专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归 知识点梳理 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 模块二 阿氏圆模型 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1） 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1） 【题型6】一内一外提系数 【题型7】隐圆型阿氏圆 知识点梳理 一、胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V ＜V ，A、B 1 2 1 2 为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使 的值最小． B B V M A α C N 1 CH H sinα= =k AC D M N A V C 2 CH=kAC ，记 ，即求BC＋kAC的最小值． 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH 取到最小值，即BC＋kAC最小． 二、阿氏圆模型讲解 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯 圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最 值，难点在于如何构造母子相似． P A B O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝ OB， 连接 PA、PB，则当“PA＋ PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝ R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 PB＝PC。故本题求“PA＋ PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点， P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 2023·西安·二模 1．如图，在菱形ABCD中，ABC60，AD6，对角线AC、BD相交于点O，点E 1 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为 AC AE2 F BD EF 2 BF ． 2023·保定·一模 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABOB3，点M在线段AC上，且 AM 2．点P为线段OB上的一个动点． （1）OBC  °； 1 MP PB （2） 的最小值为 ． 2 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·湘西·中考真题 O ABC BE AC 3．如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作 于点E，点P为线段 1 上一动点（点P不与B，E重合），则CP BP的最小值为 ． BE 2   A 0，15 4．如图，AB AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路 径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时 间最少时，D的坐标为 ． 2023·江苏宿迁中考模拟 5．如图，二次函数 与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为 ．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿 运动到 点P，再以每秒1个单位长度的速度沿 运动到点A停止，则时间最短为 秒． 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川自贡·统考中考真题 1 6．如图，直线y x2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直 3 4 线 y 3 x2 上的一动点，动点Em，0，Fm3，0，连接 BE，DF，HD ．当 BEDF 取最 小值时，3BH 5DH 的最小值是 ． 2023·成都市七中校考 7．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，沿直 线 翻折，点 的对应点 恰好落在对角线 上，点 的对应点为 ，点 为线段 上 一动点，则 的最小值为 ． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 8．如图，在长方形 中， ， ，点 在 上，连接 ，在点 的运动过程中， 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的最小值为 ． 2023·广西二模 9．如图所示，在ABC中，A30，M为线段AB上一定点，P为线段AC上一动点．当点P在 1 运动的过程中，满足 PM  AP 的值最小时，则 ． 2 APM  10．如图， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，则 的最小 值为 3 ． 11．如图， 是圆 的直径， ，弧 ，点 是弦 上的一个动点，那么 的最小值为 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 12．如图，在 中， ， ， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），连 接 ，则 的最小值是 A． B． C． D．8 13．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点， △ 连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋ FB的最小值是 14．如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC 4，BC3，点D是斜边AB上的动点，则 2 CD AD 2 的最小值为 . 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 2023·广东深圳·统考三模 15．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； 1 （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当2CD+OD的最小值为6时，求⊙O 的直径AB的长． 16．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）连接 ，若 ， ． ①求 的值； ②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速 度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止 运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间． 17．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ， ． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 是抛物线的顶点，将抛物线沿 方向平移，使点 落在点 处，且 ， 点 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点， 轴交直线 于点 ，连结 ．当 的值最小时，求 的长． 模块二 阿氏圆模型 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1） 18．如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则 的最大值为_______． A D P B C 19．如图，在 中， ， ， ，圆 的半径为2，点 为圆上一动点， 连接 ， ． 求① ；② ；③ ；④ 的最小值． 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A P C B 20．如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且 ， ， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ． 21．如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为 ______． A D P O B C 22．如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、 PC，则BP＋CP的最小值为______________． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A O P B C 23．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一 动点，则PM＋PN的最小值为_______________ y P M O A N x 2023·山东烟台·统考中考真题 24．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，以点 为圆心，画 半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 25．如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段 OA 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥AB于点M． （1）求抛物线的函数表达式； 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）当 ＝ 时，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋ E′B的最小值． y y P P B B M M N N E′ O E A O E A 图1 图2 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1） 26．如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在 上，且 ， 点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为 ． 27．如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆 O 的半径为，P 是圆 O 上一动点，PA+PB 的最小值为 ________． O P A B 28．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小 值为________． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C P A O D B 【题型6】一内一外提系数 29．如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆心3为半径的圆上， 则 的最小值为 ． 【解答】解：在 上取点 ，使 ， ， ， ， ， 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 在 延长线上取 ， ， 则 ， 又 ， ， ， ， ， 当 为 和圆的交点时 最小，即 最小，且值为 ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 30．如图，正方形 边长为 4， 是 的中点， 在 上， 的最大值是 ， 的最小值是 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型7】隐圆型阿氏圆 2023·咸阳·三模 31．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点， 1 PC PD 且 EF 4 ，P是 EF 的中点，连接 OP、PC、PD ，若AC 12,BD16，则 4 的最小值 为 ． 2023·宿迁·三模 A2,0 B0,2 C5,2 D4,4 32．如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ，点P在第一象限，且 APB135 2PD4PC ，则 的最小值为 ． 33．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的两个 动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 34．如图，在边长为6的正方形 中，M为 上一点，且 ，N为边 上一动点．连 接 ，将 沿 翻折得到 ，点P与点B对应，连接 ，则 的 最小值为 ． 35．如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ， 是 外部的第一象 限内一动点，且 ，则 的最小值是 ． 16