难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题（原卷版）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮知识梳理_难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题

难点与解题模型 09 三角形中七种常考方法求角度问题 题型一：方程法求角度问题 题型二：分类讨论法求角度问题 题型三：A字模型 题型四：8字模型 题型五：飞镖（燕尾）模型 题型六：三角形折叠模型 题型七：双角平分线模型 题型一：方程法求角度问题 方程法的解题步骤 第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等 第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数 第三步：用所设角度表示出其他角度 第四步：通过列方程求解 【中考母题学方法】 【典例1】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图 ，小明把一副三角板直角顶点 重叠在一起 如图 固定三角板 ，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，旋转时间为 秒，当 边与 边 重合时停止转动． 【解决问题】 (1)在旋转过程中，请填出 、 之间的数量关系______； (2)当运动时间为 秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；(3)当 、 中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线 是 的“优线”， 请直接写出所有满足条件的 值． 【中考模拟即学即练】 【变式1-1】（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线 所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线 在 的内部，且 ，则 是 的内半角，根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1， ，若 是 的内半角，则 ______， ______． (2)如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 至 ．若 是 的内半角，求 的值． (3)把一块含有 角的三角板 按图3方式放置，使 边与 边重合， 边与 边重合，如图 4，将三角板 绕顶点 以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为 秒，当射线 构成内半角时，请求出 的值． 【变式1-2】（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线 在 的内部，且 ，则 是 的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1， ，若 是 的内余角，则 ______； (2)如图2．已知 将 绕点 顺时针方向旋转一个角度 得到 ．同时将 绕 点 顺时针方向旋转一个角度 得到 ．若 是 的内余角，求 的值； (3)把一块含有 角的三角板 按图 方式放置，使 边与 边重合， 边与 边重合，如图4 将三角板 绕顶点 以 度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为 秒，在旋转一周的时间内，当射 线 构成内余角时，请求出 的值． 【变式1-3】（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边 ， 在直线 上， ．如图2，将三角板 绕点O顺时针旋转到 ，转速为每秒钟转动 ，当 旋转一周回到射线 上时停止转动，设转动时间为 秒． (1)当 与 重合时，直接写出的值； (2)①当 正好平分 时，在图1中画出此时 的位置，并求出t的值； ②在旋转过程中，作 的角平分线 ，当 时．直接写出t的值． 题型二：分类讨论法求角度问题 常考分类讨论的情形 1.若题中出现角度大小,但不明确角度边的位置,需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解: 2.若题中出现射线旋转,并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线,需分别讨论哪条射线是 角平分线的情况; 3.若题中出现射线三等分角,但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论. 【中考母题学方法】 【典例2】（22-23浙江）【问题提出】已知 与 有共同的始边 ，且满足 ， 若 ，求 的度数．【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题． 在图①中，当射线 在 的内部时，由题意易得 ； 在图②中，当射线 在 的外部时，由题意易得 ． 【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题 (1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为 ，2，1，请在数轴上标出线段 的中点D并写 出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段 的长，求线段 的长． (2)如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为垂角，例如： ， 则 和 互为垂角（本题中所有角都是指大于 且小于 的角）． ①若 ，求 的垂角； ②如果一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数． 【中考模拟即学即练】 【变式2-1】（24-25·江苏无锡）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所 成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则 是 的内半角． (1)如图①所示，已知 ， ， 是 的内半角，则 ________． (2)如图②，已知 ，将 绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至 ，当旋 转的角度 为何值时， 是 的内半角？ (3)已知 ，把一块含有 角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以 /秒的速度按顺时针方 向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线 始终在 的外部，射线 能否 构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【变式2-2】（23-24·广东广州）（1）如图，线段 ，C为 的中点，点P从点A出发，以 的速度沿线段 向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以 的速度沿线段 向左运动， 到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x （ ）s．（ⅰ） ________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出 所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边 、 与直线 上， ， ． （ⅰ） ________度． （ⅱ）如图，三角板 固定不动，将三角板 绕点O按顺时针方向旋转角 （即 ），在 转动过程中两个三角板一直处于直线 的上方． ①当 平分 ， ， 其中的两边组成的角时， ________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足 ？若存在，求此时的角 ；若不存在，请说明 理由． 【变式2-3】（24-25陕西西安）探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知 ， ，按如图1所示摆放，将 、 边重合在直线 上， 、 边在直线 的两侧：【问题发现】 （1）保持三角板 不动，将三角板 绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ① __________； ② __________． 【问题探究】 （2）若三角板 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板 按每分钟 的速度也绕点O 逆时针方向旋转， 旋转到射线 上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 （用含t的代 数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板 不动，将三角板 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线 平分 ， 射线 平分 ，求 的大小． 题型三：A 字模型模型结论： ． 【中考母题学方法】 【典例3】（2024·贵州·模拟预测）教材回顾 我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？ 性质证明 （1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过 程． 已知：在直角三角形 中， 求证： 性质运用 （2）如图2，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，求证： ． 拓展提升 （3）如图3，在 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点． ， 分别在 ， 上，且 ， ， 与 相交于 ， 与 相交于 求证：点 是 的中 点 【中考模拟即学即练】【变式3-1】如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点E，则 （ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ． 【变式3-3】如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）. (1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出 的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明 理由； (3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分 和 ，直接写出 与 ， 的关系.题型四：8 字模型 模型结论： 2∠P=∠B+∠D 【中考母题学方法】 【典例4】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在 中， 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ． 【发现结论】 结论1： ___________ ； 结论2：当图1中 时，如图2所示，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ， 交 的延长线于点 ．则 与 的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证： ； （2）在图2中连接 ， ，延长 交 于点 ，补全图形，求证： ．【中考模拟即学即练】 【变式4-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯 到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图 如图所示， ， 与地面平行， ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·山西·三模）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中 传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面 与底座 平行，等长的支架 交于它 们的中点E．液压杆 ．若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形 中， ， 的延长线交于点F．(1)求 的长； (2)如图2， 的角平分线交 于点P，点Q在 上； ①当 为等腰三角形时，求 的长； ②如图3，当点Q在线段 上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点M恰好落在 边上，试 求线段 的长． 题型五：飞镖（燕尾）模型 模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． ∠O= （∠A+∠C）。 ∠O= （∠D-∠B）。 【中考母题学方法】 【典例5】（2024·河南·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【中考模拟即学即练】 【变式5-1】如图， ， ， ， 的度数是 A． B． C． D． 【变式5-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹 四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是 一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【变式5-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角， 如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若1、2互为组角，且1135，则2________； 【理解运 用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝 角BCD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF ________；（用含的代数式表示） ABCD AD BC Q AB DC P APD AQB （4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、 M AQCP180 的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； PM QM ②直接运用（2）中的结论，试说明： ； BO CO ABO ACO i1,2,3,,2017,2018 （5）如图④， i、 i分别为 ， 的2019等分线（ ）．它们的交点从 上到下依次为 O 1， O 2 ， O 3，…， O 2018．已知 BOC m ， BAC n ，则 BO 1000 C  _______  ．（用含 m n 、 的代数式表示）题型六：三角形折叠模型 模型结论：2∠C=∠1+∠2； 2∠C=∠2-∠1。 【中考母题学方法】 【典例6-1】（2024·四川·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠 ，使 点A与点B重合，折痕 与 交于点D，与 交于点E，则 的长为 ． 【典例6-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，D是边 的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则 ．【典例6-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ，E是 中点，F是 上一点，沿着 折叠 ，若 ，则 ． 【中考模拟即学即练】 【变式6-1】（2024·湖南·二模）如图， 在四边形 内部，若 ， ， 则 （ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在 中，将 沿 折叠后，点D恰好落在 的延长线上的点E处，若 ， ，则 的周长为（ ）A．12 B．18 C．15 D．21 【变式6-3】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在 中，将点A与点B分别沿 和 折叠，使点 A，B都与点C重合，若 ，则 的度数为（） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置，则 与 之间的数量关系为 ，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点 落在四边形 的边 下方时，试猜想此时 与 ， 之间的数量关系，并 说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 边上的一点，沿 将四边形 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，且 ， ． ① 的度数为 ；②若 ， ，求点 到 的距离． 题型七：双角平分线模型 1.双内角平分线 模型结论： 2∠P=∠A+∠D。 2.双外角平分线 模型结论： ． 3.内角平分线+外角平分线 模型结论： ． 的度数是 ．【中考母题学方法】 【典例7-1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的三等分线，且 ， ，在 中， ， 分别是内角 ，外 角 的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若 ． 则 度． 【典例7-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射 线 、点 为射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ． 【典例7-3】（2024·辽宁锦州·二模）【模型建构】 如图1，点O在直线 上，射线 ， 位于直线 两侧，若 ，则称 ， 是关于直线 的对称角 当射线 ， 位于 同侧且 时，可以通过作对顶角构造出对称角，可以反向延长射线 ， 得到 （如图2），或者反向延长射线 ，则 （如图3）． 【模型应用】 （1）小明受到模型启发，运用两种方法构造出对称角解决了下面问题： 如图4，点C，D在 上，点E，F在直线 外，连接 ， ， ， ，若 ， ，求 的度数． 方法一：延长 至H，使 ，连接 ，方法二：延长 至H，使 ，连接 ， 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用“对称角”模型构造全等三角形或者按 照自己的解题思路解答． 如图5，在 中， ，点D是 的中点，点E，F分别在 ， 上， ， ，猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，在四边形 中， ， ， ， 相较于点E，且 ，若 ， ，求 的长． 【中考模拟即学即练】 【变式7-1】（2024·甘肃武威·一模）如图， 是 的外角， 平分 ， 平分 ， 且 相交于点D．若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·山东淄博·一模）如图，点 是 的内心，连接 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线 平行于β入射到 α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75°