文档文本内容
专题01 将军饮马系列模型（几何最值模型）
模型解读..................................................................................................................................2
常见类型讲解..........................................................................................................................2
【“将军饮马”模型】.........................................................................................................2
1、“两点一线”类型（5 种情况）.............................................................................2
2、“定点两线”类型（4 种情况）.............................................................................3
3、其他类型（三点三线）......................................................................................5
【“将军遛马”模型】.........................................................................................................5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】...............................................................................6
真题演练..................................................................................................................................8
【“将军饮马”问题专练】.................................................................................................8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】........................................................................19
巩固练习................................................................................................................................23
压轴真题强化........................................................................................................................31
专题目录
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含
着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马
后再到B 点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、
三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结
合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。
“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础
上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，
本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【“将军饮马”模型】
1、“两点一线”类型（5 种情况）
1）当两定点A、B 在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。
做法：连接AB 交直线于点P，点P 即为所求作的点。PA+ PB 的最小。
2）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。
做法：作点B 关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P 即为所求作的点。PA+PB 的最小
模型解读
常见类型讲解
值为AB′。
3）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使
最大。
做法：连接AB 并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最大值为AB。
4）当两定点A、B 在直线异侧时，在直线上找一点P，使
最大。
做法：作点B 关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最大值为AB′。
5）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使
最小。
做法：连接AB，作AB 的垂直平分线交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最小值为
0。
2、“定点两线”类型（4 种情况）
1）点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得△PCD 周长最小。
做法：分别作点P 关于OA、OB 的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB 于点C、D，点C、D 即为
所求。△PCD 周长最小为P′P"。
2）点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得PD+CD 最小。
做法：作点P 关于OB 的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA 交OB 于点C，点C、D 即为所求。PC+CD 的
最小值为P′C。
3）点P 在∠AOB 的外部，在OA 上找到点C，使PC 与C 点到直线OB 的距离之和最小。
做法：过点P 作线段OB 的垂线，分别交OA、OB 于点C、D，点C、D 即为所求。PC+CD 的最小
值为线段PD 的长。
4）点P、Q 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得四边形PQDC 周长最小。
做法：分别作点P、Q 关于OA、OB 的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB 于点C、D，点C、D
即为所求。PC+CD+DQ 的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC 的周长的最小值为P′Q′+PQ。
3、其他类型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F 分别为AB、AC、BC 边上的动点，求△DEF 周长的
最小值。
做法：先将点D 视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD 最小时，即CD⊥AB 时的交点为
D。△DEF 周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。
【“将军遛马”模型】
【问题描述】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军
营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知A、B 两点，MN 长度为定值，求确定M、N 位置使得AM+MN+NB 值最小？
做法：考虑MN 为定值，故只要AM+BN 值最小即可．将AM 平移使M、N 重合，AM=A'N，将
AM+BN 转化为A'N+NB．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M 位置，可得
路线．
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】
【单桥模型】已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥
建在何处能使路程最短？
河
B 军营
A
将军
N
M
考虑MN 长度恒定，只要求AM+NB 最小值即可．问题在于AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移，
使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M、N 重合，此时A 点落在A’位置．问题化为求
A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【双桥模型】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通
过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q，NB 平移至MB'，化AP+QM+NB 为A'Q+QM+MB'．当A'、
Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N 位置．
【“将军饮马”问题专练】
（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
，点P 是边
上
一点（不与点A，D 重合），连接
．点M，N 分别是
的中点，连接
，
，
，点E 在边
上，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
四边形
是矩形，
，
，
点M，N 分别是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
四边形
是平行四边形，
，
，
如图，作点C 关于直线
的对称点M，连接
，
，
真题演练
则
，
当点B，P，M 三点共线时，
的值最小，最小值为
，
在
中，
，
，
，
的最小值
，
故选C．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形
，点
、
、
、
均在坐标轴上，
，点
，点
是
的中点，点
是
上的一动点，则
的最小值是
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
【答案】A
【详解】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D 关于直线AC 对称，
∵直线AC 上的动点P 到E、D 两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE 长度即是PD+PE 的最小值．，
∵菱形ABCD，
，点
，
∴
，
，
∴
∴△CDB 是等边三角形
∴
∵点
是
的中点，
∴
,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
（2022·山东泰安·中考真题）如图，
，点M、N 分别在边
上，且
，
点P、Q 分别在边
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：作M 关于OB 的对称点M′，作N 关于OA 的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：
，
，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，
，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=
．
故选：A．
（2023·安徽·统考中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两
个等边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
【答案】A
【详解】解：如图所示，
延长
，
依题意
∴
是等边三角形，
∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
∴
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
则
为
的中点
如图所示，
设
的中点分别为
，
则
∴当
点在
上运动时，
在
上运动，
当
点与
重合时，即
，
则
三点共线，
取得最小值，此时
，
则
，
∴
到
的距离相等，
则
，
此时
此时
和
的边长都为2，则
最小，
∴
，
∴
∴
，
或者如图所示，作点
关于
对称点
，则
，则当
三点共线时，
此时
故A 选项错误，
根据题意可得
三点共线时，
最小，此时
，则
，故B 选项正
确；
周长等于
，
即当
最小时，
周长最小，
如图所示，作平行四边形
，连接
，
∵
，则
如图，延长
,
，交于点
，
则
，
∴
是等边三角形，
∴
，
在
与
中，
∴
∴
∴
∴
∴
，则
，
∴
是直角三角形，
在
中，
∴当
时，
最短，
∵
∴
周长的最小值为
，故C 选项正确；
∵
∴四边形
面积等于
∴当
的面积为0 时，取得最小值，此时，
重合，
重合
∴四边形
面积的最小值为
，故D 选项正确，
故选：A．
（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形
为平行四边形，延长
到点
，使
，
且
．(1)求证：四边形
为菱形；(2)若
是边长为2 的等边三角形，点
、
、
分别在线段
、
、
上运动，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵点
在
的延长线上，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
又∵
，
∴四边形
为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点
关于
的对称点
在
上，
∴
，
当
、
、
共线时，
，
过点
作
，垂足为
，
∵
，
∴
的最小值即为平行线间的距离
的长，
∵
是边长为2 的等边三角形，
∴在
中，
，
，
，
∴
，
∴
的最小值为
．
（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线
经过
两点，并交x 轴于另
一点B，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH，DH，求
的最小值；
(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
或
或
【详解】（1）解：∵抛物线
经过
两点，
∴
，解得：
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
设直线
，
则：
，解得：
，
∴
，
当
时，
，
∴
；
作点
关于
轴的对称点
，连接
，
则：
，
，
∴当
三点共线时，
有最小值为
的长，
∵
，
，
∴
，
即：
的最小值为：
；
（3）解：存在；
∵
，
∴对称轴为直线
，
设
，
，
当以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时：
①
为对角线时：
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
；
②当
为对角线时：
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
；
③当
为对角线时：
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
；
综上：当以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，
或
或
．
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】
（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，
，
，把边AB 沿对角线
BD 平移，点
，
分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点
，
，C，D 的图形是平
行四边形；②点C 到它关于直线
的对称点的距离为48；③
的最大值为15；④
的最小值为
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：由平移的性质可得AB//
且AB=
∵四边形ABCD 为矩形
∴AB//CD，AB=CD=15
∴
//CD 且
=CD
∴四边形
CD 为平行四边形，
当点B'与D 重合时，四边形不存在，
故①错误
在矩形ABCD 中，BD=
=
=25
过A 作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=
AB·CD=
BD·AM
∴AM=CN=
=12
∴点C 到
的距离为24
∴点C 到它关于直线
的对称点的距离为48
∴故②正确
∵
∴当
在一条直线时
最大，
此时
与D 重合
∴
的最大值=
=15
∴故③正确，
如图，作
关于
的对称点
，
交
于
连接
，过
作
于
分别交
于
则
为
的中位线，
，
由
可得
，
此时最小，
由②同理可得：
设
则
由勾股定理可得：
整理得：
解得：
（负根舍去），
∴故④正确
故选C．
（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形
中，
，
是
的中点，线段
在
边
上左右滑动；若
，则
的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，作G 关于AB 的对称点G'，在CD 上截取CH=1，然后连接HG'交AB 于E，在
EB 上截取EF=1，此时GE+CF 的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH 是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G 为边AD 的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴
，
即
的最小值为
．
故答案为：
1、如图，在矩形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 上的动点(不与端点重合)
若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH 周长的最小值等于（
）
A．10
B．10
C．5
D．5
【答案】A
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
，
在
和
中
∵
，
∴
，
∴
，
巩固练习
同理
，
∴
，
如图，作
关于
的对称点
，连接
交
于
，此时
最小，即四边形
周长
最小，作
于
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得
，
∴四边形
的周长
，
故选A．
2、如图，在矩形
中，
，O 为对角线
的中点，点P 在
边上，且
，
点Q 在
边上，连接
与
，则
的最大值为____________，
的最小值为
__________．
【答案】
【详解】解：①连接
并延长交
于点Q，则这个点Q 满足使
的值最大，最大值为
的长度，
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∵点O 是
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
过点P 作
于点P，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
②过点O 作关于
的对称点
，连接
交
于点Q，
的值最小，
的最小值为
的长度，延长
交
于点G，
∵
，点O 是
的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
的最小值为：
，
故答案为：
；
．
3、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直线CD 上的动点，则|
PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【详解】如图，作A 关于
的对称点
，连接
并延长交
延长线于点P，则点P 就是使
的值最大的点，
，连接
，
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵点A 与A′关于CD 对称，
∴CD⊥AA′，
，
，
∴
，
∵AC=BC，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
．
故答案为：6
4、如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，AH 是
的平
分线，
于点E，点P 是直线AB 上的一个动点，则
的最小值是________．
【答案】
/
【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F，连接OF 交AB 于G，连接PE 交直线AB 于P，连
接PO，则PO=PF，此时，PO+PE 最小，最小值=EF 的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=
=
，
∴OA=
，
∴点O 关于AB 的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=
，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH 于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=
，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH 平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=
,
∴PO+PE 最小值=
．
故答案为：
．
5、如图，
是
的直径，
，点
在
上，
，
为
的中点，
是直径
上一动点，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：作点
关于
的对称点
，连接
交
于点
，连接
，则
点就是所求作的
点．
此时
最小，且等于
的长．
连接
，
，
，
，
为
的中点，
，
，
，
，
，
则
，又
，
则
，
故答案为：
．
6、【问题提出】（1）如图1，点A、B 在直线l 的同侧，点A 到直线l 的距离
，点B 到直线l
的距离
，A、B 两点的水平距离
，点P 是直线l 上的一个动点，则
的最小值是
________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形
中，
，
，G 是
的中点，线段
在边
上左右滑动，若
，求
的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形
的空地，管理人员规划修两条小路
和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在
和
上分别选取点M、N，沿
、
和
修建地下水管，为了节约成本，要使得线段
、
与
之和最小．
已测出
，
，
，
，
，管理人员的想法能否
实现，若能，请求出
的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）
；（3）能实现，最小值为
．
【详解】.解：（1）如图，作点A 关于直线l 的对称点
，连接
交直线l 于P，则
的值最
小，且
的最小值
，过
作
于E，则
，
，
∴
，
∴
即
的最小值是10；
（2）如图，作G 关于
的对称点
，在
上截取
，
连接
，
，
，则
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，G 为
的中点，
，
，
由勾股定理得
，
，即
的最小值为：
；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P 关于
、
的对称点E、F，连接
，
分别交
、
于点O、H，
，
，连接
，与
、
的交点即为点M、N 的位置，连接
，
，此时
，
，
的长就是
的最小值，过点E 作
交
的延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
在
中，
，
的最小值为
.
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形
中，
，
，点M 是
边的中
点，点N 是
边上任意一点，将线段
绕点M 顺时针旋转
，点N 旋转到点
，则
周长的最小值为（ ）
A．15
B．
C．
D．18
【答案】B
【详解】解：过点
作
，交
于
，过点
作
垂足为
，
∵矩形
，
∴
，
∴
，
∴四边形
和
都是矩形，
∴
，
由旋转的性质得
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
在平行于
，且与
的距离为5 的直线上运动，
作点
关于直线
的对称点
，连接
交直线
于点
，此时
周长取得最小值，最
压轴真题强化
小值为
，
∵
，
，
∴
，
故选：B．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6 的正方形
中，点E，F 分别是边
上
的动点，且满足
，
与
交于点O，点M 是
的中点，G 是边
上的点，
，
则
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】B
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点M 是
的中点，
∴
；
如图所示，在
延长线上截取
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当H、D、F 三点共线时，
有最小值，即此时
有最小值，最小值即为
的
长的一半，
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
的最小值为5，
故选：B．
3．（2023·安徽·中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两个
等边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
【答案】A
【详解】解：如图所示，
延长
，
依题意
∴
是等边三角形，
∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
∴
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
则
为
的中点
如图所示，
设
的中点分别为
，
则
∴当
点在
上运动时，
在
上运动，
当
点与
重合时，即
，
则
三点共线，
取得最小值，此时
，
则
，
∴
到
的距离相等，
则
，
此时
此时
和
的边长都为2，则
最小，
∴
，
∴
∴
，
或者如图所示，作点
关于
对称点
，则
，则当
三点共线时，
此时
故A 选项错误，
根据题意可得
三点共线时，
最小，此时
，则
，故B 选项正
确；
周长等于
，
即当
最小时，
周长最小，
如图所示，作平行四边形
，连接
，
∵
，则
如图，延长
,
，交于点
，
则
，
∴
是等边三角形，
∴
，
在
与
中，
∴
∴
∴
∴
∴
，则
，
∴
是直角三角形，
在
中，
∴当
时，
最短，
∵
∴
周长的最小值为
，故C 选项正确；
∵
∴四边形
面积等于
∴当
的面积为0 时，取得最小值，此时，
重合，
重合
∴四边形
面积的最小值为
，故D 选项正确，
故选：A．
二、填空题
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知
，点
为
内部一点，点
为射线
、点
为射线
上的两个动点，当
的周长最小时，则
．
【答案】
/
度
【详解】解：作
关于
，
的对称点
．连接
．则当
，
是
与
，
的交点时，
的周长最短，连接
，
关于
对称，
∴
，
同理，
，
，
，
，
是等腰三角形．
，
故答案为：
．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在
中，
，
，
，点
为直线
上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作
关于直线
的对称点
，连接
交
于
，则
，
，
，
∴当
重合时，
最小，最小值为
，
∵
，
，在
中，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，过点
作
轴的垂线，
为直线上一动点，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：取点A 关于直线的对称点
，连
交直线于点C，连
，
则可知
，
，
∴
，
即当
三点共线时，
的最小值为
，
∵直线垂直于y 轴，
∴
轴，
∵
，
，
∴
，
∴在
中，
，
故答案为：5
7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线
与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，线段
在抛物线的对称轴上移动（点C 在点D 下方），且
．当
的值最小时，点C 的坐
标为 ．
【答案】
【详解】解：
，
∴对称轴为
，
如图，设抛物线与x 轴另一个交点为F，
当
时，
，
∴
，
当
时，
，
解得
，
，
∴
，
，
在y 轴上取点
，连接
，
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵抛物线对称轴为
，
∴
，
∴
，
当E、C、F 三点共线时，
最小，
设直线
解析式为
，
∴
，
解得
，
∴
，
当
时，
，
∴当
最小时，C 的坐标为
，
故答案为：
．
8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在
中，
，
，
是
边上一点，且
，点
是
的内心，
的延长线交
于点
，
是
上一动点，连接
、
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在
取点F，使
，连接
，
，过点F 作
于H，
∵I 是
的内心，
∴
平分
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
，
当C、P、F 三点共线时，
最小，最小值为
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
的最小值为
．
故答案为：
．
三、解答题
9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形
中，
，
是
边上一个
动点，连接
，
的垂直平分线
交
于点
，交
于点
．连接
．
(1)求证：
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接
，
∵四边形
是菱形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
∴
；
（2）解：过点N 作
于点F，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
当点A、N、F 三点共线时，取得最小值，如图：
即
，
∴在
中，
，
∴
的最小值为
．
10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于
点
．已知点
的坐标是
，抛物线的对称轴是直线
．
(1)直接写出点
的坐标；
(2)在对称轴上找一点
，使
的值最小．求点
的坐标和
的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点
，过点
作
轴，垂足为
，连接
交
于点
．
依题意补全图形，当
的值最大时，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)点
，
的最小值为
(3)
【详解】（1）解：∵点
关于对称轴的对称点为点
，对称轴为直线
，
∴点
为
；
（2）当
时，
，
∴
，
连接
，
∵
，
∴
，
∵点
关于对称轴的对称点为点
，
∴
，
∴当
三点共线时，
的值最小，为
的长，
设直线
的解析式为：
，
则：
，解得：
，
∴
，
∵点
在抛物线的对称轴上，
∴
；
∴点
，
的最小值为
；
（3）过点
作
轴，垂足为
，连接
交
于点
，如图所示，
∵
，
设抛物线的解析式为：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则：
，
由（2）知：直线
：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
有最大值，此时
．
11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正
方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小
正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d 之间存在某种数量关系．小昕
按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4 中以矩形内
一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3 中“④”的基础上，小昕将
绕点
逆时针旋转，他发现旋转过程中
存在最大值．若
，
，当
最大时，求AD 的长；
（4）如图6，在
中，
，点D、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE、AE、BD．若
，
，求
的最小值．
【答案】（1）2（2）
（3）
（4）
【详解】解：如图，
∵正方形
，
及圆为正方形
的内切圆，为正方形
的外接正方形，
∴设
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴大正方形面积是小正方形面积的2 倍．
（2）如图，∵
，
∴
，
，
，
，
∴
，
如图，
结合图形变换可得：
；
（3）如图，∵将
绕点
逆时针旋转，
∴
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
∵
为圆外一个定点，
∴当
与
相切时，
最大，
∴
，
∴
，
由（2）可得：
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
（4）如图，将
沿
对折，
的对应点为
，将
沿
对折，
的对应点为
，连接
，
∴
，
，
再将
沿
方向平移，使
与
重合，如图，得
，
由（2）可得：
，
∴当
三点共线时，
最短，
∵
，
，
∴
，
，
∴
；
∴
的最小值为
；
