文档文本内容
专题06 瓜豆原理之圆弧轨迹型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................4
巩固练习...................................................................................................................................10
压轴真题强化...........................................................................................................................14
“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中
数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射
线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其
中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、
射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的
弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一
条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称
为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的圆弧轨迹型类问题。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
2、如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，
则动点P 是以A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
4、定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧。
P
P
A
B
O
P
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。
P
P
A
B
P
（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴上，
点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小
值是（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】解：如图所示，延长
到E，使得
，连接
，
∵
的一条直角边
在x 轴上，点A 的坐标为
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点M 为
中点，点A 为
中点，
∴
是
的中位线，
∴
；
在
中，
，
∴
，
∵将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C 在以O 为圆心，半径为4 的圆上运动，
∴当点M 在线段
上时，
有最小值，即此时
有最小值，
真题演练
∵
，
∴
的最小值为
，
∴
的最小值为3，
故选A．
（2021·四川成都·中考真题）在
中，
，将
绕点B 顺
时针旋转得到
，其中点A，C 的对应点分别为点
，
．
（1）如图1，当点
落在
的延长线上时，求
的长；
（2）如图2，当点
落在
的延长线上时，连接
，交
于点M，求
的长；
（3）如图3，连接
，直线
交
于点D，点E 为
的中点，连接
．在旋转过
程中，
是否存在最小值？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）存在，最小值为1
【详解】（1）在
中，
．
根据旋转性质可知
，即
为等腰三角形．
∵
，即
，
∴
，
∴
．
（2）如图，作
交
于点D，作
交
于点E．
由旋转可得
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
∵
，即
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，即
，
∴
．
（3）如图，作
且交
延长线于点P，连接
．
∵
，
∴
，
∵
，即
，
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴在
和
中
，
∴
，
∴
，即点D 为
中点．
∵点E 为AC 中点，
∴DE 为
的中位线，
∴
，
即要使DE 最小，
最小即可．
根据图可知
，即当点
三点共线时
最小，且最小值为
．
∴此时
，即DE 最小值为1．
（2021·江苏连云港·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.
（1）△ABC 是边长为3 的等边三角形，E 是边AC上的一点，且 AE =1，小亮以BE为边作等边三
角形BEF，如图1，求CF的长；
（2）△ABC 是边长为3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边作等边三角
形 BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
（3）△ABC 是边长为3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边作等边三角
形 BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；
（4）正方形 ABCD 的边长为3，E 是边 CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，
小亮以B 为顶点作正方形 BFGH ，其中点F、G 都在直线 AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，
点F、G、H 与点B 重合.则点H 所经过的路径长为________，点G 所经过的路径长为________.
【答案】（1）1；（2）3；（3）
；（4）
；
【详解】解:（1）∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）连接
，
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又点
在
处时，
，点
在A 处时，点
与
重合．
∴点
运动的路径的长
；
（3）取
中点
，连接
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
、
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又点
在
处时，
，点
在
处时，点
与
重合，
∴点
所经过的路径的长
；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的
上运动，
∵四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理
即
，
∴
，
点G 所经过的路径长为
长=
，
点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧
上运动，
点H 所经过的路径长为
的长度，
∵点G 运动圆周的四分之一，
∴点H 也运动圆周的四分一，
点H 所经过的路径长为
的长=
，
故答案为
；
．
巩固练习
1、如图，A 是
上任意一点，点C 在
外，已知
是等边三角形，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】A
【详解】解：如图，以
为边向上作等边三角形
，连接
，
∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，
长为半径的圆，要使
的面积最大，则求出点D 到
线段
的最大距离，
∵
是边长为4 的等边三角形，
∴点M 到
的距离为
，
∴点D 到
的最大距离为
，
∴
的面积最大值是
，
故选A．
2、如图，在矩形
中，
，
，P 为
的中点，连接
．在矩形
外部找
一点E，使得
，则线段
的最大值为 ．
【答案】
/
【详解】解：如图，以
的中点O 为圆心，
为半径画圆，
在矩形
中，
，
，，
∵
，
∴所画圆是
的外接圆，
弦
右侧圆弧上任意一点E 与
构成的
，使得四边形
是圆内接四边形，
∴
，
连接
并延长与圆的交点即为
的最长距离，
作
于点H，
∴H 是
的中点，
是
的中位线，
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
3、已知如图，
是腰长为4 的等腰直角三角形，
，以A 为圆心，2 为半径作半圆
A，交
所在直线于点M，N．点E 是半圆A 上任意一点．连接
，把
绕点B 顺时针旋转90°到
的位置，连接
，
．
(1)求证：
；
(2)当
与半圆A 相切时，求弧
的长；(3)直接写出
面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【详解】（1）∵
是等腰直角三角形，
，
∴
．
由旋转可得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
（2）∵
与半圆A 相切，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）根据题意，得点D 在以点C 为圆心，以2 为半径的半圆上运动，
过点D 作
于点Q，
∴
，
当
时，
的高
取得最大值，
此时
也取得最大值．
∴
．
一、单选题
压轴真题强化
1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
为原点，
，点
为
平面内一动点，
，连接
，点
是线段
上的一点，且满足
．当线段
取最大值时，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵点
为平面内一动点，
，
∴点
在以点
为圆心，
为半径的
上，
在
轴的负半轴上取点
，连接
，分别过
、
作
，
，垂足为
、
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴当
取得最大值时，
取得最大值，结合图形可知当
，
，
三点共线，且点
在线段
上时，
取得最大值，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
轴
轴，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
即
，
解得
，
同理可得，
，
∴
即
，
解得
，
∴
，
∴当线段
取最大值时，点
的坐标是
，
故选D．
二、填空题
2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，
是正方形
边
的中点，
是正方形内一点，连接
，线段
以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的
最小值为 ．
【答案】
【详解】解，如图，连接
，将
以
中心，逆时针旋转
，
点的对应点为
，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
如图，当
、
、
三点共线时，
的值最小，
四边形
是正方形，
，
，
是
的中点，
，
，
由旋转得：
，
，
，
的值最小为
．
故答案：
．
3．（2022·江苏盐城·一模）如图，在直角坐标系中，点A 坐标为（2，0），点B 的坐标为（6，
0），以B 点为圆心，2 长为半径的圆交
轴于C、D 两点，若P 是⊙B 上一动点，连接PA，以PA 为
一直角边作Rt△PAQ，使得
，连接DQ，则DQ 的最小值为
【答案】
/
【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB，
∵∠MAB=∠QAP=90°，
∴∠MAQ=∠BAP，
∵
，
∴△MAQ∽△BAP，
∴MQ=
PB=1，
∴Q 点在以M 为圆心，以1 为半径的圆上，
由图象可得：
DQ 的最小值为：DM-MQ，
AD=OD-OA=6+2-2=6，
由勾股定理可得：DM=
，
∴DQ 的最小值等于：
−1.
故答案为：
−1．
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在
中，
，
，
，点
从点
出发沿
方向运动，到达点B 时停止运动，连结
，点
关于直线
的对称点为
，连接
A′C，
．在运动过程中，点
到直线
距离的最大值是 ；点
到达点
时，线段
扫过的面积为 ．
【答案】
【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 为半径的圆上，
∵点
从点
出发沿
方向运动，到达点B 时停止运动，
，点
关于直线
的对称点
为
，
∴∠ACA′最大为90°
当CA′⊥AB 时，点A′到直线AB 的距离最大，如图
过点B 作BE⊥AC
∵
，
，
，
∴在Rt△ABE 中，BE=1，AE=
，
在Rt△BCE 中，BE=CE=1
∴CA′=CA=
又∵CA′⊥AB
∴在Rt△ACF 中，CF=
∴A′F=A′C-CF=
即点
到直线
距离的最大值是
；
点
到达点
时，线段
扫过的面积为：
=
=
故答案为：
；
5．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，半径为2 的
与
轴的正半
轴交于点
，点
是
上一动点，点
为弦
的中点，直线
与
轴、
轴分别交于点
、
，则
面积的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，连接OB，取OA 的中点M，连接CM，过点M 作MN⊥DE 于N．
∵AC=CB，AM=OM，
∴MC=
OB=1，
∴点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1 为半径的⊙M，设⊙M 交MN 于C′．
∵直线y=
x-3 与x 轴、y 轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），
∴OD=4，OE=3，
∴
，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴
，
∴
，
∴
，
当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值
，
故答案为2．
三、解答题
6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）（1）如图1，
和
是等腰直角三角形，
，点C 在
上，点D 在线段
延长线上，连接
，
．线段
与
的数
量关系为______；
（2）如图2，将图1 中的
绕点O 顺时针旋转
（
）第一问的结论是否仍然成立；
如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若
，点C 是线段
外一动点，
，连接
，
①若将
绕点C 逆时针旋转
得到
，连接
，则
的最大值______；
②若以
为斜边作
，（B、C、D 三点按顺时针排列），
，连接
，当
时，直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①
，②
或
．
【详解】解：（1）
，理由如下：
∵
和
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
故答案为：
；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵
和
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∴
，即
，
∴
，
；
（3）①过点
作
，使
，连接
，
∵
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴点
的运动轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
∴当
在
的延长线上时，
的值最大，最大值为
；
故答案为：
；
②当点
在
上方时，如图，在
上方作
，过点
作
于点
，连接
、
、
，过点
作
于点
．
，
；
∴
，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∴
∴
当点
在
下方时，如图，在
上方作
，过点
作
于点
，连接
，
则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
；
综上：
或
．
7．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段
，
，线段
绕点
在直线
上方旋转，连
接
，以
为边在
上方作
，且
．
(1)若
，以
为边在
上方作
，且
，
，连接
，用
等式表示线段
与
的数量关系是
；
(2)如图2，在(1)的条件下，若
，
，
，求
的长；
(3)如图3，若
，
，
，当
的值最大时，求此时
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：在
中，
，
，且
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
∴
∴
，
故答案为：
．
（2）∵
，且
，
，
∴
，
，
延长
交
于点
，如图所示，
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
，
∴
，
由（1）可得
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）解：如图所示，以
为边在
上方作
，且
，
，连接
，
，
，
同（1）可得
则
，
∵
，则
，
在
中，
，
，
∴
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
∴当点
三点共线时，
的值最大，此时如图所示，则
，
在
中，
∴
,
，
∵
，
∴
，
过点
作
，于点
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
中，
．
8．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C
为⊙O 上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；
（2）求△ABC 的面积；
（3）点E 在
上运动（不与B、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F．
①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；
②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）①3；②
【详解】（1）证明：连结OC，如图所示．
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°．
∴∠CDB＝60°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°．
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．
∴OC⊥AC．
∴直线AC 是⊙O 的切线．
（2）过点C 作CH⊥AB 于点H，如图所示．
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴
是等边三角形．
∴
．
∴在
中，
．
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴
．
（3）
当点
运动到与点
关于直径BD 对称时，如图所示．
此时，CE⊥AB，设垂足为K．
由（2）可知，
．
∵BD 为圆的直径，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝
．
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°．
∵
，
∴∠E=∠CDB＝60°．
在
中，
∵
，
∴
．
如图所示：
由
可知，在
中，
∵
，
∴
．
∴当点E 在
上运动时，始终有
．
∴当CE 最大时，CF 取得最大值．
∴当CE 为直径，即CE=2 时，CF 最大，最大值为
．
