2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分精练（教师版）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学几何模型综合训练(通用版)

专题 38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .........................................................................................................................................................................................1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1 ..................................................................................................................................................12 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动 点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的， 即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一 类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动 时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 Q M Q P A P O A O 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从 动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 Q Q M P α α P A O A α O 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。P P P P P P A B O A B （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点， 点 是 的中点，则 的最小值为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接 交 于 ，连接 ，由题 意得出 是 的中位线，则 ，从而得到当 最小值， 最小，即当 运动到 时， 最小，此时 也为最小，求出 的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 交 于 ，连接 ， ∵ ， ，∴ ， ，∴ ，， ∵点 是 的中点，∴ ，∴ 是 的中位线，∴ ， ∴当 最小值， 最小，∴当 运动到 时， 最小，此时 也为最小， ∵ ，∴ 的最小值为 ，故选：A． 例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 与x轴的正半轴交于点 A，点B是 上一动点，点C为弦 的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到 直线 的最小距离为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定 点的轨迹是 ，则C到直线 的最小距离为 ，根据相似得到边长的数量关系， 列方程直接求解即可． 【详解】解：连接 ，如图，∵点C为弦 的中点，∴ ，∴ ，∴点C在以 为直径的圆上（点O、A除外）， 以 为直径作 ，过P点作直线 于H，交 于M、N， 当 时， ，则 ，当 时， ，解得 ，则 ， ∴ ，∴ ，∵ 的半径为2，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 即 ，解得 ，∴ ， ． ∴点C到直线 的最小距离为 ．故选：C． 【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定 点的轨迹是圆，则C到直线 的最小距离为 ，根据相似列方程直接求解即可． 例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P是以边 为直径的 上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】连接 、 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，通过证明，得出 ，从而得出点Q在以点 为圆心， 为半径的圆上运动；则当 点O， ，P三点在同一直线上时， 取最大值，易证 为等边三角形，求出 ，即 可求出 ． 【详解】解：连接 、 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ， ∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，∴ ， ， ∵ 为等边三角形，∴ ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ，∴ ， ∵ ，四边形 为正方形，∴ ，则 ， ∴ ，∴点Q在以点 为圆心， 为半径的圆上运动； ∴当点O， ，P三点在同一直线上时， 取最大值， 在 中，根据勾股定理可得： ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形，∴ ， ∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌 握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B 是 上一点， 的半径为2，将 绕O点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值 为（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】把 绕O点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 以点 为圆心作 ，使 的半径为2， 点B是 上一点，则点 是 上一点，当点 三点共 线，即点 在 上时， 最小． 【详解】解：如图，把 绕O点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，以点 为圆心作 ，使 的半径为2， ， ， ， ， ， ， 过 作 于点 ， ， 在 中， ， 点B是 上一点，则点 是 上一点， ， 当点 三点共线，即点 在 上时， 最小， ，故线段 的最小值为 ．故选：A．【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出 正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作 圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF， 连结AF，则AF的最小值是 ． 【答案】 【分析】通过证 可得 ，由勾股定理可得 ，根据三角形三边 关系求AF的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG， ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE， ∵ ，∴ ，∴ ， 又AE=1，解得 ，由勾股定理可得， ， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF= ；故答案为： . 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定 与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键. 例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ．【答案】 / 【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由 ，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径 为1的 上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 （定长）， 点 是定点， 是定长， 点 在半径为1的 上， ， 的最大值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上 有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大 值是（ ）A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的 确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取 的中点 ，连接 ， ，证明 在以 为圆心， 为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时， 最大， ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 的最大值为 ．故选A 例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形 上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形 关于图形 的“关联图形”．(1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出 点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出 的取值范围；(2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为 的圆，点 在线段关于圆的“关联图形”上，记点 的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围 （用含 和 的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；② 或 (2) 【分析】（ ） 根据新定义找出关键点 的旋转 后连接 即可； 同上理分情况讨论即可； （ ）画出分析图，如图所示，线段 的长度为 ，圆 的半径为 ，易得 且相似比为 ，再移动图形即可求出 ；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练 掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： 如图所示：线段 即为所求； 如图：当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点， ∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点；当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点， ∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点； 综上所述： 或 ； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段 的长度为 ，圆 的半径为 ， 点 分别绕点 顺时针旋转 得到 ，分析可知 且相似比为 ， 可得圆 的半径均为 ，随意转动图，可得 ． 1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段 ，点 为 的中点，动点 到点 的距离是1，连接 ， 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最大值是（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】以 为斜边向上作等腰直角 ，连接 ， ．利用相似三角形的性质证明 ，推出点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，根据 ，可得结论． 【详解】解：以 为斜边向上作等腰直角 ，连接 ， ． ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ∴ ，同理 ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， ， ，故线段 长度的最大值为 ．故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系， 三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压 轴题． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图， 中， ， ，点D是 的中点，P是 以A为圆心，以 为半径的圆上的动点，连接 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定 ，分别确定A点的运动轨迹为阿氏 圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆 ，，由此可知，当 最最小时， 的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定 ，则 ，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设 ，则 ， ，则 ， ∵ ， ，∴C点的运动轨迹为阿氏圆 ，∴ ， ∴ ，∴当 最小时， 的值最大， ，∴ ，故选：D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点 的动直线a，b，其夹角 ， 点M是 中点，连接 ，则 的最小值是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C【分析】作 的外接圆 ，连接 ，取 的中点Q，连接 ，证明 是等边三角 形，求出 ，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出 ，当M在 与 的 交点时，连接 交 于M，此时 有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作 的外接圆 ，连接 ，取 的中点Q，连接 ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形，∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出 ， 当M在 与 的交点时，连接 交 于M，此时 有最小值， ∵ 是等边三角形， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ．∴ 的最小值是 ，故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性 质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边 的边长为 ， 是 上一点， ，把 绕 点 旋转一周， 点的对应点为 ，连接 ， 的中点为 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取 中点 ，连接 ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出 ，根据三角形中位线 定理得到 ，再利用三角形三边关系 即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵ ，把 统点 旋转一周，∴ ， 等边 的边长为 ，点 是 中点，∴ ， ， ∴ ， ∵点 是 的中点，∴ ，又∵ ，∴ ， 在 中， ，∴ 的最小值为 ，故选： ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上有 一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大值 是（ ）A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的 确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取 的中点 ，连接 ， ，证明 在以 为圆心， 为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时， 最大， ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 的最大值为 ．故选A 6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形 边 的中点，P是三角形内一点，连接 ， 将线段 以A为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有 关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接 ， ，将线段 绕着点A逆 时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，由旋转性质可推导 ， 是等边三 角形，则 ， ，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可 知当M、Q、H共线时， 最小，最小值为 ，根据等边三角形的性质求得 值即可求解． 【详解】解：连接 ， ，将线段 绕着点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 由旋转性质得 ， ， ，即 ， ∴ ， 是等边三角形，∴ ， ， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵ ，∴当M、Q、H共线时， 最小，最小值为 ， ∵点M是等边三角形 边 的中点， ，∴ ， ， ∴ ，即 ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值 为 ． 【答案】 【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆 心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任 一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共 线时， 的值最小，可求 ，从而可求解． 【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆， 如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小， 四边形 是正方形， ， ， 是 的中点， ， ， 由旋转得： ， ， ， 的值最小为 ．故答案： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性 质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．8．（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图， ， ，点 是线 段 上一个动点，连接 ，将线段 沿直线 进行翻折，点 落在点 处，连接 ，以 为斜 边在直线 的左侧 或者下方 构造等腰直角三角形 ，则点 从 运动到 的过程中，线段 的最 小值是 ，当 从点 运动到点 时，点 的运动总路径长是 ． 【答案】 【分析】由 ，可得 在以 为圆心， 为半径的 圆上运动 从 运动到 ，当 、 、 共线时， 最小；连接 ， ，可证明 ∽ ，从而得出 ，故点 在以 为圆心， 为半径的 圆上运动，当点 从点 运动到点 时，点 运动 ，进一步求得结果． 【详解】解：如图，连接 ，而 ， ， ∴ ，由折叠得： ， 点 在以 为圆心， 为半径的 圆上运动 从 运动到 ，当 、 、 共线时， 最小， ，连接 ， ， ， ，同理： ， ， ， ， ， ∽ ， ， ， 点 在以 为圆心， 为半径的 圆上运动，如图， 当点 从点 运动到点 时，点 运动 ， ， 点 运动的路径长为： ，故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周 长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 9.（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径 作圆，E是 A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF， 连接AF ，则AF 的最小值是 ．【答案】2 51 【分析】通过证  EDA∽  FDT 可得 FT 1 ，由勾股定理可得AT  AD2DT2 2 5，根据三角形三边关 系求AF 的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点T，连接AE、FT、AT ， ∵四边形ABCD是正方形，∴ADCD4，ADC 90， 1 DE AD ∵DT CT  CD2，DE 2DF，∴  2， 2 DF DT AE ED ∵ ，∴ ，∴ ，∴  2，∴ ， EDF ADC90 EDAFDT EDA∽ FDT TF FD FT 1   ∵AT  AD2DT2 2 5，∴AF  AT TF，∴AF 2 51，∴ AF 的最小值为2 51 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形 左侧 一点，连接 、 ，且 ，连接 ， 为 的中点，连接CE，则CE的最大值为 ． 【答案】3 【分析】延长 至F，使 ，连接 ，点O为 的中点，以点O为圆心， 为直径作圆，连接 ， 延长线交 于点 ，交 于点G，连接 ；由 且点Q在矩形的左侧知，点 Q是在 上运动，由题意及辅助线作法知， 为 的中位线，则 ，当F、O、Q三 点共线时， 最长，最大值为 的长度；利用相似三角形的性质可求得 的长，从而求得 ，最后求出 的长，从而可求得 的最大值． 【详解】如图，延长 至F，使 ，连接 ，点O为 的中点，以点O为圆心， 为直径作 圆，连接 ， 延长线交 于点 ，交 于点G，连接 ， ∵ ，∴点Q是在以点O为圆心， 为直径的圆上运动， ∵Q是矩形 左侧一点，∴点Q是在 上运动， ∵ ，∴点C为 的中点，∵点E为 的中点，∴ 为 的中位线，∴ ， ∵ ，∴当F、O、Q三点共线时， 最长，此时 的最大值为 的长度， ∵ ，∴ ，∵四边形 为矩形， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，解得： ，∴ ， ， 在 中，由勾股定理得 ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知 识，确定出点Q的运动路径、求 的最大值转化为求 的最大值是解题的关键与难点． 11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形 的边长为5，以 为圆心，2为半径作 ，点 为 上的动点，连接 ，并将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，在点 运动的过程中， 长度 的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连 接 ，证明 ，得到 ，点 在以 为圆心，2为半径的 上，当 在对角线 延长线上时， 最大，再利用勾股定理求对角线 的长，即可得出 长度的最大值． 【详解】解：连接 ，∵正方形 ，∴ ， ， ∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴点 在以 为圆心，2为半径的 上， 如图，当 在对角线 延长线上时， 最大， 在 中， ，∴ ，即 长度的最大值为 ，故答案为： ． 12.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 上任意一点，点 在 外，已知 ， 是等边三角形，则 的面积的最大值为 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点 的位置变换是解题的关键． 如图所示，以 为边作等边 ，连接 ，可证 ，可得 ，点 在 以点 为圆心的圆上，且半径 ，过点 作 于点 ，即 是 的垂直平分线，当点 在 上其在点 的上方时， 的面积的最大值，根据等边三角形，含 角的直角三角形的性质可求 出 ， 的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以 为边作等边 ，连接 ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，且 ， ，∴ ，∴ ， ∴点 在以点 为圆心的圆上，且半径 ，过点 作 于点 ，即 是 的垂直平分线，当点 在 上其在点 的上方时， 的面积的最大值， ∴在 中， ， ， ，∴ ， ∴ ，且 ，∴ ， ∴ ，故答案为： ． 13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以 点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为 上的动点△，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC 的上方，且满足 ，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为 ．点E在 上运动过程 中，BF存在最大值为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出 的长，从而可求出CF的长，即 在 中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出 ．再根据 ， ，可得出 ，即证明 ，得出 ．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA 的延长线上时BF最大，最大值为 ．在 中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案． 【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图，∵ ，∴ ． ∴在 中， ；如图，连接AF、BE ∵ ， ，∴ ． ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，即AF的长为定值．∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动． ∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为 ． 在 中， ，∴ ．故答案为： ， ． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键． 14．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，AB4，O为AB的中点， O的半径为1，点P是 O上一 动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC （点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取 值范围为 ． 【答案】 【解答】解：如图，作OK  AB，在OK上截取OK OAOB，连接AK 、BK 、KC、OP． OK OAOB，OK  AB，KAKB，AKB90， AKB是等腰直角三角形， OBK PBC，OBPKBC， OB PB 2 KC BC   ， ，   2， ，  BK BC 2 OBP∽KBC  OP PB  OP1 KC  2，点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK  2OA2 2， AC的最大值为3 2 ，AC的最小值 2， 2剟AC 3 2 ． 15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形 中， ， 是线段 上一动点，点 ， 绕点 逆时 针旋转 得到点 ， ，若在运动过程中 的度数最大值恰好为 ，则 的长度为 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，由 ，得到 ，根据 ，得到 ， 结合 ，得到 ，由旋转的性质可得 ，根据 可以取最大值3，即可求解， 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是： 根据 的最大值，得到 的最大值． 【详解】解：作 中点 ， 中点 ，分别以 、 为圆心画圆，连接 、 ， ，由旋转的性质，矩形的性质，可得： ， ， 在旋转的过程中当 时， ， ∵ ，∴ ，即： ， ∵点 在线段 上，∴ ，∴ ，即 ， 由旋转的性质可得： ，∴ ， ∴当 可以取到最大值3时， 的度数最大值恰好为 ， 当 ， 时，即点 与点 重合时， ， 在 中， ，故答案为： ． 16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形 中， ， ， 是 上一动点，则 的最小值为_________ （2）问题探究：如图②，在正方形 中， ，点 是平面上一点，且 ，连接 ，在 上 方作正方形 ，求 的最大值． （3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正 方形区域 进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角 为健身运动 区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形 的弧 上．设计铺设 和 这两条不同造价鹅卵石路， 已知 米， 米， ， ，若铺设 路段造价为每米200元，铺设 路段的造价为每米100元，请求出铺设 和 两条路段的总费用的最小值．【答案】（1） （2） 的最大值是 （3）铺设两条路段总费用的最小值为10000元 【分析】（1）以 为斜边构造 的直角三角形，则 ，求 的值即可； （2）根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出 最大时点E的位置，求出 即可； （3）根据费用的关系可求出线段 的最小值即可． 【详解】解：（1）以 为斜边构造 的直角 ，且 ， 此时 ，则 ，则当P、B、E在同一直线上时 有最小值为 ，如下图： 即 的最小值为如图所示 的长度， ， ， ， ， ， ， 又 四边形 为矩形， ， ， ， ； （2） 为动点且 ， 点E的运动轨迹为以C为圆心，半径为1的圆， 四边形 为正方形， ，即当 最大时 有最大值， 由图②知：当E在 延长线上时 的位置时， 有最大值， 此时 ， ，故 的最大值是 ；（3）由题意得： 的费用为 ， 求费用最小值即为求 的最小值，连接 ， ，在 上截取 ， 四边形 时正方形， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 点F在以A为圆心， 为半径的弧上， ， ， ， ，即 ， ， 当C、F、D三点共线时， 有最小值 ， 在 中， ， 铺设 和 两条路段总费用的最小值为： （元）， 即铺设 和 两条路段总费用的最小值为： （元）． 【点睛】本题考查两点之间线段最短、正方形性质、圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题关键． 17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径为2，点 是 外的一个定点， ．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．当点 在 上运动一周时，试探究点 的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使 ，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长 至点 ，使 ，连接 ． 1°当点 在直线 外时， 证明过程缺失 2°当点 在直线 上时，易知 ． 综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点， 点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点 的对称点 ，连接 ． （1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________． （2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则 ________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1） ；（2） 【分析】问题解决：延长 至点 ，使 ，连接 ．当点 在直线 外时，证明 得出 ；当点 在直线 上时，则 ，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆，由此计 算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆，当点 与点 重合时，此时： 点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ，此时 的长度最小；当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接 交圆 于 ，此时的长度最大；分别求出 的值即可得解． 【详解】问题解决：证明：延长 至点 ，使 ，连接 ． 1°当点 在直线 外时， 在 和 中， ，∴ ，∴ ； 2°当点 在直线 上时，则 ． 综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆， ∴点 的运动路径长为 ； （2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ， 此时 的长度最小，由题意得： ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得： ，∴线段 长度的最小值为 ； 如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接 交圆 于 ，此时 的长度最大，由题意得： ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ，∵ ，∴ 、 、 在同一直线上，∴ ， ∴ ，∴线段 长度的最大值为 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握 以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图 ，已知 半径是 ，点 是 上的一个动点，点 是平面内一点， ，求证：线段 的最大值 为 ． 【问题解决】经过分析，如图 ，小明将 延长交 于点 ，并猜想此时 最大，为了验证这个猜 想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合 ， 连结 、 ， 证明过程缺失 则 ，则此时， 最大， 最大值为 ． 【问题延申】如图 ， 在 中， ， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连结 ， 过点 作 于点 ， 连结 ， 则线段 的最小值是 ． 【拓展提升】如图 ，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知 米， ， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据 设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建 仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其 他因素，则仿古长廊 最短为 米．(结果保留根号) 【答案】[问题解决]见解析；[问题延申] ；[拓展提升] 【分析】[问题解决]根据两点直接线段最短，可得 ，进而即可求解； [问题延申] 根据 可得点F在以 为直径的半圆上，设 的中点为E，连接 ，与点F的运动 轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值；[拓展提升]连接 ， ，取 中点为M， 中点为 N，连接 ， ， ，证明 ，推出点F在以 为直径的左侧半圆上，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值． 【详解】[问题解决]证明：∴ ，即 ∴线段 的最大值为 ． [问题解决]证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合 ， 连结 、 ， ∵ 半径是 ，点 是 上的一个动点，∴ , ∵ 则 ，则此时， 最大， 最大值为 ． [问题延申] ， ， 点F在以 为直径的半圆上， 如图，设 的中点为E，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值． ，中点为E， ，又 ， ， ， ， 即 的最小值为 ．故答案为： ． （3） ， ， ， ， ， ． 如图，连接 ， ，取 中点为M， 中点为N，连接 ， ， ， 点E在以 为直径的半圆上， ， 中点为M， 中点为F， 中点为N， 为 的中位线， 为 的中位线， 为 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F在以 为直径的左侧半圆上， 取 中点为O，作 于点K，得矩形 ，连接 ，与点F的运动轨迹交于点 ，则 的长度即为 的最小值． ， 中点为O， ， 中点为N， ， ， ， ， ，在 中， ， ，又 ， ， 的最小值为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性 质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键．