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专题 09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
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模型1.垂美四边形模型...................................................................................................................................1
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模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
V
砂石地 1
V
1
驿道
A V C
2∠A的对边
sinA=
斜边
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1．（2023·四川乐山·二模）如图，菱形 中， ， ， 是对角线 上的任意一
点，则 的最小值为（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：过点E作 ，过点B作 ，连接 ．
∵在菱形 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，即 ．∴ ．∴ ．
∵ ∴当 时，即F与 重合时， 有最小值
∴ 的最小值 ．故选B．
例2．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形 中， ， ，则对角线
，点 是 上的动点，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】 4 3
【详解】解：过点 作 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
∵在矩形 中， ， ， ，则 ， ，
， ，∵ ， ，
∵ ， ， ，∴ ，，∴当点 三点共线时， ，
此时 最小，∴ 的最小值是3．故答案为：4；3．
例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E是 边上一点，且 ．
P是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接AC，作
∵ 是正方形且边长为4，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 取最小值时，A，P，G三点共线，且 ，此时最小值为AG，
∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，解得： ，
设 ，则 ，∵ ，∴ ，解得：
∴ ，故选：D例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边
CD上的一动点，则 的最小值等于________．
【答案】
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP= PD，∴ =BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 ，故答案为：3 .
例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线
上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【详解】解：过点A作 ，过点D作 于点M，交 于点P，∵在矩形 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 则 ，
∴ ， ∴ ．
即 的最小值为6．故选B．
例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．
【答案】0
【详解】解：如图，作 于 ，
∵四边形 是正方形， ， ， 的最小值为0，
∵ ，∴ 的最小值为0，故答案为：0．
例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的
对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；② 和 走完全程所需时间为 ．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
， ， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，
为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；
②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得， ，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即： ， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短. ，
在 中，设 ， ，
，解得： ， ， 和 走完全程所需时间为 ．1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中， ，对角线AC、BD相交于点O，点
M在线段AC上，且 ，点P是线段BD上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
、【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，
∵菱形 中， ，∴ ， 为等边三角形，
∴ ， ，∴在 中， ，∴ ，
∴此时 得到最小值， ，
∵ ， ，∴ ，又∵ ，∴ ,故选：B.
2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P是对角线
上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B．6 C． D．4
【答案】B
【详解】解：过点A作 ，过点D作 于点M，交 于点P，
∵在矩形 中， ， ， ∴ ，
∴ ， 则 ，∴ ，
∴ ， ．
即 的最小值为6．故选B．
3．（2024.成都市九年级期中）如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动
点，则 的最小值等于 ．
解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，，
当点 ，点 ，点 三点共线且 时， 有最小值，即最小值为 ，
故答案为：
4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ，点M
在线段 上，且 ．点P为线段 上的一个动点．
（1） °；（2） 的最小值为 ．
【答案】 2
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（2）过点P作 于点E，过点M作 于点F，
在 中，由（1）知： ，∴ ，∴ ，
在矩形 中， ，∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ 的最小值为2，故答案为：2．5．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则
▱
的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．
6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形 中， ， ， ，在线段
上取一点E，使 ，连接 ，点M，N分别是线段 上的动点，连接 ，则
的最小值为 ．【答案】 /
【详解】解：如图，作 于 ， 于 ， 于 ，则四边形 是矩形，∴
，
∵平行四边形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴当 三点共线且 时， 最小，为 ，
∵ ，∴ ，由勾股定理得， ，
∴ 最小值为 ，故答案为： ．
7．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形 中，对角线 ．将长方
形 沿对角线 折叠，得 ，点 M 是线段 上一点．则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵在长方形 中，对角线 ，∴ ，∴ ，
∵将长方形 沿对角线 折叠，得 ，
∴ ，∴ ，
过点 作 于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则： ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 的长，
∵点到直线，垂线段最短，∴当 时， 最小，即点 与点 重合，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即： 的最小值为 ．故答案为： ．
8．（2024·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC ，E为线段AB上一动点，连接
CE，则 AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB ，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2 ，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 ，∴CH＝AC•sin6°＝2 3，
∵ AE+EC＝CE+ET≥CH，∴ AE+EC≥3，∴ AE+EC的最小值为3，故答案为3．
9．（2024上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，将线段 绕点
进行旋转， ，取 中点 ， ，连接 ，已知点 的坐标为 ，那么将线段 绕点
的旋转过程中， 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，取 中点 ，连接 ，
，
为 的中点， ，即 ， ，当 三点共线时，上式取等号， ， ，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
10．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
【答案】 /
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
在线段 下方作 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∴ ，∴ ，当 、 、 三点共线时， 的值
最小，此时 ，∴ ，∴ ， ，∴ ，∴ 的最小值为： ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
11．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边
CD上的一动点，则 的最小值等于________．
【答案】
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD•sin∠QDP= PD，∴ =BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时 有最小值，
∴ 的最小值为 ，故答案为：3 .
12．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上
的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．【答案】6
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC= ，∴tan∠CAB= ，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（ PA+PD），
，
此时 PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
13．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线 ： 与 轴交于
点 ，与 轴交于点 ，分别以 、 为边作矩形 ，点 、 在直线 上，且 ，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于
F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A，令x=0，y= ，令y=0,得x= ∴A（0， ），C（ ，0），
∴OA＝ ，OC＝ ，∴AC= =2OA，∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，∴EH＝ EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝ ，∴BM＝2BC＝3 ，
∴B′M＝1＋3 ，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝ MB′＝ ，
∵BD＋ EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋ EC≥ ，
∴BD＋ EC的最小值为 ，故答案为 ．
14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形
的对角线 上时，连接 ，将 沿着 翻折，点 落在点 处．①四边形 是正方
形吗？请说明理由；②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．【答案】①是，理由见解析；②
【详解】解：①如图3，连接 ，
由（2）的结论可知， ，
四边形 是正方形， 是正方形的对角线， ， ，
， ， ， ，
由折叠可知， ， ， ， ，
， ， ， ，
， 四边形 是菱形， ， 菱形 是正方形；
②如图4，作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，
，由上知四边形 是正方形，
， ， ， ，
， ， ， ；
， ， 是等腰直角三角形， ，
， ， ， ；如图4，作 关于 的对称点 ，则 ，过点 作 交 延长线于点 ，
则 是等腰直角三角形， ，即当 ， ， 三点共线时，
最小，最小值为 的长． ， ，
， ， ， ，
，即 的最小值为 ．故答案为： ．
15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，
连接 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．连接 ．(1)求证： ；(2)求
的最小值．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：连接 ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ 是 的垂直平分线，∴ ，∴ ；
（2）解：过点N作 于点F，连接 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即 ，∴在 中， ，∴ 的最小值为 ．
16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形 中， ，连接 ，点 E，F分别
是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， ， ．
(1)如图①，当点E是边 的中点时，求 的度数；
(2)如图②，当点E是边 上任意一点时， 的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，
请说明理由；(3)若点P是线段 上的一个动点，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)不改变，见解析(3)
【详解】（1）∵四边形 是菱形，边长为6，∴ ， ，
∴ ， 是等边三角形，∴ ，
∵点E是边 的中点，∴ ， ，
∵ ，∴ ∴点F是边 的中点，
∴ ，∴ ；
（2） 的度数不改变，证明如下：
由（1）得到 ， 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点P作 于点 G，连接 ，过点F作 于点 ，交 于点 ，∵ ，∴在 中，
∴ ∴当点F，P，G三点共线，且 时， 有最小值，最小值为
的长，过点D作 于点H，
∵四边形 是菱形，∴ ，∴ 的最小值即为 的长，
∵ ， 是等边三角形，∴ ，∴ 的最小值为
．
