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专题03 费马点模型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、问题引入........................................................................................................................2
2、如何作出费马点............................................................................................................2
3、模型证明........................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................5
巩固练习.....................................................................................................................................7
压轴真题强化.............................................................................................................................8
皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，
除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提
出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，
我就不写了吧。然后，直到1995 年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了
330 年。
费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。
解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和
最小”的模型，进而求出最小值。
专题目录
模型解读
1、问题引入
问题：如图，在△ABC 内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC 的值最小.
解答：若点P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC 的值最小，P 点称为三角形的费
马点.
2、如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC 为边作等边△ABD 与等边△ACE，
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，
第三步：此时CD、BE 的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC 为边，作等边△BCF，连接AF，AF 必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.
常见类型讲解
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC 中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，
对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小
于120º.
3、模型证明
证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么
就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB 与△ACD 中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM 与△DAM 中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；
在PD 上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG 为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º，
∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD 为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC 中任取一个异于点P 的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ 绕着点A
顺时针方向旋转60º 得到
，则△ABQ 与
重合，且
在线段DQ 上或DQ 外，易证
是等边三角形.
由题意可得
，即CD 为最短的线段.
（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如
果ABC
是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足
120
APB
BPC
CPA
．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若
7,
2 3
AB
AC
BC
，P 为ABC
的费马点，则PA
PB
PC
_________；若
2 3,
2,
4
AB
BC
AC
，P 为ABC
的费马点，则PA
PB
PC
_________．
（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，D 为△ABC 内部的一动点
（不在边上），将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置，使点A 到达点E 的位
置，连接AD，AE，AF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE 的最小值为 ；
②当CD+DF+FE 取得最小值时，求证：AD//BF．
真题演练
（3）如图2，M，N，P 分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，
求出其度数，请说明理由．
（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在
同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家
和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被
称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”
中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填
写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当
的三个内角均小于
时，
如图1，将
绕，点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
由
，可知
为 ①
三角形，故
，又
，故
，
由 ②
可知，当B，P，
，A 在同一条直线上时，
取最小值，如图2，最小值为
，
此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有
③
；
已知当
有一个内角大于或等于
时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，则该三角形的“费马点”为 ④
点．
(2)如图4，在
中，三个内角均小于
，且
，已知点P 为
的“费马点”，求
的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C 的连线构成一个三角形，且已知
．
现欲建一中转站P 沿直线向A，B，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A，B，C 的铺设成
本分别为a 元/
，a 元/
，
元/
，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为
___________元．（结果用含a 的式子表示）
背景资料：在已知
所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题
是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图1，当
三个内角均小于120°时，费马点P 在
内部，当
时，则
取得最小值．
(1)如图2，等边
内有一点P，若点P 到顶点A、B、C 的距离分别为3，4，5，求
的度
数，为了解决本题，我们可以将
绕顶点A 旋转到
处，此时
这样就可以
利用旋转变换，将三条线段
、
、
转化到一个三角形中，从而求出
_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作
等边三角形并连接等边三角形的顶点与
的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同
学们探索以下问题．
(2)如图3，
三个内角均小于120°，在
外侧作等边三角形
，连接
，求证：
过
的费马点．
巩固练习
(3)如图4，在
中，
，
，
，点P 为
的费马点，连接
、
、
，求
的值．
(4)如图5，在正方形
中，点E 为内部任意一点，连接
、
、
，且边长
；求
的最小值．
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）如图，在
中，P 为平面内的一点，连接
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．36
C．
D．
二、填空题
2．（22-23 九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数
学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点
、
、
，求平面
上到这三个点的距离之和最短的点
的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何
解法．如图1，我们可以将
绕点
顺时针旋转60°得到
，连接
，可得
为等边三
角形，故
，由旋转可得
，因
，由两点之间线段最短
可知，
的最小值与线段
的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形
内部有一动点
，
，
，连接
，
，
，若
，求
的最小值 ．
压轴真题强化
三、解答题
3．（23-24 九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形
是正方形，
是等边三角形，
为对角线
（不含
点）上任意一点，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
、
、
．
(1)求证：
；
(2)当
的最小值为
时，求正方形的边长．
4．（2020·重庆·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是BC 边上一动点，
连接AD，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F 是DE 的中点，连接CF．
（1）求证：
；
（2）如图2 所示，在点D 运动的过程中，当
时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想
AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P，使
的值最小．当
的值取得最小值时，AP 的长为m，请直接用含m 的式子表示CE 的长．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在
中，
，
，P 为
内一点，求
的最小值．为了求
的最小值，小明是这样做的：将
绕点A 顺时针旋转60°得到
，则
，连接
．此时小明发现
，且
，则
为等边三角形，于是
．试着根据小明的思路，求出
的最
小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地
，其中
米，
米，点E 在
边上
且
米，F 为
边上任意一点，点A 关于
的对称点为
．牧场主欲在四边形
的四
条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B 点、C 点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形
内一点
P 处打一口井，并修建地下管道
，
，
．请问：是否存在一点P，使
的值最
小？如果存在，请求出
的最小值及此时
的长；如果不存在，请说明理由．
6．（2021·重庆·一模）如图，
和
均为等腰直角三角形，
．现将
绕点C 旋转．
（1）如图1，若
三点共线，
，求点B 到直线
的距离；
（2）如图2，连接
，点F 为线段
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，若点G 在线段
上，且
，在
内部有一点O，请直接写出
的最小值．
