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专题 34 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1
..................................................................................................................................................12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且
k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为
阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
P
A B O
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如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即 ），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即 ），∵ ，∴ ，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴ ，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中
P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D是平面上一点，且 ，
连接 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 长度的最大值是9 B． 的最小值是
C． D． 面积的最大值是40
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题
关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段
最短判断B即可．
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【详解】解：A、 ，点D是平面上一点，且 ，
点A、C、D在同一直线上且D在 延长线上时， 长度的最大值是 ，故本选项不符合题意；
B、在 上取点E，使 ，连接 ，
当B、D、E共线时 最小，
此时， ，故本选项符合题意；
C、 点D是平面上一点，且 ， 点在以点C为圆心，4为半径的圆上，
随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意；
D、 点在以点C为圆心，4为半径的圆上，
如下图，当 所在直线垂直于 时， 面积的最大，
在 中， ， ，
， ， ，
， 面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B．
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个
动点，则 的最大值为_______．
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A D
P
B C
【答案】
【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造 ，在BC上取M使得此时PM=
，则在点P运动的任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于
△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值 ．
A D A D A D A D
P
P
P B M C B M C
B M C B M C
P
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则
PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】 PA＋PB＝ （PA＋ PB），利用相似三角形构造 PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
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OP＝r＝ BC＝2，OB＝ r＝2 ，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝ ，
∵ ， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴ ，∴PI＝ PB，∴AP＋ PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋ PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝ BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝ ，∴AP＋ PB最小值＝AI＝ ，
∵ PA＋PB＝ （PA＋ PB），∴ PA＋PB的最小值是 AI＝ ．故答案是 ．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半
径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
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【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据 ，∠AOP是公共角，可得
△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长
即可得答案．
【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,
∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵ ，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,
∴BC= = = ，∴3PA+PB的最小值为 ．故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时
3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆
心3为半径的圆上，则 的最小值为 ．
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【解答】解：在 上取点 ，使 ， ， ，
， ， ， ，
在 延长线上取 ， ，则 ，
又 ， ， ， ，
，
当 为 和圆的交点时 最小，即 最小，且值为 ，
， 的最小值为 ，故答案为： ．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边
、 上的两个动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
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【答案】
【解答】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ．
， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， 的最小值为
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形 中，M为 上一点，且 ，N为边
上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P与点B对应，连接 ，则
的最小值为 ．
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【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，在线段 上取一点 ，使得
，利用相似三角形的性质得到 ，从而得到 ，
当且仅当 三点共线时，取得最小值 ，即可求解．
【详解】解：由题意可得： ∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
在线段 上取一点 ，使得 ，则 ∵ ， ∴
又∵ ∴ ∴ ∴
∴
如下图所示，当且仅当 三点共线时，取得最小值
，∴ 的最小值为：
例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点
且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P
是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，
∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明 PAQ∽ BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
△ △
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（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值
最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在
CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQAB=4．∴ ．
⋅
又∵∠A=∠A，∴ PAQ∽ BAP．∴ ．∴PB=2PQ；
△ △
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC= =5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂
直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= = ，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2 ．∴2PC−PB的最大值为2 ．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线
段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为
两点之间线段最短解决．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点
．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
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(1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点
为 上一个动点，请求出 的最小值．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为 或 或 (3)
【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解
方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出直线 的解析式为 ，
解方程组 ，即可得到点M的坐标；（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得
，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时，
的值最小，即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，∴ ，
将 代入直线 ，得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ；
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将 代入 ，得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ．
∴当 时， ，∴ ，
①当 时，设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入，
得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，得 或 ，∴点M的坐标为 ；
②当 时，设直线 的解析式为 ，将 代入，
得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，解得 或 ，∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为 或 或 ；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，、∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，
∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．
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【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，
勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E为 边上一动点，将
沿 翻折到 的位置，点A与点F重合，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关
键．在 上取点G，使 ，连接FG，DG，证明 ，可得出 ，则
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，当 、 、 三点共线时， 最小，在 中，利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：如图，在 上取点G，使 ，连接 ， ．
沿 边翻折到 ， ，又 ， ， ， ，
又 ， ， ， ，
，当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ， ， ，
，即 的最小值为 ．
2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形 中 ， ，点 是矩形 内部一个
动点，且 ，连接 ，则 三分之二 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得：点 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，在 上取一点 ，使 ，连
接 ，由矩形的性质可得 ， ，推出 ，证明 ，得到
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，推出 ，即当 、 、 共线时， 取最小值，最小值为 ，
最后根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：点 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，在 上取一点 ，使 ，
连接 ， 矩形 中， ， ， ， ，
，
， ，又 ， ， ， ，
， 当 、 、 共线时， 取最小值，最小值为 ，
，故选:B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解
题的关键是正确作出辅助线．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E为 边上一动点，将
沿 翻折到 的位置，点A与点F重合，连接 ，则 的最小值为（ ）
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A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关
键．在 上取点G，使 ，连接FG，DG，证明 ，可得出 ，则
，当 、 、 三点共线时， 最小，在 中，利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：如图，在 上取点G，使 ，连接 ， ．
沿 边翻折到 ， ，又 ， ， ， ，
又 ， ， ， ， ，
当 、 、 三点共线时， 最小，在 中， ，
， ， ，即 的最小值为 ．故选：D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在 中， ， ， ，以 为圆心， 为
半径作 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题
的关键．在 上截取 ，使得 ，连接 ， ， ．利用相似三角形的性质证明 ，
可得 ，利用勾股定理求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，在 上截取 ，使得 ，连接 ， ， ．
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，在 中， ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．故选：C．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点P为边 的中点，点E在
边 上，连接 ，点F为 上的动点，则 的最小值为 ．
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【答案】6
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作 于点 ，证明
，求得 ，当 三点共线时， 有最小值，最小值为 的
长，据此求解即可．
【详解】解：∵矩形 中， ，点P为边 的中点，
∴ ， ，
作 于点 ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
当 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长，
此时 ，∴ 的最小值为6，故答案为：6．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形 边长为8， 为 中点， 为 上的动点，
为 上的点，且 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取 的中点 ，连接 ，
证明 ，得出 ，从而得出 ，连接 交 于 ，当 、 、
在同一直线上时， 最小，即 最小，最小为 ，再由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，
，
∵四边形 为正方形，边长为8， 为 中点，∴ ， ， ，
∵ 为 上的动点，∴ ，∴ ，
∵ 为 中点，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
连接 交 于 ，当 、 、 在同一直线上时， 最小，即 最小，最小为 ，
∵ ，∴ 最小值为 ，故选：D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点，
，连接 交于点P，则 的最小值为 ．
【答案】2
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【分析】证明 ，则 ， ，如图，记
的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，连接 ，由勾股定理得， ，
如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，证明 ，则 ，
即 ，由 ，可得当 三点共线时， 的值最小，为 ，如
图，作 于 ，则 ， ， ，则 ，即
，可得 ，即 ，由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即
可．
【详解】解：∵正方形 ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，
如图，连接 ，由勾股定理得， ，
如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，∴
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，∴当 三点共线时， 的值最小，为 ，
如图，作 于 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，∴ ，
由勾股定理得， ，由勾股定理得， ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径，
相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上（不与顶点重
合），且满足 ，连接 ， 交于点 ． ， 分别是边 ， 的中点，连结接 ， ．
若正方形的边长为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】由四边形 是正方形，得 ， ，证明 ，根
据性质得出 ，点 无论在何处，均有 ，即点 在以 中点为圆心， 为直
径的圆上，用点 表示 的中点，连接 ，用点 表示 的中点，用点 表示 的中点，连接
，以 为圆心， 为半径画 圆，然后证明 ，则 ，
故 的最小值也就是 的最小值，当点 三点共线时， 最小，最小值为线
段 的长度，最后由勾股定理即可求解．
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【详解】∵四边形 是正方形，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴点 无论在何处，均有 ，即点 在以 中点为圆心， 为直径的圆上，用点 表示
的中点，连接 ，用点 表示 的中点，用点 表示 的中点，连接 ，以
为圆心， 为半径画 圆，如图中的 ，
∵ 在 上运动且不与 重合，∴点 的轨迹就是 ，不与 重合，
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值也就是 的最小值，
∵点 在 上，∴当点 三点共线时， 最小，最小值为线段 的长度，
∵点 分别是正方形 边 的中点，∴四边形 是矩形，
∵点 分别是矩形 边 的中点，∴四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ，∴在 中，由勾股定理得 ，
即： 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定
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理，两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径
AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋ EF 的最小值为
．
【答案】
【分析】连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，先证△FAE∽△GAF，得出
，根据两点间距离最短得出FG+FD≥GD，即 ，当点G，F,D三点在同一直线上
时GF+FD最短即 =DG，然后利用30°直角三角形先证求出AH= ，利用锐角三角函数
最短
求出GH=AG·cos30°= ，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵ ， ，∴ ，
∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴ ，∴ ，
∴FG+FD≥GD，即
当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即 =DG，
最短
在Rt GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
△
∴AH= ，GH=AG·cos30°= ，∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=
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，
∴GD= ，∴ ．故答案为 ．
【点睛】本题考查圆与相似，解直角三角形联合应用，最短路径问题，勾股定理，利用辅助线构造三角形
相似是解题关键．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形 的边长是4， 的半径是2，点E是 上
一动点，连接 ， ．则 的最小值= ．
【答案】5
【分析】如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．证明 ，推出
，推出 ，由 ，由此可得结论．
【详解】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
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∵四边形 是正方形， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
，∴ 的最小值为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在 中， ， 的半径为2，D是
上一动点，点E在 上， ，连接 ，则 的最小值
【答案】
【分析】在AC上取点H使CH=1，连接CD、BD、HD，根据 和∠DCB=∠DCE，得出
△CDE∽△CBD，从而得出DB=2DE，再根据△CHD∽△CDA，得出 ，根据两点之间线段最短
得出 的最值小为BH，再根据勾股定理即可得出答案
【详解】解：在AC上取点H使CH=1，连接CD、BD、HD，
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∵ 的半径为2，∴CD=2，∵CE=1，CB=4∴ ，
∵∠DCB=∠DCE，∴△CDE∽△CBD，∴ ∴DB=2DE
∵CH=1，CA=4同理可证：△CHD∽△CDA，∴ ，∴
∴当点H、D、B三点共线时，DH+DB的值最小，即 的值最小为BH；
连接BH，∵ ， ，CH=1 ∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了圆的基本性质和相似三角形的性质和判定，以及勾股定理等知识点，得出
和DB=2DE是解题的关键
12．（2024·四川·校考一模）如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且 ，
， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
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【分析】连接 ，先利用勾股定理求得 ， ，在 上截取 ，过 作
于 ， 于 ，求得 ， ， ，进而求得 ，证明
求得 ，利用两点之间线段最短得到 ，当 共
线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接 ，∵ 为 的直径， ，∴ ，
∵在 中， ，∴ ， ，
在 上截取 ，过 作 于 ， 于 ，连接 、 ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，
∵ ， 是公共角，∴ ，
∴ ，则 ， ∴ ，当 共线时取等号，
故 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之
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间线段最短等知识，解答的关键是截取在 上截取 ，构造相似三角形求得 是关键．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰 中， ， ， 是 上
一点，以 为圆心的半圆与 、 均相切， 为半圆上一动点，连 、 ，如图，则 的最
小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与 、
的切点为 、 ，取 的中点 ，连接 、 ，根据已知条件证明 ，得 ，当
且仅当 、 、 三点共线时， 取得最小值，进而求解．
【详解】解：设半圆与 、 的切点为 、 ，
连接 、 、 、 ，则 ， ， ，所以 平分 ，
， ， ， ，
，取 的中点 ，连接 、 ，
则 ， ， ，
在 和 中， ， ， ，
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， ， ，当且仅当 、 、 三点共线时，
取得最小值, 最小值为 ．故答案为： ．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点，
，连接 交于点P，则 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】证明 ，则 ， ，如图，记
的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，连接 ，由勾股定理得， ，
如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，证明 ，则 ，
即 ，由 ，可得当 三点共线时， 的值最小，为 ，如
图，作 于 ，则 ， ， ，则 ，即
，可得 ，即 ，由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即
可．
【详解】解：∵正方形 ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ，∴ ，
如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，
如图，连接 ，由勾股定理得， ，
如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴当 三点共线时， 的值最小，为 ，
如图，作 于 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，∴ ，由勾股定理得， ，
由勾股定理得， ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径，
相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径
的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
【答案】
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【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将 转化为DE，从而求得
的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4∴ ∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴ ∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴
在Rt ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为： ．
△
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，D、E分
别是边 、 上的两个动点，且 ，P是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，在CB 上取一点F，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ，
根据 ，利用勾股定理求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，在 上取一点F，使得 ，连接 ， ，
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∵ ， ， ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在 中， ， ，
，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使
，则 ．又 ，所以 ∽ ．所以 ．
所以 ，所以 ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ，P是 上一点，
求 的最小值．
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【答案】（1） ；（2） ；（3）13．
【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使 ，即可证明 ∽ ，得到 ，即
，所以 的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度．
（3）延长OC到E，使 ，连接PE，OP，即可证明 ∽ ，得到 ，即
，所以 的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时， 最小，最小值
． 故答案为： ．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使 ，则有 ，
∵ ，∴ ∽ ，得 ，
∴ ，故 ，仅当B、P、D三点共线时，
的最小值 ．
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（3）延长OC到E，使 ，连接PE，OP，
则 ，∵ ，∴ ∽ ，∴ ，
∴ ，∴ ，仅当E、P、B三点共线时，
，即 的最小值为13．
【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出 ∽
和 ∽ 是解题的关键．本题较难．
18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
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【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 ，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 ，得 所以 ．
又因为 ，所以 最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 最小
值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面
积的最大值为 ．
【答案】[问题解决] ；[尝试应用] ，见详解；[能力提升]
【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为 ；
[尝试应用]在 上取一点C使OC=4，通过证明 得到 ， ，所以
，再求出AC的值，问题即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD确定点D的运动轨迹是一个圆，过点D作 于G，若△ABD面积的最大，
则DG最大，所以DG过圆心，进而求解本题.
【详解】解：[问题解决]如图，在 中， ，
的最小值为 ，故答案为： ；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
， ， ，
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， ， ， ，
过点C作 于D， sin ，
， ，
在 中， ， 最小值为 ；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则 ，
， ， ， ，
连接DE，DF，由 ，
点E，F到BD，CD的距离相等，， DE，DF是 的内，外角平分线， ，
点D是平面内任意一点， 点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作 交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时
的面积最大， ，EO=3，
在 中， ，
， ，
， △ABD面积的最大值为 ，故答案为：
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【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，
直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键.
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点 到 的三个顶点的距离分别为 、 、
，若有 ，则称点 为 关于点 的勾股点．
(1)如图2，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则
点 是 关于点______的勾股点；若点 在格点上，且点 是 关于点 的勾股点，请在方格纸
中画出 ；(2)如图3，菱形 中， 与 交于点 ，点 是平面内一点，且点 是 关于
点 的勾股点．①求证： ；②若 ， ，则 的最大值为______（直接写出结果）；
③若 ， ，且 是以 为底的等腰三角形，求 的长．
(3)如图4，矩形 中， ， ， 是矩形 内一点，且点 是 关于点 的勾股点，
那么 的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；② ；③ 或 (3)
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，则点 是 关于点 的勾股点；根据勾股定理结
合定义得到 ，据此画图即可；（2）①根据定义可得 ，利用菱形的性质和勾股定
理可得 ，即可证明 ；②利用勾股定理求出 ，则点E在以O为圆心，
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半径为 的圆上运动，即可当 （点O在 ）三点共线时， 最大，据此求解即可；如图3，
由②可知点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动．当点 在 左侧时，连接 ．先证明 ，
过点 作 ，求出 ， ，过点 作 ，则四边形 为正方形，则
， ，即可得到 ；当点 在 右侧时，同理求解即可．（3）如图
4，在 上取点 ，使 ，则 ，先求出 ，进而证明 ，得到 ，
则 ，故当A、E、F共线时， 值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
∴ ，∴点 是 关于点 的勾股点；
∵点 是 关于点 的勾股点，∴
∵ ，∴ ，如图所示， 即为所求；
（2）解：①∵点 是 关于点 的勾股点，∴ ，
∵菱形 中， ，∴在 中， ，∴ ；
②∵ ， ，∴在 中， ，∴ ，
∴点E在以O为圆心，半径为 的圆上运动，
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∴当 （点O在 ）三点共线时， 最大，最大值为 ；
③如图3，由②可知点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动．
当点 在 左侧时，连接 ．当 时，∵ ，∴ ，
过点 作 ，∴点 为 中点，即 ，
∴ ， ，过点 作 ，则四边形 为正方形，
∴ ，∴ ，∴ ．
当点在 右侧时，可得点 与点 关于 对称，∴ ∴ 或
（3）解：如图4，在 上取点 ，使 ，则 ，
∵ 是 关于点 的勾股点，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴当A、E、F共线时， 值最小，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，
勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
20．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在 中， ， 交 于点 ， 为
线段 上一动点，连接 ．(1)如图1，连接 ，若 是 的角平分线且 时，求
的度数．(2)如图2，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 交线段
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于点 ，连接 ，若点 为线段 的中点，求证： ．(3)如图3，在（2）的基础上，
若 ，将 绕点 顺时针旋转 角度 ，旋转后 对应 ，点
对应的点为 ，连接 ， ， ．旋转过程中，当线段 与线段 存在交点 且
时，记 ；当 取得最小值时，记为 ．请直接
写出 的值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）结合 ， ，得到 ，继而得到 ，结合
，证明 ，得出 ，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，进而证明 ，
，得出 是等腰直角三角形， ，即可得证；
（3）根据已知条件设 ，则 ， ，得出 ，则
，延长 至 ，延长 交 于点 ，得出 ，在 上截取 ，
过点 作 于点 ，连接 ，构造 ，依题意当 三点共线时，
取得最小值进而求得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ， 是 的角平分线，
∴ ， ， ，
在 与 中， ，∴ ，
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∴ ，∴ ，∴
．
（2）如图，延长 至 ，使得 ，连接
∵点 为线段 的中点，∴ ，在 与 中 ∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵将线段 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，∴ ， ，
∵ ，又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ 是等腰直角三角形，
又∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ；
（3）∵ ， ，设 ，则 ， ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∵当线段 与线段 存在交点 且 时， ∴ ，∴ ，
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如图，延长 至 ，延长 交 于点 ，
由（2）可知 是等腰直角三角形，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，如图，在 上截取 ，过点 作 于点 ，连接
则 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 取得最小值，此时 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性
质与判定，求正切，构造相似三角形与全等三角形是解题的关键．
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