文档内容
专题 09 旋转两种解题模型
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一：奔驰模型............................................................................................................2
题型二：费马点模型......................................................................................................15
压轴能力测评..............................................................................................................21
模型一：奔驰模型
旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类
题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而
解决问题
模型二：费马点模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而
来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。
题型一：奔驰模型
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•顺平县期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 到 位置．连接 ，则以下结论错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断 ；依据 是等边三角形，即可得到
，进而得出 ，求出 即可判断
选项．
【解答】解： 是等边三角形，
，
将 绕点 顺时针旋转 到 位置，
，
， ， ， ，
，是等边三角形，
，
， ，
，
，即 是直角三角形，故 正确，
是等边三角形，
，故 正确，
，故 正确，
若 ，则 ，与 ， ， 不符，故选项
错误．
故选： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进
行推理的能力．
二．填空题（共4小题）
2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 是等边三角形，点 的坐标是
，点 在第一象限， 的平分线交 轴于点 ，把 绕着点 按逆时针方向旋转，使边
与 重合，得到 ，连接 ．则 ， 点坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的每一个角都是 可得 ，然后根据对应边的夹角 为旋转角求
出 ，再判断出 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 ，根据，
的平分线交 轴于点 ， ，利用三角函数求出 ，从而得到 ，再求出 ，
然后写出点 的坐标即可．
【解答】解： 是等边三角形，
，
绕着点 按逆时针方向旋转边 与 重合，
旋转角 ， ，
是等边三角形，
， ，
的坐标是 ， 的平分线交 轴于点 ，， ，
，
，
，
， ，
，
点 的坐标为 ， ．
故答案为： ；点 的坐标为 ， ．
【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性
质并判断出 是等边三角形是解题的关键．
3．（2023 秋•长宁区校级期中）已知在 中， ， ， （如图），把
绕着点 按顺时针方向旋转 ，将点 、 的对应点分别记为点 、 ，如果△
为直角三角形，那么点 与点 的距离为 或 ．
【分析】根据△ 为直角三角形，分两种情况：①当点 在线段 延长线上时，△ 为直角三
角形；②当点 在线段 上时，△ 为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点 与
点 的距离．
【解答】解：分两种情况：
①当点 在线段 延长线上时，△ 为直角三角形，
， ， ，
，
， ，
；
②当点 在线段 上时，△ 为直角三角形，同理可得， ， ，
；
综上所述，点 与点 的距离为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．
4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形 中，将边 绕着点 旋转，当点 落在边 的垂直平
分线上的点 处时， 的度数为 或 ．
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得 是等边三角形，由等腰三角
形的性质可求解．
【解答】解：如图，当点 在 的右边时，
是 的垂直平分线，四边形 是正方形，
垂直平分 ，
，
将边 绕着点 旋转，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
当点 在 的左边时，
同理可得△ 是等边三角形，， ，
，
，
，
，
的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题
的关键．
5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以
为边在 外作 ，连接 ，则以下结论中正确有 ①②③ （填序号）
① 是等边三角形 ② 是直角三角形 ③ ④
【分析】根据等边三角形性质得出 ，根据全等得出 ， ，
， ，求出 ，即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②；求
出 ， ，即可判断③，求出 和 判断④．
【解答】解： 是等边三角形，
，
，
， ， ， ，
，
是等边三角形，
，
， ，，
，即 是直角三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
即 ，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握全等三角形的性质、等边
三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板 ，在水平桌面上绕点 按顺时针方向
旋转到 的位置，使 ， ， 三点在同一直线上，连接 ，求 的度数．
【分析】由已知直接可得旋转中心为点 ，旋转的度数为 ，而 ， ，即
得 ，由此即可求出 的度数．
【解答】解： 等腰直角三角板 ，在水平桌面上绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，
旋转中心为点 ，旋转的度数为 ，
，
，
，
，
的度数为 ，
．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质．7．（2021秋•长乐区期中）在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针
旋转一定的角度得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 恰好在边 上时，求 的大小；
（2）如图2，若 为 中点，求 的最大值．
【分析】（1）由旋转可得： ， ， ，再运用三角形内角
和定理即可得出答案；
（2）如图2，连接 ，利用等腰三角形的性质证明 ，然后证明 、 、 、 四点共圆，
接着利用圆是圆中最长的弦即可求解．
【解答】解：（1）如图1， 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好在 上，
， ， ，
，
；
（2）如图2，连接 ，
， 为 中点，
，
，
而 ，
、 、 、 四点共圆，
为这个圆的直径， 为这个圆的一条弦，
， ，
，
的最大值为8．【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含 角的直角三角形的性质，有一定的综合性．
8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，
是正方形 内一点，连结 ， ， 现将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ，连接
．若 ， ， ，则 的长为 ，正方形 的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点 是等边 内的一点，且 ， ， ，请猜想
的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的长度为 ．
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ， ， ，则
为等腰直角三角形，再由勾股定理得 ，过点 作 交 的延长线于 ，则
是等腰直角三角形，得 ，得 ，然后由勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质得 是等边三角形，则 ， ， ， ，再
由勾股定理的逆定理得 为直角三角形，即可求解；
（3）由旋转的性质得 ， ， ，则 是等腰直角三角形，得
， ，再证 ，即可解决问题．
【解答】解：（1） 绕点 顺时针旋转 得到的△ ，
， ， ， ，
为等腰直角三角形，
， ，
，在 △ 中，由勾股定理得： ，
过点 作 交 的延长线于 ，如图1所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ， ；
（2） 的度数为 ，理由如下：
是等边三角形，
， ，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，如图2所示：
则 是等边三角形，
， ，
， ，
，
为直角三角形，
，
；
（3） ，
是等腰直角三角形，
， ，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，如图3所示：
由旋转的性质得： ， ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为： ．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和
旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
9．（2023秋•梁山县期中）如图， 是正三角形 内的一点，且 ， ， ．若将
绕点 逆时针旋转后，得到△ ．
（1）求点 与点 之间的距离；
（2）求 的度数．
【分析】（1）由已知 绕点 逆时针旋转后，得到△ ，可得 △ ， ，旋
转角 ，所以 为等边三角形，即可求得 ；
（2）由 为等边三角形，得 ，在△ 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出 ，可求 的度数．
【解答】解：（1）连接 ，由题意可知 ， ，
，而 ，
所以 度．故 为等边三角形，
所以 ；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
，所以 为直角三角形，且
可求 ．
【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．
解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
．
为 直角 三角形．
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形 内部有一点 ，若 ，试判断线段 、 、 之间的数量关系，
并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到 为直角三角形，且 ，即可得到 的度
数；
（2）把 绕点 顺时针旋转 得到 ，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得
， ，然后求出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出 ，
，再求出 ，然后利用勾股定理得出 ，等量代换得出．
【解答】解：（1）如图1，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三
角形．
， ， ，
．
为直角三角形．
的度数为 ．
故答案为：直角； ；
（2） ．理由如下：
如图2，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
则 ， ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
在 △ 中，由勾股定理得， ，
．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转
角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆
定理．
11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边 （边长为 按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边 （边长为 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，如图
2；在图2中，请直接写出线段 与 之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的 ，绕点 按逆时针方向旋转任意一个角度 ，连接 ，
， 与 相交于点 ，连 ，如图 3；在图 3中线段 与 之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当 为多少度时，线段 的长度最大，最大是多少？
当 为多少度时，线段 的长度最小，最小是多少？
【分析】（1）利用 证明 即可；
（2）利用 证明 ，得 ， ，再利用三角形内角和定理可得答案；
（3）点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上运动，当 ， ， 三点共线时， 最长或最短．
【解答】解：（1） ；
将 绕点 按逆时针方向旋转 ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，理由如下：
设 与 交于点 ，
将 绕点 按逆时针方向旋转 度，
，
与 是等边三角形，
， ，，
， ，
，
，
（3）由旋转的性质可知，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上运动，当 ， ， 三点共线时，
最长或最短．
当 为 时，线段 的长度最大，等于 ；当 为 （或 时，线段 的长度最小，等于
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
角平分线的判定等知识，证明 是解题的关键．
题型二：费马点模型
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知 ， ， ，点 在 内，将 绕着
点 逆时针方向旋转 得到 ．则 的最小值为
A．10 B． C． D．
【分析】连接 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，由旋转可知 ，
， ， ， 于 是 可 得 为 等 边 三 角 形 ， 进 而 得 到
， 利 用 含 30 度 的 直 角 三 角 形 性 质 可 得 ，
，最后利用勾股定理求出 的长即可．
【解答】解：如图，连接 ，过点 作 ，与 的延长线交于点 ，
则 ，
将 绕着点 逆时针方向旋转 得到 ，， ， ， ，
为等边三角形，
，
，
，
当点 、 、 在同一条直线上时， 取得最小值为 ，即 取得最小值为
，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
取得最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，
熟练掌握旋转的性质是解题关键．
二．解答题（共2小题）
2．（台州期中）（1）知识储备
①如图1，已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ．
②定义：在 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的费
马点，此时 的值为 的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻 （其中 ， ， 均小于 的费马点和费马距离的方法：
如图2，在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的
长度即为 的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出 的费马点 （要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打 ，错误的打
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形 ， 是正方形内部一点，且 的最小值为 ，求正方形 的
边长．【分析】（1）①根据已知首先得出 为等边三角形，进而得出 ，即
；
（2）①利用（1）中结论得出 ；以及线段的性质“两点之间线段
最短”容易获解；
②画出图形即可；也可以将 绕点 按顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 ，然后在
上截取 ，则△ 是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
（3）①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可；
②将 沿点 逆时针旋转 到△ ，如图 5，根据 的最小值为 ，得
的最小值为 ，即 ，设正方形的边长为 ，根据勾股定理列方程得：
得： ，解出可得正方形的边长．
【解答】（1）①证明：在 上取一点 ，使 ，连接 ，
是等边三角形，
，
又 ，
是正三角形，
， ，
，
又 ， ，
，
，
；（4分）
（2）①如图2，得： ，
当 、 、 共线时， 的值最小，
线段 的长度即为 的费马距离，
故答案为： ；（6分）
②过 和 分别向外作等边三角形，连接 ， ，交点即为 ．（过 或 作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分）
（3）①ⅰ． ；
ⅱ．当三角形有一内角大于或等于 时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点 （10分）
故答案为： ， ， ， ；
②解：将 沿点 逆时针旋转 到△ ，
如图5，过 作 ，交 的延长线于 ，连接 ，
易得： ， ， ， ，
， ，
△ 是正三角形，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ，
， ， ， 在同一直线上，即 ，（12分）
设正方形的边长为 ，
， ，
，
在 △ 中， ， ，
得： ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去）
正方形 的边长为2．（14分）【点评】此题是圆的综合题，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考
查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识．难度很大，理解新定义是本题的关键．
3．（宿豫区校级期中）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知 所在平面上存在一点 ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 为
的费马点，此时 的值为 的费马距离；
②如图（B），若四边形 的四个顶点在同一圆上，则有 ．此为托勒密定
理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 、 、 均小于 的费马点和费马距离的
方法：
第一步：如图（D），在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆；
第 二 步 ： 在 上 任 取 一 点 ， 连 接 、 、 、 ． 易 知
；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出 的费马点 ，并请指出线段 的长度即为
的费马距离．（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓
的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄 、 、 构成了如图（E）所示的 （其中 、 、 均小于 ，现选取一点
打水井，使从水井 到三村庄 、 、 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式
两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”
数学容易获解．
（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解．
【解答】（2）①证明：由托勒密定理可知
是等边三角形
，
，
② 、 ，
（3）解：如图，以 为边长在 的外部作等边 ，连接 ，则知线段 的长即为最短距离．
为等边三角形， ，
， ，
， ，
在 中， ， ，
，
从水井 到三村庄 、 、 所铺设的输水管总长度的最小值为 ．【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．
难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．
1．（连城县期中）（1）如图1，点 是等边 内一点，已知 ， ， ，求 的
度数．
要直接求 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边
集中到一个三角形内，如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等边三角形．
，
是等边三角形
，
，
在 中， ， ， ，
（2）如图3，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ， ，
求 的度数．【分析】（1）如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等边三角形．只要证明
，推出 ， ，再利用勾股定理的逆定理即可解决问题；
（2）把 绕 点逆时针旋转 得到 ，如图，想办法证明 是等腰三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等边三角形．
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 中， ， ， ，
故答案为： ， ， ，90．
（2）解： ， ，
把 绕 点逆时针旋转 得到 ，如图，
， ， ，
为等腰直角三角形，
， ，
在 中， ， ， ，
，
，
为直角三角形，
，
．【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，
解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（西城区校级期中）如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，将 绕点
逆时针旋转，得到 ．求：
（1）点 与点 之间的距离；
（2）求 的度数．
【分析】（1）连接 ，如图，根据等边三角形得性质得 ， ，再利用旋转的性质得
， ， ， ， ，于是可判断 是等边
三角形，所以 ；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，再加上 ，然后计算
即可．
【解答】解：（1）连接 ，如图，
是等边三角形
， ，
是 绕点 逆时针旋转得到的，
， ， ，
， ，
是等边三角形，
；
（2） ， ， ，
而 ，
，
是直角三角形，且 ，是等边三角形，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
3．（汉阳区期中）如图， 是等腰 内一点， ，连接 ， ， ．
（1）如图1，当 时，将 绕 点顺时针旋转 ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小；
（3）当 时，且 ， ， ，则 的面积是 （直接填答案）
【分析】（1）由 ， 可知点 旋转到点 ，在 的下方过点 作 的垂线，并且
在垂线上截取 ，则 为点 绕 点顺时针旋转 以后的对应点，△ 即为所求；
（2）连接 ，求出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ，
，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后计算即可得解；
（3）根据全等三角形的面积相等求出 与 的面积之和等于四边形 的面积，然后根据等边
三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出 和 的面积的和， 和
的面积的和，从而求出 的面积，然后根据 的面积 的面积 与 的面
积的和计算即可得解．
【解答】解：（1）如图1所示，△ 即为所求；（2）如图2，连接 ．
将 绕 点顺时针旋转 ，与△ 重合，
△ ， ，
， ， ，
是等腰直角三角形，
， ．
在 中， ， ， ，
，
△ 是直角三角形， ，
；
（3）如图3①，将 绕 点逆时针旋转 得到△ ，连接 ，
△ ，
， ， ，
是等边三角形，
，
， ， ，
，
△ 是直角三角形， ，
， ，
；
△ ，；
如图3②，同理可求： 和 的面积的和 ，
和 的面积的和 ，
的面积 ，
的面积 的面积 与 的面积的和 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的
面积，其中（3）较为复杂，求出 的面积是解题的关键．
4．（汉阳区期中）（1）阅读证明①如图1，在 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的
费马点，此时 的值为 的费马距离．
②如图2，已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻 （其中 ， ， 均小于 的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆；
第 二 步 ： 在 上 取 一 点 ， 连 接 ， ， ， ． 易 知
；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出 的费马点 ，线段 的长度即为 的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄 ， ， 构成了如图4所示的 （其中 ， ， 均小于 ，现选取一点 打
水井，使水井 到三村庄 ， ， 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 已 知 首 先 得 出 为 等 边 三 角 形 ， 进 而 得 出 即
；
（2）利用（1）中结论得出 ；以及线段的性质“两点之间线
段最短”容易获解；
（3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图2，延长 至 ，使 ．
在等边 中，
，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，，
．
；
（2）由（1）得出：第一步：如图3，在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆；
第 二 步 ： 在 上 取 一 点 ， 连 接 ， ， ， ． 易 知
；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出 的费马点 ，线段 的长度即为 的费马距离．
故答案为： ； ．
（3）如图4，以 为边在 的外部作等边 ，连接 ．
的长就是 的费马距离．
可得
．
输水管总长度的最小值为5千米．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养
同学们钻研问题和探索问题的精神．
5．（当涂县校级期中）如图，点 是等边 外一点， ， ，（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求 的度数．
【分析】（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ 如图所示．
（2）只要证明 是等边三角形，由 ，推出 ，即可解决问题．
【解答】解：（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，如图所示，
（2） △ 是由 旋转所得，
△ ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
， ， ，
，
．
【点评】本题考查等边三角形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，学会用转化的思想思考问题，属于中考常
考题型．
