文档文本内容
专题01 将军饮马系列模型（几何最值模型）
模型解读..................................................................................................................................2
常见类型讲解..........................................................................................................................2
【“将军饮马”模型】.........................................................................................................2
1、“两点一线”类型（5 种情况）.............................................................................2
2、“定点两线”类型（4 种情况）.............................................................................3
3、其他类型（三点三线）......................................................................................5
【“将军遛马”模型】.........................................................................................................5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】...............................................................................6
真题演练..................................................................................................................................8
【“将军饮马”问题专练】.................................................................................................8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】........................................................................10
巩固练习................................................................................................................................10
压轴真题强化........................................................................................................................12
专题目录
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含
着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马
后再到B 点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、
三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结
合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。
“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础
上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，
本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【“将军饮马”模型】
1、“两点一线”类型（5 种情况）
1）当两定点A、B 在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。
做法：连接AB 交直线于点P，点P 即为所求作的点。PA+ PB 的最小。
2）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB 最小。
做法：作点B 关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P 即为所求作的点。PA+PB 的最小
模型解读
常见类型讲解
值为AB′。
3）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使
最大。
做法：连接AB 并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最大值为AB。
4）当两定点A、B 在直线异侧时，在直线上找一点P，使
最大。
做法：作点B 关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最大值为AB′。
5）当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点P，使
最小。
做法：连接AB，作AB 的垂直平分线交直线于点P，点P 即为所求作的点。
的最小值为
0。
2、“定点两线”类型（4 种情况）
1）点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得△PCD 周长最小。
做法：分别作点P 关于OA、OB 的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB 于点C、D，点C、D 即为
所求。△PCD 周长最小为P′P"。
2）点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得PD+CD 最小。
做法：作点P 关于OB 的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA 交OB 于点C，点C、D 即为所求。PC+CD 的
最小值为P′C。
3）点P 在∠AOB 的外部，在OA 上找到点C，使PC 与C 点到直线OB 的距离之和最小。
做法：过点P 作线段OB 的垂线，分别交OA、OB 于点C、D，点C、D 即为所求。PC+CD 的最小
值为线段PD 的长。
4）点P、Q 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA 上找点C，使得四边形PQDC 周长最小。
做法：分别作点P、Q 关于OA、OB 的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB 于点C、D，点C、D
即为所求。PC+CD+DQ 的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC 的周长的最小值为P′Q′+PQ。
3、其他类型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F 分别为AB、AC、BC 边上的动点，求△DEF 周长的
最小值。
做法：先将点D 视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD 最小时，即CD⊥AB 时的交点为
D。△DEF 周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。
【“将军遛马”模型】
【问题描述】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军
营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知A、B 两点，MN 长度为定值，求确定M、N 位置使得AM+MN+NB 值最小？
做法：考虑MN 为定值，故只要AM+BN 值最小即可．将AM 平移使M、N 重合，AM=A'N，将
AM+BN 转化为A'N+NB．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M 位置，可得
路线．
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】
【单桥模型】已知将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥
建在何处能使路程最短？
河
B 军营
A
将军
N
M
考虑MN 长度恒定，只要求AM+NB 最小值即可．问题在于AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移，
使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M、N 重合，此时A 点落在A’位置．问题化为求
A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【双桥模型】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通
过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q，NB 平移至MB'，化AP+QM+NB 为A'Q+QM+MB'．当A'、
Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N 位置．
【“将军饮马”问题专练】
（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
，点P 是边
上
一点（不与点A，D 重合），连接
．点M，N 分别是
的中点，连接
，
，
，点E 在边
上，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形
，点
、
、
、
均在坐标轴上，
，点
，点
是
的中点，点
是
上的一动点，则
的最小值是
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
（2022·山东泰安·中考真题）如图，
，点M、N 分别在边
上，且
，
点P、Q 分别在边
上，则
的最小值是（ ）
真题演练
A．
B．
C．
D．
（2023·安徽·统考中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两
个等边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形
为平行四边形，延长
到点
，使
，
且
．(1)求证：四边形
为菱形；(2)若
是边长为2 的等边三角形，点
、
、
分别在线段
、
、
上运动，求
的最小值．
（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线
经过
两点，并交x 轴于另
一点B，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH，DH，求
的最小值；
(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】
（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，
，
，把边AB 沿对角线
BD 平移，点
，
分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点
，
，C，D 的图形是平
行四边形；②点C 到它关于直线
的对称点的距离为48；③
的最大值为15；④
的最小值为
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形
中，
，
是
的中点，线段
在
边
上左右滑动；若
，则
的最小值为____________．
1、如图，在矩形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 上的动点(不与端点重合)
若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH 周长的最小值等于（
）
A．10
B．10
C．5
D．5
2、如图，在矩形
中，
，O 为对角线
的中点，点P 在
边上，且
，
点Q 在
边上，连接
与
，则
的最大值为____________，
的最小值为
__________．
3、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直线CD 上的动点，则|
PA－PB|的最大值为____．
4、如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，AH 是
的平
分线，
于点E，点P 是直线AB 上的一个动点，则
的最小值是________．
巩固练习
5、如图，
是
的直径，
，点
在
上，
，
为
的中点，
是直径
上一动点，则
的最小值是 ．
6、【问题提出】（1）如图1，点A、B 在直线l 的同侧，点A 到直线l 的距离
，点B 到直线l
的距离
，A、B 两点的水平距离
，点P 是直线l 上的一个动点，则
的最小值是
________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形
中，
，
，G 是
的中点，线段
在边
上左右滑动，若
，求
的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形
的空地，管理人员规划修两条小路
和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在
和
上分别选取点M、N，沿
、
和
修建地下水管，为了节约成本，要使得线段
、
与
之和最小．
已测出
，
，
，
，
，管理人员的想法能否
实现，若能，请求出
的最小值，若不能，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形
中，
，
，点M 是
边的中
点，点N 是
边上任意一点，将线段
绕点M 顺时针旋转
，点N 旋转到点
，则
周长的最小值为（ ）
A．15
B．
C．
D．18
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6 的正方形
中，点E，F 分别是边
上
的动点，且满足
，
与
交于点O，点M 是
的中点，G 是边
上的点，
，
则
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
3．（2023·安徽·中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两个
等边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
压轴真题强化
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
二、填空题
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知
，点
为
内部一点，点
为射线
、点
为射线
上的两个动点，当
的周长最小时，则
．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在
中，
，
，
，点
为直
线
上一动点，则
的最小值为 ．
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，过点
作
轴的垂线，
为直线上一动点，连接
，
，则
的最小值为 ．
7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线
与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，线段
在抛物线的对称轴上移动（点C 在点D 下方），且
．当
的值最小时，点C 的坐
标为 ．
8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在
中，
，
，
是
边上一点，且
，点是
的内心，
的延长线交
于点
，
是
上一动点，连接
、
，则
的最小值为 ．
三、解答题
9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形
中，
，
是
边上一个
动点，连接
，
的垂直平分线
交
于点
，交
于点
．连接
．
(1)求证：
；
(2)求
的最小值．
10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线
与轴交于
，
两点，与
轴交于
点
．已知点
的坐标是
，抛物线的对称轴是直线
．
(1)直接写出点
的坐标；
(2)在对称轴上找一点
，使
的值最小．求点
的坐标和
的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点
，过点
作
轴，垂足为
，连接
交
于点
．
依题意补全图形，当
的值最大时，求点
的坐标．
11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正
方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小
正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d 之间存在某种数量关系．小昕
按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4 中以矩形内
一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3 中“④”的基础上，小昕将
绕点
逆时针旋转，他发现旋转过程中
存在最大值．若
，
，当
最大时，求AD 的长；
（4）如图6，在
中，
，点D、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE、AE、BD．若
，
，求
的最小值．
