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淘宝：学思创想
专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
....................................................................................................................................................2
模型1.猪蹄模型（M 型与锯齿型）...............................................................................................................2
模型2.铅笔头模型...........................................................................................................................................3
模型3.牛角模型...............................................................................................................................................4
模型4.羊角模型...............................................................................................................................................4
模型5.蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5
....................................................................................................................................................6
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模型1.猪蹄模型（M 型与锯齿型）
先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M 模型或锯齿模型的，都是根
据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P 作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
证明：根据图1 中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
证明：由图2 的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
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例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束
与
平行射入接收天
线，经反射聚集到焦点
处，若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作
，则
，结合得出
，推出
，最后由
，即可得解．
【详解】解：如图，作
，则
，
，
，
，
，故选：B．
例2．（2024 九年级下·辽宁·学业考试）如图，
，
，则
的度
数为 ．
【答案】
/80 度
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【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作
可得
；根据
即可求解.
【详解】解：作
，如图所示：∵
，∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：
例3．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知
，
，
，
若
，则
为（ ）
A．23°
B．33°
C．44°
D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得
，同样的方
法可得
，再根据角的倍分可得
，由此即可得出答
案．
【详解】如图，过点E 作
，则
，
∴
，
，
同理可得：
，
，
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∴
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身
与水平线的夹角
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长
交直线
于点
，利用平行线的性质得出
，再由两直线平行，内
错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长
交直线
于点
，
，
，
根据题意得
，
，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（23-24 七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识
后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线
，直线
是直线
，
的第三条截线，
，
分别是
，
的平分线，并且相交于点K．
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问题解决：
（1）
，
的平分线
，
所夹的
的度数为______；
问题探究：（2）如图2，
，
的平分线相交于点
，请写出
与
之间的等量关系，
并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3 中作
，
的平分线相交于点K，作
，
的平分线相交于
点
，依此类推，作
，
的平分线相交于点
，求出
的度数．
【答案】（1）
；（2）
，理由见解析；（3）
【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等
知识，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）证明过点K 作
，则
，利用平行线的
性质推出
，继而推出
，
从而得到
；（2）与（1）同理可得：
，继而得解；（3）由（2）得
，同理得
，
，继而总结规律得
，从而得解．
【详解】解：（1）如图，过点K 作
，则
，
∴
，
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∵
，
分别是
，
的平分线，并且相交于点K，∴
，
∴
，
∴
，故答案为：
．
（2）
．理由：如图，过点
作
．
，
，
，
，
．
，
的平分线相交于点
，
，
，
．
由（1），知
，
．
（3）由（2），可知
．同理，可得
，
，……
．
当
时，
．
例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G 为AB、CD 间的一点，
联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC 的度数是多少？
（2）如图（2），点G 为AB、CD 间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC 的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD 之间有何关系？直接写出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）过点G 作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G 作GF∥AB，利用
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平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E 作EM∥AB，过点F 作FN∥AB，过点G 作GQ∥CD，利用
平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【详解】解：（1）如图，过点G 作GE∥AB，
∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G 作GF∥AB
∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E 作EM∥AB，过点F 作FN∥AB，过点G 作GQ∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
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模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才
是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2 中，过P 作AM 的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2 中，过P1作AM 的平行线P1E，过点P2作AM 的平行线P2F，
∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3 中，过各角的顶点依次作AB 的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n
1
﹣）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴
的光线
和
经过凸透镜的折射后，折射光线
和折射光线
交主光轴于点P，若
，
，则
°．
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【答案】45
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟
练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：
，
，
，
又
，
，
，
，
，
．故答案为：45．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据
，得出
，
结合
，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：∵
∴
则
∵
∴
故选：D
例3．（2023 下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线
，点E，F 分别是直线
上的两点，
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点P 在直线
和
之间，连接
和
的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过点P 作
，过点Q 作
，可得
，从而得到
，
，
，
进而得到
，再由角平分线的定义可得
，即可求解．
【详解】解：如图，过点P 作
，过点Q 作
，
∵
，∴
，
∴
，
，
，∴
，
∵
和
的平分线交于点Q，∴
，
∴
，
∵
，
∴
．故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
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例4．（2023 上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形
为一张长方形纸片．如图②
所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（
、
、
），则
（度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（
、
、
、
），则
（度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（
、
、
、
、
），
则
（度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪
刀，剪出
个角，那么这
个角的和是
（度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点
作
，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于
的
倍；
（1）分别过
、
分别作
的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于
的
三倍；（2）分别过
、
、
分别作
的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和
等于
的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪
刀，剪出
个角，那么这
个角的和是
度．
【详解】过
作
（如图②）．
∵原四边形是长方形，∴
，
又∵
，∴
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵
，∴
（两直线平行，同旁内角互补）．
∵
，∴
（两直线平行，同旁内角互补）．
∴
，
又∵
，∴
；
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（）分别过
、
分别作
的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得
；
（
）分别过
、
、
分别作
的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得
；
（）由此可得一般规律：剪
刀，剪出
个角，那么这
个角的和是
度．
故答案为：
；
；
；
．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，
总结规律求解是本题的难点．
例5．（2023 下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，
探索问题的解．
(1)如图1，
，点E 为
、
之间的一点．求证：
．
(2)如图2，
，点E、F、G、H 为
、
之间的四点．则
______．
(3)如图3，
，则
______．
【答案】(1)证明见详解；(2)
；(3)
；
【分析】（1）过点
作
，可得
，根据平行线的性质可得
，
，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H 作
的平行线，在两相邻平行
线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知
在
、
之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3 找出n 和线段条数的关系便可解答；
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【详解】（1）证明：如下图，过点
作
，
∵
，
，∴
，
根据两直线平行同旁内角互补可得：
，
，
∴
，∴
；
（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H 作
，
，
，
，
结合（1）解答在两相邻平行线间可得：
，
，
，
，
，将所有角度相加可得：
；
（3）解：由（2）解答可知在
、
之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，
由图3 可知：当
、
之间有2 条线段时，
，当
、
之间有3 条线段时，
，
当
、
之间有4 条线段时，
，当
、
之间有5 条线段时，
，…，
当
、
之间有
条线段时，
，∴
；
【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组
计算是解题关键．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。
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图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝
，∠ABE＝
，∠CDE＝
，结论：
.
证明：如图，延长AB 交DE 于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝
，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴
；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝
，∠ABE＝
，∠CDE＝
，结论：
.
证明：如图，延长AB 交DE 于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝
，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-
，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴
；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1 是某同
学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2 的数学问题：在平面内，已知
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长
交
于F，根据两直线平行，同位
角相等得到
，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长
交
于F，
∵
，
，
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∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E 作
，则
，由平行线的性质得到
，进一步推出
．
【详解】解：如图所示，过点E 作
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P 为直线AB，CD 外一点，BF 平分∠ABP，
DE 平分∠CDP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝a，试用a 表示∠P 为______．
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【答案】∠P＝360°
2
﹣a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝
2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P 和a 的关系，然后即可用 a 表示∠P．
【详解】解：延长AB 交PD 于点G，延长FE 交CD 于点H，
∵BF 平分∠ABP，DE 平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°
2
﹣∠1，∴∠PBG＝180°
2
﹣∠5，∴∠5＝90°﹣
∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣
∠PBG）＋
∠6＝90°＋
（∠PBG＋∠6）＝90°＋
（180°﹣∠P）＝180°﹣
∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣
∠P∴∠P＝360°
2
﹣a．故答案为：∠P＝360°
2
﹣a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关
系是关键．
例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线
，点
为直线
，
所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1，
，
．求
的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，
，
，
，求
的值．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
(2)
，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点
作
，易得
，由平行线的性质可得
，
，即可求出
；（2）过点
作
，易得
，根据平行线的性质可得
；
（3）过点
作
，过点
作
，易得
，
，根据平行线的性质可得
，
，再由已知等量代换，即可求得
的值．
【详解】（1）解：如图1 所示，过点
作
，
，
，
，
，
，
．
，
，
；
（2）解：
，理由如下：
如图2，过点
作
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点
作
，过点
作
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例5．（2023 下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，
．
(1)如图，求证
；(2)如图
，点
在
上，
平分
，交
于点
，
探究
的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图
交
延长线于点
，求
的度数．
【答案】(1)见解析(2)
，见解析(3)
【分析】（1）证明：延长
交
于点
，则
，结合已知即可得出
，
据此即可得出结论；（2）设
，
，由角平分线的定义得
，
，
由（1）可知
∥
，则
，
，然后由
得
，再四边形的内角和等于
得
，即
，据此可得出
，
的数量关系；
（3）设
，则
，
，由
∥
得
，而
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，然后根据
得
，据此可求出
，则
，最后根据周角的定义可求出
的度数．
【详解】（1）证明：延长
交
于点
，
，
，
，
∥
．
（2）解：
，
的数量关系是：
，理由如下：
设
，
，
平分
，
，
，
，
，
由（1）可知：
∥
，
，
，
，
，
，
由四边形的内角和等于
得：
，
即：
，
，
．
（3）解：设
，
，
，由（1）可知：
∥
，
，
，
，
，
，
，解得：
，
，
，根据周角的定义得：
，
．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行
线的判定及性质：两直线平行
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补．
淘宝：学思创想
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝
，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴
；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-
，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴
；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知
，如果
，
，那么
的度数
为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
/35 度
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据平行线的性质得到
，再根据等边对等角以及外角定理即可求解．
【详解】解：∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，故答案为：
．
例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知
，
是等腰直角三角形，
，顶点
分别在
上，当
时，
．
【答案】
/65 度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到
，等边对等角，
得到
，再根据角的和差关系求出
的度数即可．
【详解】解：∵
是等腰直角三角形，
，∴
，
∵
，∴
，∴
；故答案为：
．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知
，
，
，则
的度数为
淘宝：学思创想
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
，则
，根据平行线的性质可得到
，
，即可求得
．
【详解】如图，过点
作
，
∵
，
，∴
．
∴
，．
∵
，∴
．
∴
．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
例4．（23-24 七年级下·湖北武汉·期末）如图，
的角平分线
交
的角平分线的
反向延长线于点P，直线
交
于点N，若
，则
°
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的
性质定理，
根据角平分线的性质和
可得
，再根据三角形的外角定理分别求
淘宝：学思创想
出
，
，进而可求解
【详解】解：如图所示：
交
于点E，
由题意可知：
平分
，
平分
，
，
，
，即
，
，
，
是
的一个外角，
是
的一个外角，
,故答案为：36
例5．（2023 七年级下·江苏·专题练习）已知
．
(1)如图1，求证：
；
(2)若F 为直线
、
之间的一点，
，
平分
交
于点G，
交
于点C．
①如图2，若
，且
，求
的度数；②如图3，若点K 在射线
上，且满足
，若
，
，直接写出
的度数．
【答案】(1)见解析(2)①
；②
或
【分析】（1）过E 作
，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；（2）①过F 作
淘宝：学思创想
，交
于H 点，过点
作
，则
，
,根据平行线的性质
可得
，根据角平分线的性质结合
，从而得出
，进而得出答案；②过点F 作
，设
，则
，
，所以
，
，然后分当K 在
上；当K 在
延长线上两种情况进行
解答即可．
【详解】（1）解：如图，过E 作
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，即
；
（2）①如图，过F 作
，交
于H 点，过点
作
，则
，
,
∵
，∴
，∴
，
∵
平分
，∴
，∵
，∴
，
∵
，即
，∴
，
∵
，∴
，
即
，∴
；
②如图，过点F 作
，设
，则
，
，
∴
，∴
，
，
当K 在
上，
，∴
，
∴
，∴
；
淘宝：学思创想
当K 在
延长线上时，
，
，
∴
，∴
，综上所述，
或
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确
辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：在图2 中，过C 作AB 的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴
.
淘宝：学思创想
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：在图2 中，过C 作AB 的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴
.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D 三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若
，则
等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【答案】D
【分析】过点C 作
，根据平行线的性质即可求出
的度数．
【详解】解：过点C 作
，∴
，
∵
∴
；
∵
，∴
；
由题意
，∴
，∴
．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（23-24 七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，
，
的角平分线
的反向延长线和
的角平分线
交于点F，
，则
．
淘宝：学思创想
【答案】
/104 度
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，平角的意义，四边形内角和，先根据角平分线的意
义设
，继而根据平角的意义得出
，再由平行线的性质及四边
形内角和得出
，结合
，求解即可．
【详解】∵
的角平分线
的反向延长线和
的角平分线
交于点F，
∴设
，
∴
，过点F 作
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
即
，∵
，∴
，故答案为：
．
例3．（23-24 七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点
，
，
不在同一条直线上，
．
(1)求证
；(2)如图2，
，
分别为三等分
、
所在直线，
，
，试探究
与
的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，
淘宝：学思创想
且有
，直线
、
交于点
，
，请直接写出
_________．
【答案】(1)见解析(2)
，见解析(3)
【分析】（1）过点
作
，则
，可得
，
，
，即可求解；（2）过点
作
，则
，可得
，
，再由
，
，可得
，
，
可得
，再由（1）中结论，即可求解；（3）根据
，可得
∠ACP=3∠AQB，再由AC∥BQ，可得∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，从而得到∠PAC=30°，进而得到
∠QBP=∠ACP=90°，再由
，
，可得∠CAD=45°，∠EBC=135°，即可求
解．
【详解】（1）解：过点
作
，则
，
∵
，∴
，
，
，
，
（2）解：过点
作
，则
，
∵
，
，∴
，
，
∵
，
，∴
，
即
，由（1）得：
，∴
．
（3）解：∵
，∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=3∠AQB，
淘宝：学思创想
∵AC∥BQ，∴∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，∴∠ACP=3∠CAP，
∵
，∴∠PAC+∠ACP=120°，即∠PAC+3∠PAC=120°，解得：∠PAC=30°，
∴∠QBP=∠ACP=90°，∴∠ACB=90°，∵
，∴∠PAC=2∠DAH，∴∠DAH=15°，即
∠CAD=45°，
∵
，∴∠EBQ=45°，∴∠EBC=135°，
∴
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
例4．（23-24 七年级下·广东广州·期末）如图，
，
．
(1)
如果
，求
的度数；
设
，
，直接写出
、
之间的数量
关系： ；(2)如图
，
、
的角平分线交于点
，当
的度数发生变化时，
的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出
的度数；
(3)在（2）的条件下，若
，点
为射线
上的一个动点，过点
作
交直线
于点
，连接
．已知
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)不发生变化；
，理由见详解(3)
或
【分析】（1）
过点
作
，则有
，然后得到
，
，然后计算解题；
过点
作
，则有
，
，再根据直角得到结论；（2）由
可得
，
，
然后根据角平分线的定义得到
，
，然后利
用同
的推导过程得到结论；（3）由（2）可得
，
，
淘宝：学思创想
，然后分点
在点
的左侧和点
在点
的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点
作
，
，
，
，
，
又
，
，
；
过点
作
，
，
，
，
，
又
，
，
，故答案为：
；
（2）解：不发生变化；
，理由为：由
可得
，
，
、
的角平分线交于点
，
，
，
，
过
作
，
，
；
（3）由（2）得
，
，
，
，
，
过点
作
，
，
，
，
，
，
当点
在点
的左侧时，如图，则
，
，
；
淘宝：学思创想
当点
在点
的右侧时，如图，则
，
，
．
综上所述，
或
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的计算、角平分线的性质等知识点．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若
，
，
，则
的度数是
（）
A．115°
B．130°
C．140°
D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线
，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过
作
的平行线
，如图所示；
，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据
传递性做出辅助线是解决问题的关键．
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行
若
，
，则
的度数为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点
作
工作篮底部，
，
工作篮底部与支撑平台平行，
工作篮底部
支撑平台，
，
，
，
，
，故选：
．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线
．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，平行的性质，解题关键是熟练掌握并运用相关知识．根据
可
得，
，根据三角形外角性质结合
可得
，即可求得
的
度数．
【详解】解：∵
，
．
淘宝：学思创想
又∵
，
，
．故选：C．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京
景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的
历史至少在
年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，延长
交
于点
，先利用平行线的性质可得
，
然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
【详解】解：延长
交
于点
，∵
，∴
，
∵
是
的一个外角，∴
，故选：
．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若
，
，
，
，那么
的度数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
淘宝：学思创想
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，由平行线的性质得出
，
，再结合
计算即可得出答案．
【详解】解：∵
，
，∴
，
，
∴
，∴
，故选：D．
6．（24-25 九年级上·湖北·课后作业）①如图①，
，则
；
②如图②，
，则
；③如图③，
，则
；
④如图④，直线
，点
在直线
上，则
．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④
B．③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
对于“拐点”类问题，一般是过“拐点”作平行线，根据平行线的性质和三角形的外角定理即可求解判断
出角度之间的数量关系．
【详解】解：①，如解图①，过点
作
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，如解图②，设
与
交于点
，
，
，
是
的一个外角，
，
，
，故②正确；③，由①可得：
，
，
，
，故③不正确；
④
，
，
，
，
，
，故④正确；
淘宝：学思创想
所以结论正确的是①②④，故选：C．
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若
，
，
，
则
的度数是 °．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明
，
，再利用三角形的外角的性质解答即可．
【详解】∵
，
，
，∴
，
，
∴
．故答案为：
8．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）如图，
，
的角平分线
的反向延长线和
的
角平分线
交于点
，
，则
．
【答案】
/
度
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过
作
，则
，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得
，
，进而可得
，
，利用四边形内角和
为
度，可得
，再结合
即可求出
的度
数．
【详解】解：如图，过
作
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
∵
的角平分线
的反向延长线和
的角平分线
交于点
，
∴可设
，
，
∴
，
，
∴四边形
中，
，即
，①
又∵
，∴
，②
∴
，解得
，故答案为：
．
9．（23-24 七年级下·江苏无锡·期中）如图，
，
为
上方一点，
、
分别为
、
上的
点，
、
的角平分线交于点
，
的角平分线与
的延长线交于点
，若
，
，则
的度数等于 ．
【答案】
/164 度
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理和外角的性质，
首先根据角平分线的概念结合平角得到
，进而利用三角形内角和定理求出
，然后由
平行线的性质得到
，然后根据三角形外角的性质得到
，进而求解即可．
【详解】如图所示，
淘宝：学思创想
∵
平分
，
平分
∴
，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
平分
∴
∴
．故答案为：
．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线
、
平行，则
．
【答案】900°
【详解】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L1,L2,L3,L4 平行于AB
观察图形可知，图中有5 组同旁内角，
则
故答案900°
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键。
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB
CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
淘宝：学思创想
解决问题：（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出两束光线OB、OC 经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3
＝∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，内
错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；图3：由AB
CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答
案；图4：由AB
CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；（3）利用图1 结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P 作EP//AB
淘宝：学思创想
∵AB
CD，EP
AB∴AB
EP
CD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1 可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
12．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B 不在同一条直线，
(1)求证：
：(2)如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究
与
的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点P，
，直接写出
．
【答案】(1)见解析(2)
，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C 作
，则
，根据平行线的性质可得出
、
，据此可得；（2）过点Q 作
，则
，根据平行线的性质、角平分线
的定义可得出
，结合（1）的结论可得出
；（3）由（2）的
结论可得出
①，由
可得出
②，联立①②可求出
的度数，再结合（ 1）的结论可得出
的度数，将其代入
中可
求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C 作
，则
．
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
∴
．
（2）在图2 中，过点Q 作
，则
．
∵
，∴
．
∵
平分
，
平分
，∴
，
∴
．
∵
，∴
．
（3）∵
，∴
，
∴
．
∵
，∴
．
又∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．
13．（24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：
，点
在
上，点
、
在
上，点
在
、
之间，连接
、
、
，
，
，垂足为点
．
(1)如图1，求
的度数；(2)如图2，
平分
，
平分
，
、
交于点
，求
的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，
平分
交
于点
，若
，
与
所在直线交于点
，若射线
从射线
的位置开始绕着点
逆时针以每秒
的速度进行旋转，
射线
交直线
于点
，旋转时间为秒，当为何值时，
第一次与
平行？并求此时
的度
淘宝：学思创想
数．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点
作
，过点
作
，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点
作
，先利用
，设
，
，结合平行线的
性质求出
，利用
，结合平行线的判定与性质求出
，利用
，
，结合平行
线的判定与性质求出
，即可求出
，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
平分
，
，
；
淘宝：学思创想
（3）解：如图，过点
作
，
∵
，∴设
，
，
∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，
∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，解得：
，
∴
，
，
由（2）得
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，
∵点
逆时针以每秒
的速度进行旋转，∴
，
综上，
时，
第一次与
平行，此时
．
14．（24-25 八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知
，
，
，则
求
的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，
平分
，
平分
，则
的度
数．
（3）如图2，已知
，
平分
，
平分
，．当点P、M 在直线AC 同侧时，直接
写出
与
的数量关系： ；
（4）如图3，已知
，
平分
，
平分
．当点P、M 在直线
异侧时，直接写
出
与
的数量关系： ．
淘宝：学思创想
【答案】（1）70 度；（2）35 度；（3）
；（4）
【分析】本题主要考查了平行线的性质探究角的关系， 角平分线的计算，以及三角形外角的定义以及性
质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过P 作
，由平行线的性质可得出
，
，最后根据
即可得出答案．
（2）延长
交
于点Q，则可得到
，由（1）可得出
，连接
并延长到点R，由三角形外角的定义可得
，
，相加可得出
，等量代换可得
出
，代入即可求出
．（3）由（2）可得：
．
（4）过P 作
于Q，
于N，由平行线的性质可得出
，
，
，
，由角平分线的定义可得出
，
，最后根据
，等量代换可得出
【详解】解：（1）如图1，过P 作
，∴
，∵
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
；
（2）如图2，延长
交
于点Q，则可得到
，
则
，
连接
并延长到点R，则可得
，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∴
；
（3）由（2）可得：
，故答案为：
；
（4）如图，过P 作
于Q，
于N，则
，
∴
，
，
，
，
∵
平分
，
平分
，∴
，
，
∴
，
即
，故答案为：
．
15．（23-24 七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线
，点
为平面上一点，连接
与
．
(1)如图1，点
在直线
之间，当
，
时，求
的度数．
(2)如图2，点
在直线
之间，
与
的角平分线相交于点
，写出
与
之间
的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点
落在
下方，
与
的角平分线相交于点
，请直
接写出
与
的数量关系．
【答案】(1)
(2)
，见解析(3)
【分析】（1）先过
作
，根据平行线的性质即可得到
，
，再根据
进行计算即可；
（2）过
作
，根据
，可得
，
，进而得到
，同理可得，
，再根据角平分线的定义，
得出
，进而得到
；
淘宝：学思创想
（3）过
作
，根据
，可得
，
，进而得到
，同理可得，
，再根据角平分线的定义，
得出
，进而得到
．
【详解】（1）解：如图1，过
作
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，理由如下：
如图2，过
作
，
，
，
，
，
，过
作
，
，
，
，
，
，
，
与
的角平分线相交于点
，
，
；
（3）
．理由如下：如图3，过
作
，
∵
，∴
，∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，
过
作
，
，
，
，
，
，
，
∵
与
的角平分线相交于点K，∴
，
，
∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错
角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
16．（23-24 七年级下·湖北武汉·期中）
，点E、F 分别在
、
上；点O 在直线
、
之
间，且
(1)如图1，①若
，求
的度数；
②若
，请你直接写出
________；
(2)如图2，直线
分别交
、
的角平分线于点M、N，求
的值
(3)如图3，
在
内，
；
在
内，
，直线
分别交
、
分别于点M、N，且
，直接写出m 的值
【答案】(1)①
②
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平
分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）如图1，过点
作
，利用两直线平行，内错角相等的性质分别求得
，
，再根据
，即可求出①②结论；
（2）如图2，过点
作
，过点
作
，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到
，再根据角平分线的性质，得到
，
，进而可求出
的值；
（3）如图3，设直线
交
于点
，
与
相交于点
，由
得到
，根据
三角形外角与内角关系得到
，进而得到
，
淘宝：学思创想
再由三角形外角与内角关系求得
，即可得到
与
的关系，即
，
再由题意可求得
，
，然后由
，化简可得方程
，求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点
作
，
，
，
，
①
，
，
，
，
；
②
，
，
，
，
，
；故答案为：
；
（2）解：如图2，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
又由（1）得
，
，
．
（3）解：如图3，设直线
交
于点
，
与
相交于点
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，即
，
，
在
内，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
解得
．
17．（23-24 七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行
线的作用．李老师给出如下问题：
，点
为
下方一点，连接
，得到
，试探究
与
的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点
作
．
（2）小明的做法是：如图3，设
交
于点
，过点
作
．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
淘宝：学思创想
【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到
了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线
，点
在
之间，点
在
下方，连
．延长
至
和
的角平分线相交于点
．探究
与
的数量关系；
【学以致用】（3）如图5，
和
的角平分线相交于点
．作
平分
交
的延长线于点
，若
，求
的度数．
【答案】（1）①
；②
；（2）
；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．；
（1）①过点
作
，根据平行线的性质得出
；
②设
交
于点
，过点
作
．根据平行线的性质可得
，
，
进而可得
；
（2）根据角平分线的定义可得
，根据平行线的性质
可得
由（1）可得
，即可求解．
（3）过点H 作
，利用（1）中结论
，利用平行线的性质、角平分线定义、
淘宝：学思创想
邻补角和为
，角与角之间的基本运算、等量代换等得出
，
进而用等量代换得出
．过点H 作
，由①的结论得
．利用平行线性质得
，由
角平分线定义及邻补角可得
．继续使用等量代换可得
度数．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点
作
．
∵
∴
∴
∵
；
②小明的做法是：如图3，设
交
于点
，过点
作
．
∴
，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点
作
∵
和
的角平分线相交于点
．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
淘宝：学思创想
（3）过点H 作
，如图，
由（1）可得
，
由图可知
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
即
．
∵
，
∴
．
∴
．
过点H 作
．
∵
，
∴
．
∴
，
∵
平分
，
∴
．
∵
．
∴
．
淘宝：学思创想
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
18．（22-23 七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，
，点P，Q 位于
两侧，连
接
，
，
，
，直接写出①
，
，
的数量关系为______；②
，
，
的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作
，
的角平分线交于点M，若
与
互补，试
写出
与
的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3，
，点M，N 位于
左侧，作
，
的角平分线交于点P，
；若
，直接写出
的度数是______．
【答案】问题背景：①
；②
；尝试应用：
；拓展创新：
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角度的和差计算，准确作出平行线利用平行线性质
证明即可．
问题背景：过点P 作
，根据两直线平行内错角相等求解，过点Q 作
同旁内角互补进行求
解即可；
尝试应用：利用（1）中求出的角度间关系进行求解即可；
拓展创新：过点P 作
，过点M 作
，过点N 作
，利用平行线性质，结合角平分线
淘宝：学思创想
定义进行角度间的换算即可．
【详解】解：（1）问题背景：①如图，过点P 作
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
②如图，过点Q 作
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
尝试应用：由（1）可知：
，
,
是
，
的角平分线，
，
整理得：
，
由（1）可得：
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
又
，
；
拓展创新：如图，过点P 作
，过点M 作
，过点N 作
，
，
，
，
又
平分
，
，
，
，
，
，
，
整理得：
，即
．
19．（23-24 七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C 不在同一条直线上，
．
(1)如图①，求证：
；(2)如图②，
分别为
，
的角平分线所在
的直线，
，求
的度数．(3)如图③，
分别为
，
的角平分线所在的
直线，延长
交直线
于点P，且
，
，直接写出
的值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）过点C 作
，则
，根据平行线的性质可得出
、
，据
此可得；
（2）过点Q 作
，则
，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出
，结合（1）的结论可得出
，据此可得答案；
（3）由（2）的结论可得出
①，由
可得出
②，联立①②可
求出
的度数，再结合（ 1）的结论可得出
的度数，据此可求出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，，过点C 作
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：如图所示，过点Q 作
，
∵
∵
，
淘宝：学思创想
∴
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
（3）解：∵
，
∴
，
∴
．
由（2）可知
，
∴
，
又∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：4．
20．（23-24 七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②，
，点M 在如图所在位置，请分
别写出图①和②中
、
、
之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图，
，
邻补角的平分线
与
的角平分线相交于点N，试探
淘宝：学思创想
究
、
的数量关系并写出证明过程；
（2）如图，
，
和
的三等分角线交于点M，
，
，
，求
的度数．
【答案】[问题原型] 图①：
，证明过程见详解；图②：
，证明过程见详解；
（1）
，证明过程见详解；（2）
【分析】本题考查了角平分线的性质以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
[问题原型]图①先过点M 作
，根据两直线平行，同旁内角互补，列式化简即可作答．图②过点M
作
，根据两直线平行，内错角相等，即可作答．
（1）过点M 作
，过点N 作
，与[问题原型]同理，因为
邻补角的平分线
与
的角平分线相交于点N，
，再结合
，代入化简即可作答．（2）分别过点M 作
，点G 作
，点F 作
，点E 作
，根据平行线的性质以及角平分线的定义，列式化简，即可作答．
【详解】解：（1）图①，过点M 作
，
∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
；
图②，过点M 作
，如图所示：
∵
，∴
，∴
，∴
；
（1）
，证明过程如下：
过点M 作
，过点N 作
，如图：
∵
，∴
，∴
，
∴
；
∵
，∴
，∴
，
∵
邻补角的平分线
与
的角平分线相交于点N，
∴
∴
；则
；
（2）如图：分别过点M 作
，点G 作
，点F 作
，点E 作
，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
，
，
，∴
∴
即
∴
．
淘宝：学思创想
