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专题04 阿氏圆模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、模型建立........................................................................................................................2
2、轨迹证明........................................................................................................................2
3、最值问题解读................................................................................................................3
4、区分胡不归模型和阿氏圆模型....................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................4
巩固练习.....................................................................................................................................6
压轴真题强化...........................................................................................................................10
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若
平面内有一动点P 满足PA:PB＝1，则P 点轨迹为一条直线（即线段AB 的垂直平分线），如果这个
比例不为1，P 点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便
已经回答了这个问题。本专题我们一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P 点的轨迹和阿氏圆相关的最值问
题。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、模型建立
如下图，已知A、B 两点，点P 满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
A
B
P
O
2、轨迹证明
首先了解角平分线定理和外角平分线定理：
1）角平分线定理
如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则
．证明：
，
，即
2）外角平分线定理
如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D，则
．
A
B
C
D
E
证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED 且AD 平
分∠BDE，则
，即
．
N
M
A
B
P
O
如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，
，故M 点
为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；
作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，
，故N 点为定点，即
∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．
O
P
B
A
M
N
3、最值问题解读
如图1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB， 连接
PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。故本题求
“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、
P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小（如图3）。
4、区分胡不归模型和阿氏圆模型
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨
迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
(1)求直线
及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
【答案】(1)直线
的解析式为
；抛物线解析式为
(2)存在，点M 的坐标为
或
或
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴
，
，
∴
，
将
代入直线
，得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
；
真题演练
将
代入
，得
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）存在点
，
∵直线
的解析式为
，抛物线对称轴
与
轴交于点
．
∴当
时，
，
∴
，
①当
时，
设直线
的解析式为
，将点A 坐标代入，
得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
解方程组
，
得
或
，
∴点M 的坐标为
；
②当
时，
设直线
的解析式为
，将
代入，
得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
解方程组
，
解得
或
，
∴点M 的坐标为
或
综上，点M 的坐标为
或
或
；
（3）如图，在
上取点
，使
，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，、
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴当点C、P、F 三点共线时，
的值最小，即为线段
的长，
∵
，
∴
，
∴
的最小值为
．
1、如图1，在矩形
中，
，分别以
所在的直线为
轴、
轴，建立如图
巩固练习
所示的平面直角坐标系，连接
,反比例函数
的图象经过线段
的中点
，并与矩形的
两边交于点
和点
，直线
经过点
和点
. （1）连接
、
，求
的面积；
（2）如图2，将线段
绕点
顺时针旋转—定角度，使得点
的对应点
好落在
轴的正半轴上，
连接
，作
，点
为线段
上的一个动点，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）4.
【详解】（1）连接
、
，过点D 作DP⊥OC，如图1，
∵在矩形
中，
，
∴B(3，4)，
∵点D 是OB 的中点，
∴DP=
BC=
OA=2，OP=
OC=1.5，即：D(1.5，2)，
∵反比例函数
的图象经过线段
的中点
，
∴k=xy=1.5×2=3，即：
，
∴
，E(
，4)，F(3，1)，
∴BE=3-
=
，BF=4-1=3，
∴
，
∴
=
；
（2）过点N 作NQ⊥OB 于点Q，HG⊥OB 于点G，如图2，
∵线段
绕点
顺时针旋转—定角度，点
的对应点
好落在
轴的正半轴上，
∴OH=OB=
，
∴CH= OH-OC=5-3=2，
∴BH=
，
∵
，
∴HG=BC=4，
∵
，
∴BM=
BH=
，
∵∠NOQ=∠BOM，∠OQN=∠OMB=90°，
∴∆OQN~∆OMB，
∴
，即：
，
∴NQ=
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值是：4.
2、【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足
（
且
）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏
圆”．
【模型建立】如图1 所示，圆O 的半径为r，点A、B 都在圆O 外，P 为圆O 上一动点，已知
，连接PA、PB，则当“
”的值最小时，P 点的位置如何确定？
第1 步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB、OP；
第2 步：在OB 上取点C，使得
，即
，构造母子型相似
∽
（图2）；
第3 步：连接AC，与圆O 的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，
与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，
半径为3，点
，
点
，点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB．
(1)
的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，在x 轴上取点
，连接
，
∵点
，点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当点P 在
上时，
取得最小值，
∴
，
故最小值为
；
（2）∵
，
，
∴设直线
的解析式为
，将点代入得：
，解得
，
∴
，
设
，
∵
半径为3，
∴
，
解得：
（负值舍去），
∴
，
∴
．
一、单选题
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线
的图象交x 轴于点
、
，交y 轴于点C．以下结论：①
；②
；③当以点A、B、C 为顶点的
三角形是等腰三角形时，
；④当
时，在
内有一动点P，若
，则
压轴真题强化
的最小值为
．其中正确结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线
的图象经过点
，
∴当
时，
，故①正确；
∵抛物线
的图象交x 轴于点
、
，
∴抛物线对称轴为直线
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，故②正确；
∵对称轴为直线
，
∴
；
∵
、
，
∴
，
∴
；
在
中，当
时，
，
∴
，
∴
，
当
时，则由勾股定理得
，
∴
，
∴
或
（舍去）；
同理当
时，可得
；
综上所述，当以点A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，
或
，故③错误；
当
时，
，则
，
如图所示，取点
，连接
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当点P 在线段
上时，
的值最小，即此时
的值最小，最小值为线段
的长，
在
中，由勾股定理得
，故④正确，
∴正确的有3 个，
故选：C．
二、填空题
2．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6 为
半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是 .
【答案】
【详解】如下图，在CA 上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB 中，ED+DB≥EB
∴ED+DB 最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB 中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：
．
3．（2020·江苏常州·一模）如图，在
中，点A、点B 在
上，
，
，点C 在
OA 上，且
，点D 是
的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：延长
到T，使得
，连接
，
．
，
，
点D 是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
在
中，
，
，
，
，
的最小值为
，
故答案为：
．
三、解答题
4．（2020·湖北黄冈·二模）如图，一条抛物线与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，
为抛物线的顶点，点
在
轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若
，求点
的坐标；
（3）过点
作直线
交抛物线于
，是否存在以点
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）坐标平面内一点
到点
的距离为1 个单位，求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）
或（6，0）；（3）Q（2，3）或
或
；（4）
．
【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入，得a=-1，
∴
，
（2）∵
，
∴顶点D（1，4），
设直线DB 解析式为y＝kx+b，
将D（1，4），B（3，0）代入得，
，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线DB 解析式为y＝﹣2x+6，
①如图1
1
﹣，当点P 在点B 左侧时，
∵∠PCB＝∠CBD，
∴CP∥BD，
设直线CP 解析式为y＝﹣2x+m，
将C（0，3）代入，得m＝3，
∴直线CP 解析式y＝﹣2x+3，
当y＝0 时，
，
∴
，
②如图1
2
﹣，当点P 在点B 右侧时，
作点P 关于直线BC 的对称点N，延长CN 交x 轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OC＝OB，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴∠CPB＝45°，
∴∠NBC＝45°，
∴△PBN 为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
将C（0，3），
代入直线CN 解析式y＝nx+t，
得：
，
解得，
，t＝3，
∴直线CN 解析式为
，
当y＝0 时，x＝6，
∴P'（6，0）；
综上所述，点P 坐标为
或（6，0）；
（3）①如图2
1
﹣，当四边形APQC 为平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∵yC＝3，
∴yQ＝3，
令﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴Q（2，3），
②如图2
2
﹣，当四边形AQPC 为平行四边形时，
AC∥PQ，AC＝PQ，
∴yC
y
﹣
A＝yP
y
﹣
Q＝3，
∵yP＝0，
∴yQ＝﹣3，
令﹣x2+2x+3＝﹣3，
解得，
，
，
∴
，
综上所述，点Q 的坐标为Q（2，3）或
或
；
（4）∵点M 到点B 的距离为1 个单位，
∴点M 在以点B 为圆心，半径为1 的圆上运动，如图3
在x 轴上作点
，连接BM、EM、DE，
∴
，
∵BM＝1，
∴
，
∵∠MBE＝∠OBM，
∴△MBE∽△OBM，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当点D、M、E 在同一直线上时，
最短，
∵D（1，4），
∴
，
∴
的最小值为
．
5．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数
的图象经过点
且与
轴交于原点及点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点
的坐标及直线
的表达式；
（3）判断
的形状，试说明理由；
（4）若点
为
上的动点，且
的半径为
，一动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿线段
匀速运动到点
，再以每秒1 个单位长度的速度沿线段
匀速运动到点
后停止运动，
求点
的运动时间的最小值．
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）等腰直角三角形，理由见解析；
（4）
【详解】解：（1）
二次函数
的图象经过
，且与
轴交于原点及点
∴
，二次函数表达式可设为：
将
，
代入
得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点
为二次函数图像的顶点，
∴
，
∴顶点坐标为：
，
设直线
的函数表达式为
，则有：
解之得：
∴直线
的函数表达式为
（3）
是等腰直角三角形，
过点
作
于点
，易知其坐标为
∵
的三个顶点分别是
，
，
，
∴
，
且满足
∴
是等腰直角三角形
（4）如图，以
为圆心，
为半径作圆，则点
在圆周上，依题意知：
动点
的运动时间为
在
上取点
，使
，
连接
，则在
和
中，
满足：
，
，
∴
，
∴
，
从而得：
∴
显然当
、
、
三点共线时，
取得最小值，
过点
作
于点
，由于
，
且
为等腰直角三角形，
则有
，
，
∴动点
的运动时间的最小值为：
．
