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专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、
风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1
模型2.风筝（鹰爪）模型...............................................................................................................................5
模型3.角内（外）翻模型...............................................................................................................................7
....................................................................................................................................................9
模型1.飞镖模型（燕尾）模型
飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖
（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。
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图1 图2 图3
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①
；②
。
证明：连接AC 并延长至点P；在△ABC 中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD 中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC 交AD 于点P；在△ABQ 中，
；在△CDQ 中，
。
即：
，故
。
拓展模型1：条件：如图2，BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC； 结论：∠O=
（∠A+∠C）。
证明：∵BO 平分∠ABC，OD 平分∠ADC；∴∠ABO=
∠ABC；∠ADO=
∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=
∠ABC+
∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=
（∠A+∠C）。
拓展模型2：条件：如图3，AO 平分∠DAB，CO 平分∠BCD； 结论：∠O=
（∠D-∠B）。
证明：根据飞镖模型：
=
+
+
，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，
∵AO 平分∠DAB，CO 平分∠BCD，∴∠DCO=
∠DCB，∠DAO=
∠DAB，
∴∠DCO-∠DAO=
（∠DCB-∠DAB）=
（∠D+∠B），
∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，
∴∠D-∠O=
（∠D+∠B）,即∠O=
（∠D-∠B）
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例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹
四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是
一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：
方法一：如图2，连结AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，
又：在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图3，连结CD 并延长至F，
∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，．．．．．．．．．．
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；
(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如
果
，
，那么
的度数是（ ）．
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A．
B．
C．
D．
例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究
与
、
、
之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺
放置在
上，使三角尺的两条直角边
、
恰好经过点
、
，若
，则
；②如图3，
、
的2 等分线（即角平分线）
、
相交于点
，若
，
，求
的度数；
拓展：（3）如图4，
，
分别是
、
的2020 等分线（
），它们的
交点从上到下依次为
、
、
、…、
．已知
，
，则
度．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，
，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC 于点D. 求证：（1）
；（2）
.
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模型2.风筝（鹰爪）模型
图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
证明：∵∠1 是三角形ABO 的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA；
∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
证明：∵∠1 是三角形ABO 的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA；
∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）
=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。
例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 中，
、
、
分别为
、
、
的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
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A．
B．
C．
D．
例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知
，在
的两边上分别取点B、
C，在
的内部取一点O，连接
、
．设
，
，探索
与
、
、
之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O 在
的边
上时，
，此时
，则
与
、
、
之间的数量关系是
．
【问题再探】（1）如图2，当点O 在
的内部时，请写出
与
、
、
之间的数量关系
并说明理由；（2）如图3，当点O 在
的外部时，
与
、
、
之间的数量关系是
________；
【拓展延伸】（1）如图4，
、
的外角平分线相交于点P．
①若
，
，则
________°；②若
且
，则
________°；
③直接写出
与
、
之间的数量关系；
（2）如图5，
的平分线与
的外角平分线相交于点Q，则
________（用
、
表示）．
例3．（23-24 七年级下·山东聊城·期末）如图，在
中，
，点
、
是
边
、
上
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的点，点
是平面内一动点．令
，
，
．
(1)若点
在线段
上，如图1 所示，
，求
的值；
(2)若点
在边
上运动，如图2 所示，则
、
、
之间的关系________；
(3)若点
运动到边
的延长线上，如图3 所示，则
、
、
之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点
运动到
外，如图4 所示，则请表示
、
、
之间的关系，并说明理由．
模型3.角内（外）翻模型
图3 图4
条件：如图3，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 内部时，
结论：2∠C=∠1+∠2；
证明：∵∠1 是三角形CC’E 的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C
。
条件：如图4，将三角形纸片ABC 沿EF 边折叠，当点C 落在四边形ABFE 外部时，
结论：2∠C=∠2-∠1。
证明：∵∠1 是三角形CC’E 的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）
=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
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例1．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张
的纸片，点
，
分别在边AB，
上，将
沿着DE折叠压平，
与
重合，若
，则
．
例2．（23-24 八年级下·山东德州·开学考试）如图，把
纸片沿
折叠，当点
落在四边形
的外面时，此时测得
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将
纸片沿
折叠，使点
落在四边形
内点
的位置．则
之间的数量关系为：_______；
（2）如图2，若将（1）中“点
落在四边形
内点
的位置”变为“点
落在四边形
外点
的位置”，则此时
之间的数量关系为：_________；
（3）如图3，将四边形纸片
（
，
与
不平行）沿
折叠成图3 的形状，若
，
，求
的度数；
（4）在图3 中作出
的平分线
，试判断射线
的位置关系，当点
在
边
上向点
移动时（不与点
重合），
的大小随之改变（其它条件不变），上述
，
的位置关系改变吗？为什么？
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1．（2024.山东七年级期中）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当A 落在四边形BCDE 内时，则∠A 与
∠1+∠2 之间有始终不变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在
中，
，
与
的角平分线交于
，
与
的角平分线交于点
，依此类推，
与
的角平分线交于点
，则
的度数
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4 满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
4．（2023 春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形
中，若去掉一个
的角后得到一个六边
形
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片
沿
折叠，使点
落在四边形
外点
的
位置，点
落在四边形
内点
的位置，若
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC 中，将边BC 沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A 的
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度数是 度．
7．（2023 春·山东潍坊·七年级统考期末）在
中，
，
，将
、
按照如图所示
折叠，若
，则
°
8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C 在直线BD 的上方），且
∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠A 不变，将
∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
9．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，
是
的平分线，
是
的平分线，
与
交
于
，若
，
，则
．
10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q 为三角形ABC 内两点，B，P，Q，C 构成凸四边形．
求证：
．
BE
ABD
CF
ACD
BE
CF
G
140
BDC
110
BGC
A
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Q
P
C
B
A
11．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形
形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
(1)如图①，在规形
中，若
，
，
，则
______°；
(2)如图②，将
沿
，
翻折，使其顶点A，B 均落在点O 处，若
，则
______°；
(3)如图③，在规形
中，
、
的角平分线
、
交于点E，且
，试探究
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四
边形（如图1）．
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（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
①
②
③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形
性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB=AD=6，
BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）．
13．（2023 春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形
形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
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(1)如图①，在规形
中，若
，
，
，则
______°；
(2)如图②，将
沿
，
翻折，使其顶点A，B 均落在点O 处，若
，则
______°；
(3)如图③，在规形
中，
、
的角平分线
、
交于点E，且
，试探究
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD 叫做
“飞镖模型”．
（1）求证：
；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE 与BF 交于
点D，若
，求
的度数．
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15．（2023 春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于
”．
在三角形纸片中，点D，E 分别在边
上，将
沿
折叠，点C 落在点
的位置．
(1)如图1，当点C 落在边
上时，若
，则
＝ ，可以发现
与
的数量关系
是 ；(2)如图2，当点C 落在
内部时，且
，
，求
的度数；(3)如图
3，当点C 落在
外部时，若设
的度数为x，
的度数为y，请求出
与x，y 之间的数
量关系．
16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把
纸片沿
折叠，使点A 落在四边形
内部
点
的位置，通过计算我们知道：
.请你继续探索：
(1)如果把
纸片沿
折叠，使点A 落在四边形
的外部点
的位置，如图②，此时
与
之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形
沿时折叠，使点A、D 落在四边形BCFE 的内部
、
的位置，如图③，你能求出
、
、
与
之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
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17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于
且小于
的角称为优角，
如果两个角相加等于
，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若
、
互为组角，且
，则
________ ；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于
的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形
中，优角
与钝角
互为组角，试探索内角
、
、
与钝
角
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，
________；（用含
的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形
中，延长
、
交于点
，延长
、
交于
，
、
的平分线交于点
，
；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：
；
（5）如图④，
、
分别为
，
的2019 等分线（
）．它们的交点从
上到下依次为
，
，
，…，
．已知
，
，则
_______ ．（用
含
、
的代数式表示）
18．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB 平分
∠ABC，同时PD 平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将
点D 移至∠ABC 的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明．
180
360
360
1
2
1
135
2
180
ABCD
BCD
BCD
A
B
D
BCD
A
B
C
D
E
F
ABCD
AD
BC
Q
AB
DC
P
APD
AQB
M
180
A
QCP
PM
QM
i
BO
i
CO
ABO
ACO
1,2,3,
,2017,2018
i
1
O
2
O
3
O
2018
O
BOC
m
BAC
n
1000
BO
C
m
n
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19．（2023 春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在
中，
，点
在
上，过点
的一条直线与直线
、
分别交于点
、
．(1)如图1，
，则
______°．
(2)如图2，猜想
、
、
之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，直接写出
、
、
之间的数量关系______．
20．（23-24 八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知
为直角三角形，
，若沿图中虚
线剪去
，则
____；
（2）如图2，已知
中，
，剪去
后成四边形，则
____；
（3）如图3，当
时，将
折成如图3 形状，试求
的度数（用含α 的式子表示）．
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