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专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字
模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.“8”字模型.............................................................................................................................................1
模型2.“A”字模型............................................................................................................................................ 4
模型3.三角板拼接模型...................................................................................................................................5
....................................................................................................................................................8
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模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8 字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC 相交于点O，连接AB、CD；
结论：①
；②
。
证明：在∆ABO 中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；在∆ABO 中，AB＜AO+BO；在∆COD 中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴
。
2）8 字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD；
结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则
，即2∠P=∠B+∠D
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例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB 和CD 相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正
确的是（ ）
A．∠B＝∠D
B．∠1＝∠A＋∠D
C．∠2＞∠D
D．∠C＝∠D
例2．（2023 春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求
的度数．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段
相交于点O，连接
，则我
们把形如这样的图形称为“8 字型”．(1)求证：
；(2)如图2，若
和
的平
分线
和
相交于点P，且与
分别相交于点
．①若
，求
的度数；
②若角平分线中角的关系改为“
”，试探究
与
之间的数量
关系．
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例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段
，
交于点
，连接
，
，判断
与
的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，
平分
，
为
上任意一点，在
，
上截取
，连接
，
．求证：
；
(3)如图3，在
中，
，
为角平分线
上异于端点的一动点，求证：
．
例5．（2023 春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题
(1)如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，则
，
，
，
四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若
，
的角平分线
，
交于点
，则
与
，
的数量关系为
______；
(3)如图3，
，
分别平分
，
，当
时，试求
的度数（提醒：解
决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果
，
，当
时，则
的度数为______．
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模型2.“A”字模型
如图，B、C 分别是∠DAE 两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC 中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE 中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（23-24 七年级下·福建泉州·期末）如图，在
中，
，若剪去
得到四边形
，则
．
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例3．（23-24 七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与
的边
，
分别相交于点
，
（都不与点
重合）.
(1)若
，①求
的度数；②如图2，直线
与边
，
相交得到
和
，直接写出
的度数.(2)如图3，
，
分别平分
和
，写出
和
的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形
中，点
，
分别是线段
、线段
上的点，
，
分别平分
和
，直接写出
与
，
的关系.
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
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图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、
60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023 春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中
，
，
，
，则
．
例2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A 落在
边上，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板
、
，其中
，
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，
．如图，将三角板
的顶点E 放在
上，移动三角板
，当点E 从点A 沿
向点B 移动的过程中，点E、C、D 始终保持在一条直线上．下列结论：①当
时，
；
②
逐渐变小；③若直线
与直线
交于点M，则
为定值；④若
的一边与
的某一边平行，则符合条件的点E 的位置有3 个．正确的有 ．（填序号）
例4．（23-24 七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线
上，两个直角顶点重合在一
起，交直线
于点C，其中
，
．
(1)如图2，将图1 中的三角板
绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中，
与
的数量关
系是___________；(2)将图1 中的三角板
绕点C 按逆时针方向旋转至图3 所示的位置，此时
在
的内部，
与
相交于点P，当
时，求
的度数；(3)将图1 中的三角板
绕点C 按逆时针方向旋转，当
时，
的度数为___________．（直接写出结果即可）
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1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在
中，
，若沿图中虚线剪去
，则
的度数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中
，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含
角的直角三角板的直角顶点在另一
个三角板的斜边上，若
，则
的度数是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，
的度数为（ ）
A．540°
B．500°
C．460°
D．420°
5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的结果为（ ）
A．90°
B．360°
C．180°
D．无法确定
6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若
，则
．
7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知
，
．
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8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式
叠放在一起，当
，且点E 在直线
的上方时，他发现若
，则三角板
有一条边与斜边
平行．
9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若
，则
．
10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2 与∠A 的关系是 ．
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11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在
中，
，
，
是
边上一点，连
接
，将
沿
翻折，使
点落在
边上的
点处，则
的度数为 度．
12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD 相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE 平分∠ABD 交CD 于F，CE 平分∠ACD 交AB 于G，求∠BEC 的度数；
(2) 若直线BM 平分∠ABD 交CD 于F，CM 平分∠DCH 交直线BF 于M，求∠BMC 的度数．
13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板
放置在
上（
点在
内），三角板
的两条直角边
、
恰好分别经过点
和点
．探究
与
是
否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若
，则
_____度，
_____度，
_____度；(2)类比探索：请探究
与
的关系；(3)类比延伸：如
图②，改变直角三角板
的位置，使
点在
外，三角板
的两条直角边
、
仍然分别经
过点
和点
，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．
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14．（2023 春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，
与
的角平分线交于点
．
(1)若
，
，求
的度数；(2)直接写出
，
，
的数量关系；(3)若
与
的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．
15．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板
与三角板
摆放在一起；如图
，其
中
，
，
．固定三角板
，将三角板
绕点
按顺时针方
向旋转，记旋转角
．
(1)在旋转过程中，当
为 度时，
；当
为 度时，
．
(2)当
时，连接
，利用图探究
值的大小变化情况，并说明理由．
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16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（
，
）放置在
上（点
在
内），如图①所示，三角尺的两边
、
恰好经过点
和点
，我们来研究
与
是否
存在某种数量关系．(1)特例探究：若
，则
________度，
________度．
(2)类比探究：
、
、
的关系是 ___________________．
(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点
在
外，三角尺的两边
、
仍恰好经过
点
和点
，探究
、
、
的关系(只要求直接写出结论)：____________________．
17．（2023 春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角
形”．例如，在图中，
△AOB 的内角
与
的内角
互为对顶角，则
与
为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：
．
(1)如图1，在“对顶三角形”
与
中，若
，则
；
(2)如图2，在
中，
、
分别平分
和
，若
，
比
大
，求
的度数．(3)如图3，
、
是
的角平分线，且
和
的平分线
和
相交于
点
，设
，直接写出
的度数（用含
的式子表示
）．
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18．（23-24 七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同
学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一
个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：如图1，
与
分别为
的两个外角，试探究
与
之间存在怎样的数量关系？
为什么？
解：数量关系：
．
理由：∵
与
分别为
的两个外角，
∴
．∴
．
∵三角形的内角和为
，∴
．
∴
．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
②初步应用：（1）如图2，在
纸片中剪去
，得到四边形
，
，则
；
（2）如图3，在
中，
分别平分外角
，则
与
有何数量关系？ ；
（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形
中，
分别平分外角
，
则
与
有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。
19．（2022 春·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传
统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC 中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2
（或∠1－∠2）与∠A 的数量关系．
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(1)如图①，若沿图中虚线DE 截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若沿图中虚线DE 将∠A 翻折，使点A 落在BC 上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A 落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C 的度数
(4)如图④，△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A 的度数．
20．（2023 春·江苏·七年级专题练习）【问题背景】
（1）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】（2）如图2， AP、CP 分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的
度数；
【问题探究】（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】（4） ①在图4 中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=
∠CAB，∠CDP=
∠CDB，试问∠P 与
∠C、∠B 之间的数量关系为： （用α、β 表示∠P）； ②在图5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的
外角∠BCE， 猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写出结论．
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