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专题 09 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变
为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是___________．【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据
等腰直角三角形的性质得到BH AC ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD PC，所以PA PC
＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA 的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC BA＝2 ，∴BH AC ，∴BP ，
∵ ， ，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴ ，∴PD PC，∴PA PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD ，∴PA+PD的最小值为 ，即PA 的最小值为 ．故答案为： ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线
段PD PC．也考查了等腰直角三角形的性质．
例2．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的
一个动点，则 的最大值为_______．
【答案】
【分析】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，进而证明 ,则在点P运动的
任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜
DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得 ．
【详解】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，
，在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形 是正方形
在 中， 故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造 是解题的关键．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形 的边长为2，锐角大小为 ， 与 相切于点
E，在 上任取一点P，则 的最小值为___________．
【答案】 ．
【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP= ，可得 ，证△APH∽△ADP，可知PH=，当B、P、H共线时， 的最小，求BH即可．
【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF= ，
∴ ，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，
∴ ，∴PH= ，
当B、P、H共线时， 的最小，最小值为BH长，
BH= ；故答案为： ．
【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则
PA＋PB的最小值为________．【答案】
【分析】 PA＋PB＝ （PA＋ PB），利用相似三角形构造 PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝ BC＝2，OB＝ r＝2 ，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝ ，
∵ ， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴ ，∴PI＝ PB，∴AP＋ PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋ PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝ BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝ ，∴AP＋ PB最小值＝AI＝ ，
∵ PA＋PB＝ （PA＋ PB），∴ PA＋PB的最小值是 AI＝ ．故答案是 ．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将 BP转化为某
一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝ BP
∴AP+ BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则 AP+PC的最小
值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是
上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP， ；（2）2 ；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为
．
【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+ BP＝AP+PD，要使AP+ BP最小，AP+AD最小，当
点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C
三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定 ，且∠AOP＝
∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．
【详解】解：(1)如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+ BP＝AP+PD，要使AP+ BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+ BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝ ；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝ ，
∴AP+ BP的最小值为 ；故答案为： ；
(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴ ，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴ ，∴PF＝ AP，∴ AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝ ，
∴ AP+PC的值最小值为2 ，故答案为：2 ；
(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴ ，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴ ，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4 ，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝ ，∴2PA+PB的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料
中的思路构造出相似三角形..例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形 的边长为4，圆B的半径为2，点P
是圆B上的一个动点，求 的最小值， 的最小值， 的最大值．
（2）如图2，已知正方形 的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求 的
最小值， 的最大值， 的最小值．
（3）如图3，已知菱形 的边长为4， ，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
的最小值和 的最大值． 的最小值
【答案】见详解
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出 ，推出PG=
PC，推出PD+ PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+ PC的值最小，最小值为DG=
=5．由PD- PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD- PC的值最大（如图2中），最大值
为DG=5；可以把 转化为4（ ），这样只需求出 的最小值，问题即可
解决。
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时， 的值最小，最小值为DG= =5．
当点P在DG的延长线上时， 的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF= ，作EF⊥BC
∵ ∴△PBF∽△PBD，∴PF= PD，
∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即 PD+PC，由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF= ，BE=EF= ，
∴最小值为FC= = =
∴ 的最小值为： ．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时， 的值最小，最小值为DG= = ．
当点P在DG的延长线上时， 的值最大，最大值为DG= ．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时， 的值最小，最小值为DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°= ，CF=2，
在Rt△GDF中，DG= = PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时， 的值最大（如图2中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短
等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之
间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例7．（2022·广东·广州市九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，
D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且 ，则4PD+2PC的最小值为_______．
【答案】
【分析】取一点 ，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明 ，再利用相似三角形的性质证
明 ，推出 ，根据 ，过点D作 交OC于
点E，即可求出DT的最小值，即可得．
【详解】解：如图所示，取一点 ，连接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心，OA为半径作 ，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵ ， ，∴ ，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴ ，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，过点D作 交OC于点E，
∵D的坐标为（5，3），∴点E的坐标为（5，0），TE=4，∴
∵ ，∴ ，∴ 的最小值是 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．课后专项训练
1．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在
上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ，求
的最小值问题转化为求 的最小值．求出 即可判断．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ．
， ， ， ， ，
， ， ， ，
，
又 在 中， ， ， ，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造相似三角形解决问题．2．（2022·四川泸州·校考一模）如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且
， ， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，先利用勾股定理求得 ， ，在 上截取 ，过 作
于 ， 于 ，求得 ， ， ，进而求得 ，证明
求得 ，利用两点之间线段最短得到 ，当 共
线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接 ，∵ 为 的直径， ，∴ ，
∵在 中， ，∴ ， ，
在 上截取 ，过 作 于 ， 于 ，连接 、 ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，∵ ， 是公共角，∴ ，
∴ ，则 ， ∴ ，当 共线时取等号，
故 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之
间线段最短等知识，解答的关键是截取在 上截取 ，构造相似三角形求得 是关键．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．
连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得 即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝ QD，故 DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝ ，cos∠PCQ＝ ，
∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴
∵BP＝ ，∴AQ＝2，∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，
∵ ， ，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ，
∴ 即EQ＝ QD，∴ DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，
∴ ，∴ DQ+CQ的最小值为5．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键
在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
4．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为
半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .【答案】
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将 转化为DE，从而求得
的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4 ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴
∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴ 在Rt△ECB中，EB=
∴ ∴2AD+3DB= 故答案为： ．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
5．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是
扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．【答案】 ．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明 ，推出 ＝ ＝ ，
推出PT＝ PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝ AT•AB，∴ ＝ ，
∵∠PAT＝∠PAB，∴ ，∴ ＝ ＝ ，∴PT＝ PB，∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt 中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝ ＝ ，∴ PB+PC≥ ，∴ PB+PC的最小值为 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关
系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据
等腰直角三角形的性质得到BH AC ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD PC，所以PA PC
＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA 的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴AC BA＝2 ，∴BH AC ，∴BP ，
∵ ， ，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴ ，∴PD PC，∴PA PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD ，
∴PA+PD的最小值为 ，即PA 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD PC．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的
一个动点，则PD﹣ PC的最大值为 ．
【答案】5
【详解】分析: 由PD− PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝
5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵ ， ，∴ ，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴ ，∴PG＝ PC，
当点P在DG的延长线上时，PD− PC的值最大，最大值为DG＝ ＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似
三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于
中考压轴题．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边
CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
【答案】5
【分析】因为DG＝ EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，
从而得出GI＝ CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝ ，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，∴ ＝ ＝ ，
∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴ ＝ ，
∴IG＝ ，∴BG+ ＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+ CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点 的运动轨迹是解题的关键．
9．如图，扇形 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点， ， 是 上
一动点，则 的最小值为 ．
解：如图，延长 使 ，连接 ， ， ，
， ， 分别是 ， 的中点， ， ， ，
，且
， ， ，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 的值最小，
， ， 的最小值为13，
的值最小值为 ．故答案为： ．10．（2023·四川成都·九年级专题练习）在 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是
上一动点，连接PB，PC，则 的最小值_____________ 的最小值_______
【答案】
【分析】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到 ，
推出 ，当 三点共线时， 的值最小，最小值为
的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；
②在AC上取点G，使AG= ，连接PG，BG，同①得到当 三点共线时， 的值最小，最小值为 的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解．
【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，
∵⊙A的半径为6，即AP=6，∴ ，又 ，且 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， 的值最小，最小值为 的长，过C作CI⊥AB于I，
∴ ，在Rt CIB中，∵ ，BC=8，
△
，∴ ，∴ ，
，在Rt CIQ中， ，
△
∴ 的最小值为 ；故答案为： ；
②连接AP，由①得：在Rt CIA中， ，
△
在AC上取点G，使AG= ，连接PG，BG，∴ ，∵ ，∴ ，
且 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， 的值最小，最小值为 的长，过G作GH⊥AB于H，
∴ ，在Rt CIA中， ，
△
在Rt GAH中， ，∴ ，∴ ，
△
，在Rt GHB中， ，
△
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点．
16．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义
为射线 上一点 ，满足 ．
显然点A也是点 的反演点．即点A与点 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点 的变换或从点 到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径的圆，交y轴的正半轴于点
B；C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ；若C关于 的反演点分别为 ．
（1）求点 的坐标；（2）连接 、 ，求 的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， ．
∴ ，故点 的坐标为 ；
（2）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ，
即 ，而 ，∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．故 的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ．
（1）点D关于 的反演点 的坐标为________；（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有
的特征是__________________．
【答案】（1） ；（2）13；（3）过点A且与x轴垂直的一条直线
【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论；
（2）连接 ，根据相似三角形的判定定理证出 ，列出比例式即可求出 ，然
后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论；
（3）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和 ，根据相似三角形
的判定定理证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，然后根据直径所对的圆周
角是直角即可求出 =90°，从而得出结论．
【详解】解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， ．
∴ ，∴点D关于 的反演点 的坐标为 故答案为： ；
（2）连接 ，由反演变换知 ，即 ，而 ，
∴ ．∴ ，即 ．
∴ ．故 的最小值13．
（3）在 上任取一点P，连接OP并延长至点P关于 的反演点 ，连接AP和
由反演变换知 ，即 ，而 ，
∴ ，∴
∵OA为 的直径∴ 90°∴ =90°∴ ⊥x轴
∴ 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直
线
故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线．
【点睛】此题考查的是圆的综合题型和相似三角形的判定及性质，掌握直径所对的圆周角是直角、相似三
角形的判定及性质和反演变换的定义是解题关键．
17．（2023·江苏·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
① ，② ，③ ，④ 的最小值．
【答案】① ；② ；③ ；④ ．
【分析】①在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证 ，即可
得出 ，从而推出 ，说明当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即
为 长．最后在 中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由 ，即可求出结果；③在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．根据
作图结合题意易证 ，即可得出 ，从而推出 ，说明当B、P、E三点
共线时， 最小，最小值即为 长．最后在 中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由 ，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．
∵ ， ， ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，
∴当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．∴ 的最小值为 ；
②∵ ，∴ 的最小值为 ；
③如图，在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．
∵ ， ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴当B、P、E三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．∴ 的最小值为 ；
④∵ ，∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三
点共线时线段最短是解答本题的关键．
18．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形
CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F
在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得
△DCM∽△ACD，可得DM＝ AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝
∠DCB，
∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴ ，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝ ，∴BD+ AD＝ ；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝ ，AD＝ ＝ ，
∴BD+ AD＝ ，综上所述，BD＋ AD的值 或 ；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝ ，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴ ＝ ，
∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴ ＝ ＝ ，∴DM＝ AD，∴BD+ AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，最小值 ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．（2022·广东·统考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且
AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是
⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，
∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明 PAQ∽ BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点△Q，使△得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值
最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；
（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定
理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQAB=4．∴ ．
⋅
又∵∠A=∠A，∴ PAQ∽ BAP．∴ ．∴PB=2PQ；
△ △
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC= =5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂
直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= = ，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2 ．∴2PC−PB的最大值为2 ．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线
段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为
两点之间线段最短解决．
