文档内容
2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）
第 I 卷 选择题（共 40 分）
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1， 集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
2，在等比数列 中， ，公比 .若 ，则
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合
体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图
所示，则该几何体的俯视图为
正（主）视 侧（左）视
图 图
（ A （ B
）
）
（ C （ D
） ）
4，8名学
生和 2 位
老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为
（A） （B） （C） （D）
5，极坐标方程 表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
6， 为非零向量，“ ”是“函数 为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7，设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数 的图象上存在区域
D上的点，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第1页 | 共5页8，如图，正方体 的棱长为
2，动点E，F在棱 上，动点P，Q分别在
B
A
棱 上 ， 若 1 1
（ 大 于
D Q C
P
零），则四面体 的体积
（A） 与 都有关 B
A
（B） 与 有关，与 无关
（C）与 有关，与 无关
（D） 与 有关，与 无关
第 II 卷 （共 110 分）
二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______
10 ， 在 中 ， 若 ， 则
11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可
知 .若要从身高在
三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活
动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为
________.
12，如图， 的弦 的延长线交于点A，若
，则
13，已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐
近线方程为_______.
14，如图放置的边长为 1的正方形 沿x轴滚动，设
顶点 的轨迹方程是 ，则函数 的最小
正周期为_____； 在其两个相邻零点间的图象与 x
轴所围区域的面积为_______.
说明：“正方形 沿x轴滚动”包括沿 轴正方向和
沿 轴负方向滚动.沿 轴正方向滚动指的是先以顶点A为
中心顺时针旋转，当顶点 落在 轴上时，再以顶点B为
第2页 | 共5页中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 沿x轴负方向滚动.
三、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程。
15，（本小题共13分）
已知函数
（I） 求 的值；
（II） 求 的最大值和最小值.
16，（本小题共14分）
如图，正方形 和四边形 所在的平面互相垂直， ， ∥ ，
(1) 求证： ∥平面 ；
(2) 求证： 平面 ；
(3) 求二面角 的大小.
第3页 | 共5页17，（本小题共13分）
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 ，第二、第
三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，
记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
0 1 2 3
P a b
(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2) 求 的值；
(3) 求数学期望 .
18，（本小题共13分）
已知函数 .
(1) 当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 求 的单调区间.
第4页 | 共5页19，（本小题共14分）
在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动点，且直线
与 的斜率之积等于 .
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 设直线 和 分别与直线 交于点 ，问：是否存在点 使得 与
的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20，（本小题共13分）
已知集合 .对于，定义 与 的差
为：
Aa,a ,...,a ,Bb,b ,...,b S
1 2 n 1 2 n n
A与B之间的距离为 .
(1) 证明： ，有 ，且 ；
(2) 证明： ， 三个数中至少有一个是偶数；
设 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间距离的平均值为 .证明：
第5页 | 共5页
