文档内容
2012年湖南省常德市中考数学试卷
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚
1．（3分）若向东走5米记作+5米，则向西走5米应记作 米．
2．（3分）我国南海海域的面积约为3500000km2，该面积用科学记数法应表示为 km2．
3．（3分）因式分解：m2﹣n2＝ ．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距
离是 ．
5．（3分）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
6．（3分）已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差S2
甲
＝1.3275，乙种棉花的纤维长度的方差S2
乙
＝1.8775，则甲、乙两种棉花质量较好的是
．
7．（3分）若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为 厘米．
8．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[3.14]＝3．按此规定[
]的值为 ．
二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚
9．（3分）若a与5互为倒数，则a＝（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．
10．（3分）如图所给的三视图表示的几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台
11．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
第1页（共17页）A．a3•a4＝a12 B．a10÷a2＝a5 C．a2+a3＝a5 D．4a﹣a＝3a
12．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|+b＜0 D．a﹣b＞0
13．（3分）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
14．（3分）对于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
15．（3分）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤4 D．
16．（3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然
后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下
去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）
A．2 B． C． D．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算： ．
18．（5分）解方程组：
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
第2页（共17页）19．（6分）化简： ．
20．（6分）在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2，3，4，这些球除号码不
同外其它均相同．甲、乙、两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：先由甲同学从中随机摸出一
球，记下球号，并放回搅匀，再甲乙同学从中随机摸出一球，记下球号．将甲同学摸出的球
号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被4整除，则
甲胜，否则乙胜．
问：这个游戏公平吗？请说明理由．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可
疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航
行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？
（结果保留根号）
22．（7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
A种产品 B种产品
成本 （万元/件） 0.6 0.9
利润 （万元/件） 0.2 0.4
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方
案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）某市把中学生学习情绪的自我控制能力分为四个等级，即A级：自我控制能力很
强；B级；自我控制能力较好；C级：自我控制能力一般；D级：自我控制能力较差．通过对
该市农村中学的初中学生学习情绪的自我控制能力的随机抽样调查，得到下面两幅不完
整
的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
第3页（共17页）（1）在这次随机抽样调查中，共抽查了多少名学生？
（2）求自我控制能力为C级的学生人数；
（3）求扇形统计图中D级所占的圆心角的度数；
（4）请你估计该市农村中学60000名初中学生中，学习情绪自我控制能力达B级及以上等
级的人数是多少？
24．（8分）如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作
圆，且 O过A点，过A作AD∥BC交 O于D，
求证：⊙（1）AC是 O的切线； ⊙
（2）四边形BOAD⊙是菱形．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿
射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在
线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论： BN＝CP； OP＝ON，且OP⊥ON；
（2）设AB＝4，BP＝x，试确定以O、P、B、N为①顶点的四边形②的面积y与x的函数关系．
第4页（共17页）26．（10分）如图，已知二次函数y＝ （x+2）（ax+b）的图象过点A（﹣4，3），B（4，4），且与x
轴交于C，D两点（C在D点左侧）．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在
以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
第5页（共17页）2012年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚
1．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以向东走5米，记作+5米，则向西走5米，记作﹣5米．
故为﹣5．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．
故答案为：3.5×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】运用a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解即可．
【解答】解：原式＝（m+n）（m﹣n），
故答案为（m+n）（m﹣n）．
【点评】考查因式分解的知识；若只有两项，又没有公因式，应考虑用平方差公式分解．
4．【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求
出CD＝ED，代入求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝2（角平分线性质），
故答案为：2．
【点评】本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适
第6页（共17页）中．
5．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4，
则自变量x的取值范围是x≥4．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
6．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S2
甲
＝1.3275，S2
乙
＝1.8775，
∴S甲 2＜S乙 2，则棉花质量较好的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．【分析】根据梯形的中位线平行于上下两底且等于上下两底和的一半进行计算．
【解答】解：∵梯形的上、下底的长分别是10米和30厘米，
∴梯形的中位线的长＝（10+30）÷2＝20cm．
故答案为20．
【点评】本题主要考查梯形中位线定理，是基础知识比较简单．
8．【分析】求出 的范围，求出 +1的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴3+1＜ +1＜4+1，
∴4＜ +1＜5，
∴[ +1]＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定 +1的范围，题目比较新颖，是一道
比较好的题目．
二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚
9．【分析】根据倒数的定义，即可得到5的倒数．
【解答】解：∵a与5互为倒数，
∴a＝ ．
第7页（共17页）故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ．
10．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几
何体应该是圆柱．
故选：B．
【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱
体．
11．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并
同类项只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a3•a4＝a7，故本选项错误；
B、应为a10÷a2＝a8，故本选项错误；
C、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、4a﹣a＝3a，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及合并同类项，比较简单．
12．【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，b＞2，根据a、b的范围，即可判断每个式子的值．
【解答】解：A、∵根据数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，b＞2，
∴a+b＞0，故本选项正确；
B、∵根据数轴可知：a＜0，b＞2，
∴ab＜0，故本选项错误；
C、∵根据数轴可知a＜0，b＞2，
∴|a|＞0，
∴|a|+b＞0，故本选项错误；
D、∵根据数轴可知：a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了数轴和实数的应用，关键是能根据a、b的取值范围判断每个式子是否
正确，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
13．【分析】由于2+4＝6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，根据圆与圆的位置关系的判定即
第8页（共17页）可得到它们外离．
【解答】解：∵2+4＝6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，
∴两圆外离．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞
R+r，两圆外离；若d＝R+r，两圆外切；若R﹣r＜d＜R+（r R≥r），两圆相交；若d＝R﹣（r R
＞r），两圆内切；若0≤d＜R﹣r（R＞r），两圆内含．
14．【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵函数y＝ 中k＝6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本
选项正确；
B、∵函数y＝ 是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项
正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝xk（k≠0）的图象是双曲线，当
k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
15．【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求
出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，
∴b2﹣4ac＝22﹣4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac
有关，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等
的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
16．【分析】在图2中，折线的长度为：1+ ＝ ；在图3中，折线的长度为： + × ＝ ；在
第9页（共17页）图4中，折线的长度为： + × ＝ ，从而可求出折线的总长度．
【解答】解：由题意得：在图2中，折线的长度为：1+ ＝ ；
在图3中，折线的长度为： + × ＝ ；
在图4中，折线的长度为： + × ＝ ．
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，
其关键是读懂题意，找出规律解答．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．【分析】根据绝对值的定义、零指数幂的法则、负整数指数幂的法则、特殊三角函数值计算
即可．
【解答】解：原式＝1+1﹣2+1＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
18．【分析】本题用加减消元法或代入消元法均可．
【解答】解：
+ 得：3x＝6，（3分）
①x＝2②，（4分）
把x＝2代入 得：y＝3．（7分）
①
∴ ．（8分）
【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．【分析】将被除式括号中两项通分，并利用同分母分式的加法法则计算，除式中的三项通
分，并利用同分母分式的加减运算法则计算，整理后再利用除以一个数等于乘以这个数的
倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果．
【解答】解：（x+ ）÷（2+ ﹣ ）
＝ ÷
第10页（共17页）＝ •
＝ ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母
出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
20．【分析】根据游戏规则，先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再甲乙同
学从中随机摸出一球，记下球号，列举出所有符合要求的数据，进而求出概率即可．
【解答】解：根据题意列出表格：
2 3 4
2 （2，2） （3，2） （4，2）
3 （2，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （4，4）
故能组成的两位数有22，23，24，34，32，33，42，43，44．
能被4整除的有：24，32，44，
故P（甲胜）＝ ，
P（乙胜）＝ ，
∵两人获胜概率不同，故这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了利用列表法求概率以及游戏公平性，列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事
件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．【分析】首先在直角三角形BCD中求得CD的长，然后在直角三角形ACD中求得AC的
长即可．
【解答】解：如图：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
∵在直角三角形BCD中，BC＝12×1.5＝18海里，∠CBD＝45°，
∴CD＝BC•sin45°＝18× ＝9 海里，
∴在直角三角形ACD中，AC＝CD÷sin30°＝9 ×2＝18 海里，
第11页（共17页）故我渔政船航行了18 海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形
并求解．
22．【分析】设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，依据投入资金不超过40万元，且希
望获利超过16万元，可得出不等式组，解出即可得出答案．
【解答】解：设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，
由题意得，投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，
故可得： ，
解得： ≤x＜20，
∵x取整数，
∴x可取17、18、19，
共三种方案： A 17件，B 33件；
A 18件，B① 32件；
②A 19件，B 31件．
③第一种方案获利：0.2×17+0.4×33＝16.6万元；
第二种方案获利：0.2×18+0.4×32＝16.4万元；
第三种方案获利：0.2×19+0.4×31＝16.2万元；
故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．
答：工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万元．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，属于实际应用类题目，解答本题的关键是
根据题意不等关系得出不等式组，难度一般．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．【分析】（1）根据条形图得出A级人数为80人，再利用扇形图得出A级所占百分比为
16%，即可求出样本总数；
（2）根据（1）中所求总人数，以及C级所占百分比，即可得出自我控制能力为C级的学生
第12页（共17页）人数；
（3）根据A，B，C，在扇形图中所占百分比，即可得出D级所占的百分比，进而得出D级所
占的圆心角的度数；
（4）利用样本中自我控制能力达B级及以上等级的所占百分比，即可估计该市农村中学
60000名初中学生中，学习情绪自我控制能力达B级及以上等级的人数．
【解答】解：（1）∵条形图中A级人数为80人，扇形图中A级所占百分比为16%，
80÷16%＝500，
∴在这次随机抽样调查中，共抽查500名学生；
（2）∵C级所占百分比为42%，
500×42%＝210，
∴自我控制能力为C级的学生人数为210人；
（3）∵D级所占的百分比为：1﹣42%﹣16%﹣24%＝18%，
∴D级所占的圆心角的度数为：360°×18%＝64.8°；
（4）∵样本中自我控制能力达B级及以上等级的所占百分比为：16%+24%＝40%，
40%×60000＝24000，
∴该市农村中学60000名初中学生中，学习情绪自我控制能力达B级及以上等级的人数
是24000人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形
统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数，求出
∠BAO，求出∠OAC＝90°，根据切线的判定求出即可；
（2）连接AE，求出∠AEB的度数，根据平行线求出∠DAO，根据圆内接四边形性质求出
∠D，根据四边形的内角和定理求出∠DAO，根据平行四边形的判定得出平行四边形
BOAD，根据菱形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝30°，
第13页（共17页）∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝120°﹣30°＝90°，
即OA⊥AC，
∵OA为 O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
⊙
（2）证明：连接AE，
∵∠AOB＝∠C+∠OAC＝30°+90°＝120°，
∴由圆周角定理得：∠AEB＝ ∠AOB＝60°，
∵D、B、E、A四点共圆，
∴∠D+∠AEB＝180°，
∴∠ADB＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA＝180°，
∴∠DAO＝60°，
∴∠DBO＝360°﹣60°﹣120°﹣120°＝60°，
即∠D＝∠BOA，∠DBO＝∠DAO，
∴四边形BOAD是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴平行四边形BOAD是菱形．
【点评】本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四
边形的判定、平行线性质、菱形的判定、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生
的推理能力，是一道比较好的题目．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．【分析】（1）根据正方形的性质得出DC＝BC，∠DCB＝∠CBN＝90°，求出∠CPD＝
第14页（共17页）∠DCN＝∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP＝BN，证△OBN≌△OCP，推出ON＝OP，
∠BON＝∠COP，求出∠PON＝∠COB即可；
（2）同法可证图2时，OP＝ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN ＝S△OBN +S△BOP ，代入求出即
可；图2中，S四边形OBNP ＝S△POB +S△PBN ，代入求出即可．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC＝OB，DC＝BC，∠DCB＝∠CBA＝90°，∠OCB＝∠OBA＝45°，∠DOC＝90°，
DC∥AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD＝∠DOC＝90°，
∴∠BCN+∠CPD＝90°，∠PCN+∠DCN＝90°，
∴∠CPD＝∠CNB，
∵DC∥AB，
∴∠DCN＝∠CNB＝∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中
，
∴△DCP≌△CBN（AAS），
∴CP＝BN，
∵在△OBN和△OCP中
，
∴△OBN≌△OCP（SAS），
∴ON＝OP，∠BON＝∠COP，
∴∠BON+∠BOP＝∠COP+∠BOP，
即∠NOP＝∠BOC＝90°，
∴ON⊥OP，
即ON＝OP，ON⊥OP．
（2）解：∵AB＝4，四边形ABCD是正方形，
第15页（共17页）∴O到BC边的距离是2，
图1中，S四边形OPBN ＝S△OBN +S△BOP ，
＝ ×（4﹣x）×2+ ×x×2，
＝4（0＜x≤4），
图2中，S四边形OBNP ＝S△POB +S△PBN
＝ ×x×2+ ×（x﹣4）×x
＝ x2﹣x（x＞4），
即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是： ．
【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解
（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题
具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．
26．【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析
式；
（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股
定理的逆定理证明即可；
（3）分两种情况进行讨论， △DHP∽△BCA， △PHD∽△BCA，然后分别利用相似三
角形对应边成比例的性质求①出点P的坐标． ②
【解答】解：（1）由题意得，函数图象经过点A（﹣4，3），B（4，4），
故可得： ，
解得： ，
故二次函数关系式为：y＝ （x+2）（13x﹣20）．
（2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（﹣2，0），点D坐标为（ ，0），
第16页（共17页）又∵点A（﹣4，3），B（4，4），
∴ AB ＝ ＝ ， AC ＝ ＝ ， BC ＝
＝2 ，
∵满足AB2＝AC2+BC2，
∴△ACB是直角三角形．
（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
设点P坐标为（x， （x+2）（13x﹣20）），则PH＝ （x+2）（13x﹣20），HD＝﹣x+ ，
若△DHP∽△BCA，则 ＝ ，即 ＝ ，
①
解得：x＝﹣ 或x＝ （因为点P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH＝ ，即P 坐标为（﹣ ， ）；
1
若△PHD∽△BCA，则 ＝ ，即 ＝ ，
②
解得：x＝﹣ 或x＝ （因为点P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH＝ ，即P 坐标为：（﹣ ， ）．
2
综上所述，满足条件的点P有两个，即P （﹣ ， ）、P （﹣ ， ）．
1 2
【点评】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二
次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注
意细心求解．
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日期：2020/9/4 11:50:59；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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