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专题02 胡不归模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、模型建立........................................................................................................................2
2、问题分析........................................................................................................................2
3、问题解决........................................................................................................................3
4、模型总结........................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................5
压轴真题强化.............................................................................................................................6
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间
线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，
老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？
胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，
他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。
专题目录
模型解读
V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发
现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以
非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相
渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。
1、模型建立
一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B 为定点，
点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）
V2
V1
M
N
C
B
A
2、问题分析
，记
，即求BC+kAC 的最小值.
常见类型讲解
3、问题解决
构造射线AD 使得sin∠DAN=k，
，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH 最小值.
CH=kAC
sinα=
CH
AC =k
H
D
α
A
B
C
N
M
过B 点作BH⊥AD 交MN 于点C，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
M
N
C
B
A
α
D
H
4、模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化
为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点D 是
线段AB 上一动点，点H 是直线
上的一动点，动点
，连接
．当
取最小值时，
的最小值是 ．
真题演练
（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD 的长；
(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合）， 点F 在边AD 上，且BE=
DF，
①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；
②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE+
CF 的值是否也最小？如果是，求CE+
CF 的最小
值；如果不是，请说明理由．
（2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于
( 1,0)
A
，
(5 0)
B ，两点，C 为
抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且
4
tan
3
CBD
，如图所示．（1）求
抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x
轴的平行线交线段BC
于点E ，过点E 作EF
PE
交抛物线于点F ，连结FB 、
FC
，求BCF
的面积的最大值；②连
结PB ，求
3
5 PC
PB
的最小值．
1、如图，在
中，
，
，
.
，
分别是边
，
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
2、已知在等腰
中，
，
．
，连接
，在
的右侧做等腰
，其中
，
，连接
E ，则
的最小值为
(用含
的代数式表示)．
3、如图1，在平面直角坐标系中，直线
经过点
，与x 轴交于点
，点C 为
中点，反比例函数
刚好经过点C．将直线
绕点A 沿顺时针方向旋转
得直线
，直线
与x 轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
巩固练习
(2)如图2，点Q 为射线以上一动点，当
取最小值时，求
的面积；
(3)将
沿射线
方向进行平移，得到
且
刚好落在y 轴上，已知点M 为反比例函数
上一点，点N 为y 轴上一点，若以M，N，B，
为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所
有满足条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·一模）如图，
为等边三角形，
平分
，
，点E 为
上动
点，连接
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形
的边长为5，对角线
的长为
，
为
上一动
点，则
的最小值为（ ）
压轴真题强化
A．4
B．5
C．
D．
二、填空题
3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，
是等边三角形
的外接圆，其半径为4．过点B 作
于点E，点P 为线段
上一动点（点P 不与B，E 重合），则
的最小值为
．
4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在
中，
，
，
，按下
列步骤作图：①在
和
上分别截取
、
，使
．②分别以点D 和点E 为圆心，以
大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线
交
于点F．若点P 是线段
上的一个动点，连接
，则
的最小值是 ．
三、解答题
5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交
于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当
时，求
的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移
个单位长度得到点
，点
为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，已知直线
与x 轴交于点
A，与y 轴交于点B，过A、B 两点的抛物线
与x 轴交于另一点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使
？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）点M 为直线
下方抛物线上一点，点N 为y 轴上一点，当
的面积最大时，求
的最小值．
