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专题 38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动
点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，
即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一
类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动
时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
Q M
Q
P
A P O
A O
模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。
Q Q
M
P
α α P
A O A α O
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。P P
P
P P
P
A B
O
A B
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点，
点 是 的中点，则 的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 与x轴的正半轴交于点
A，点B是 上一动点，点C为弦 的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到
直线 的最小距离为（ ）A．1 B． C． D．
例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P是以边 为直径的
上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为
．
例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B
是 上一点， 的半径为2，将 绕O点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值
为（ ）
A． B． C．5 D．6
例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作
圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，
连结AF，则AF的最小值是 ．
例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ，，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接
，则 长的最大值为 ．
例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上
有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大
值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形
上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形
关于图形 的“关联图形”．(1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出
点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出
的取值范围；(2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为 的圆，点 在线段关于圆的“关联图形”
上，记点 的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围
（用含 和 的式子表示）．1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段 ，点 为 的中点，动点 到点 的距离是1，连接 ，
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图， 中， ， ，点D是 的中点，P是
以A为圆心，以 为半径的圆上的动点，连接 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点 的动直线a，b，其夹角 ，
点M是 中点，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边 的边长为 ， 是 上一点， ，把 绕
点 旋转一周， 点的对应点为 ，连接 ， 的中点为 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大值
是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形 边 的中点，P是三角形内一点，连接 ，
将线段 以A为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．
7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接
，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值
为 ．
8．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图， ， ，点 是线
段 上一个动点，连接 ，将线段 沿直线 进行翻折，点 落在点 处，连接 ，以 为斜
边在直线 的左侧 或者下方 构造等腰直角三角形 ，则点 从 运动到 的过程中，线段 的最
小值是 ，当 从点 运动到点 时，点 的运动总路径长是 ．9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径
作圆，E是 A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF，
连接AF ，则AF 的最小值是 ．
10．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形 左侧
一点，连接 、 ，且 ，连接 ， 为 的中点，连接CE，则CE的最大值为 ．
11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形 的边长为5，以 为圆心，2为半径作 ，点 为
上的动点，连接 ，并将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，在点 运动的过程中， 长度
的最大值是 ．
12.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 上任意一点，点 在 外，已知 ，是等边三角形，则 的面积的最大值为
13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以
点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为 上的动点△，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC
的上方，且满足 ，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在 上运动过程
中，BF存在最大值为 ．
14．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，AB4，O为AB的中点， O的半径为1，点P是 O上一
动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC （点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取
值范围为 ．
15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形 中， ， 是线段 上一动点，点 ， 绕点 逆时
针旋转 得到点 ， ，若在运动过程中 的度数最大值恰好为 ，则 的长度为 ．16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形 中， ，
， 是 上一动点，则 的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形 中， ，点 是平面上一点，且 ，连接 ，在 上
方作正方形 ，求 的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正
方形区域 进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角 为健身运动
区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形 的弧 上．设计铺设 和 这两条不同造价鹅卵石路，
已知 米， 米， ， ，若铺设 路段造价为每米200元，铺设
路段的造价为每米100元，请求出铺设 和 两条路段的总费用的最小值．17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径为2，点
是 外的一个定点， ．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．当点 在
上运动一周时，试探究点 的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使
，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点 在直线 上时，易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点，
点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点
的对称点 ，连接 ．
（1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________．
（2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则
________________．18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图 ，已知
半径是 ，点 是 上的一个动点，点 是平面内一点， ，求证：线段 的最大值
为 ．
【问题解决】经过分析，如图 ，小明将 延长交 于点 ，并猜想此时 最大，为了验证这个猜
想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合 ， 连结 、 ，
证明过程缺失
则 ，则此时， 最大， 最大值为 ．
【问题延申】如图 ， 在 中， ， ， ， 点 是边 上的一个动点，
连结 ， 过点 作 于点 ， 连结 ， 则线段 的最小值是 ．
【拓展提升】如图 ，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知
米， ， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据
设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建
仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其
他因素，则仿古长廊 最短为 米．(结果保留根号)
