4与一次函数𝑦= 𝑘𝑥―
2
3交于x 轴上的同一点A，且一次函数
𝑦= ―2𝑥+ 4交y 轴于点B，一次函数𝑦= 𝑘𝑥―
2
3交y 轴于点C．
(1)求k 的值；
(2)若点E 是x 轴上的一个动点，△𝐵𝐶𝐸是以𝐵𝐸为腰的等腰三角形，求点E 的坐标；
(3)若点P 是𝑦= 𝑘𝑥―
2
3上的一个动点，若∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐵𝐴𝑂，求点P 的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=
3𝑥+ 9分别交𝑥轴、𝑦轴于点𝐴、点𝐵，直线𝐵𝐶交
𝑥轴于点𝐶9 3
2 ,0 ．
(1)如图1，求直线𝐵𝐶的解析式；
(2)如图1，过点𝐴的直线交线段𝐵𝐶于点𝑀，且满足△𝐴𝐵𝑀与△𝐴𝐶𝑀的面积比为4:5，点
𝐸和点𝐹分别是直线𝐴𝑀和𝑥轴上的两个动点，当𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的值最小时，求出𝐶𝐸+ 𝐸𝐹的最
小值．
(3)如图2，已知点𝐷(0, ― 2)，在𝑥轴上是否存在点𝑃，使得∠𝑃𝐷𝑂= 2∠𝑃𝐵𝑂，若存在，
请直接写出点𝑃的坐标．
11．如图，直线𝑙1:𝑦=
1
2𝑥+ 2和直线𝑙2与𝑥轴分别相交于𝐴,𝐵两点，且两直线相交于点𝐶，直线
𝑙2与𝑦轴相交于点𝐷(0, ― 4)，𝑂𝐴= 2𝑂𝐵．
(1)求出直线𝑙2的函数表达式；
(2)在𝑦轴上有一点𝑃，使得𝐵𝑃+ 𝐶𝑃最小，求点𝑃的坐标；
(3)若𝐹是直线𝑙1上方且位于𝑦轴上一点，满足∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐶𝐴𝑂，请求出点𝐹的坐标，判断
△𝐵𝐶𝐹的形状并说明理由．
12．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，点E 在𝐵𝐶上，连接𝐷𝐸，𝐴𝐹⊥𝐷𝐸于点F．以点B 为原点，
𝐵𝐶所在直线为x 轴，𝐴𝐵所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数𝑦= 2𝑥― 6
的图象经过点D，E．
(1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D 的坐标；
(2)连接𝐵𝐹，判断𝐴𝐵与𝐵𝐹的数量关系，并给予证明；
(3)连接𝐴𝐶，点G 在直线𝐷𝐸上，若∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐺𝐴𝐵，求点G 的坐标．
