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专题39 最值模型之几何转化法求最值模型
（全等、相似、中位线、对角线性质等）
几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。
在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。
本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的
几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何
转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），
希望对大家有所帮助！
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模型1.几何转化模型-全等转化法..................................................................................................................1
模型2.几何转化模型-相似转化法..................................................................................................................3
模型3.几何转化模型-中位线转化法..............................................................................................................4
模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法..........................................................................5
模型5.几何转化模型-其他性质转化法..........................................................................................................6
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模型1.几何转化模型-全等转化法
条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论： ， 。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉
手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，P是边上一动点，连接 ，把线段 绕点D逆时针旋转 到线段 ，连接 ，则线段 的最小值
为 ．
例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为x
轴上一动点，以 为边在直线 的右侧作等边三角形 ．若点P为 的中点，连接 ，则 的
长的最小值为 ．
例3.（2024·四川内江·二模）如图，在 中， ， ，P是 的中点，若点D
在直线 上运动，连接 ，以 为腰，向 的右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则在点D的
运动过程中，线段 的最小值为 ．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，以
为直角边向作等腰 ，连接 ，当 取得最大值时， 的面积为 ．模型2.几何转化模型-相似转化法
条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论： ， 。
该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉
手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。
例1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形 中， ，
则对角线 的最小值为 ．
例2．（2024上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图， 的直径 长为16，点 是半径 的中点，过
点 作 交 于点 ， ．点 在 上运动，点 在线段 上，且 ．则 的最大
能是 ．
例3．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形 中， ， ， 与 交于点O，分别过点C，D作 ， 的平行线相交于点F，点G是 的中点，点P是四边形 边上的动点，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
模型3.几何转化模型-中位线转化法
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，
结论：（1）DE//BC且 ，（2）△ADE∽△ABC。
证明：如图1，过点C作 交 延长于点F，∴ ，
∵ 是 的中位线，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ， ；
∵ ，∴ ， ，∴△ADE∽△ABC。
例1．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点M、N分别是边 、 上的动点（不与A、B、C重合）， 点E、F分别为 、 的中点， 连接 ， 则
的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
例2．（2024·广东肇庆·一模）如图，点 在以 为直径的半圆上， 是半圆上不与点 重合的动点．连
接 ， 是 的中点，过点 作 于点 ．若 ，则 的最大值是 ．
例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形 中， ，点E、F分别是边 的中点，点P
为 边上动点，过点P作与 平行的直线交 于点G，连接 ，点M是 中点，连接 ，则
的最小值＝ ．
模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法
该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相
等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。
例1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 为线段 上一动点， 于点 ， 于点 ，则 的最小值为 ．
例2．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，P是 的斜边 （不与点A、C重合）上一动点，
分别作 于点M， 于点N，O是 的中点，若 ， ，当点P在 上运动时，
的最小值是 ．
例3．（2024·河南周口·一模）如图， 中， ， ， ，点P为 上一个动
点，以 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
模型5.几何转化模型-其他性质转化法
图1 图2
如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC= AC.如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，则BC= AC.
例1．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形 ，边长 ，对角线 、 相交于点
O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与 、 交于 、 两点，当三角板绕
点O旋转时，线段 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在 中， ， ，P为
边上一动点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 至 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形 中， ，对角线 、 交于点O，且
．若 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．4 C．9 D．2
例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中， ， ，点E、F分别是 、边上的两个动点，连接 ， ，若 平分 ，则 的最大值为 （结果保留根号）
1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在 中， ， ，点D，E分别是
边上的动点，连结 ，F，M分别是 的中点，则 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
2．（2023·浙江杭州·二模）如图，点 为 的内心， ， ，点 ， 分别为 ，
上的点，且 ．甲、乙两人有如下判断：甲： ：乙：当 时， 的
周长有最小值．则下列说法正确的的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
3．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知正方形 的边长为4，点 是对角线 上一点，
于点 ， 于点 ，连接 ， ．给出下列结论：① 且 ；②
；③ 一定是等腰三角形；④四边形 的周长为 ；⑤ 的最小值为 ；⑥．其中结论正确的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥
4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形 边长为4，以 为圆心， 为半径画弧， 为弧 上动
点，连 ，取 中点 ，连 ，则 最小值为 ．
5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若 中， ， ， ， 是
边上一动点，连接 ，把线段 绕点 逆时针旋转 到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为
（ ）
A．1 B．3 C．√3 D．
6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在 中， ， ，现以 为边在 的下方作
正方形 并连接 ，则 的最大值为（ ）A． B．6 C． D．
7．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）如图，边长为20的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一
个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点M运动的过程中，线段
长度的最小值是（ ）
A．3 B．10 C．5 D．6
8．（2023·广东湛江·二模）如图，在 上有顶点C和动点P，位于直径 的两侧，过点C作 的垂线
与 的延长线交于点Q．已知 的直径为10， ，则 最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
9．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在矩形 中， ， ， 与 交于点 ，分
别过点 ， 作 ， 的平行线相交于点 ，点 是 的中点，点 是四边形 边上的动点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，在 中，已知 为平面上
一点，且 为 上一点，且 ，则 的最小值为 ．11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在 中，连接 ， ， ， 是边 上
一动点，连接 ，以 为边向左侧作等边 ，连接 ，则 的最小值是 ．
12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在 中， ， ，P是 的高 上
一个动点，以B点为旋转中心把线段 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是
．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图在菱形 中， 为对角线 与BD的交点，点 为边AB上
的任一点（不与 、 重合），过点 分别作 ， ， 、 为垂足，则可以判断四边形
的形状为 ．若菱形的边长为 ， ，则 的最小值为 ．（用
含 的式子表示）
14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图， 中， ， ，P是边 上的一
个动点，以 为对角线作平行四边形 ，则 的最小值为 ．15．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这
样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形 中，
，垂足为 ，对角线 ， ，设 ，则 的最小值等于 ．
16．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是 ，点B的坐标是 ，长为
2的线段CD在y轴上移动，则 的最小值是 ．
17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形 的边长为4， ，点E在线段 上，
以 为边在 左侧构造菱形 ，使G在 的延长线上，连接 ，分别取 的中点H，
O，连接 ，则 ；当点E在 边上运动（不含A，D）时， 的最小值为
．18．（2024·山东济南·二模）在菱形 中， 为菱形内部一点，且 ，连接 ，
点F为 中点，连接 ，点G是 中点，连接 ，则 的最大值为 ．
19．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 与 是等边三角形，连接 ，取 的中点 ，连接
，将 绕点 顺时针旋转．若 ，则在 旋转过程中，则线段 的最大值为
．
20．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为 的正方形 中，点 ， 分别是边 ， 上的
动点，且满足 ， 与 交于点 ，点 是 的中点， 是边 上的点， ，则
的最小值是 ．
21．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形 ，边长 ，对角线 相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与 交于E、F两点，当三角板绕点O
旋转时，线段 的最小值为 ．
23．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点B、M、C三点在同一直线上，四边形 是菱
形， 是边长为4的等边三角形，把 绕点M逆时针旋转，当 （即 ）与 交于一点
E， （即 ）同时与 交于一点F时，点E、F和点A构成 ，则 的周长的最小值是
．
24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）发现：如图1，点A为线段 外一动点，且 ．
填空：线段 的长最大值为 (用含a，b的式子表示)
（2）应用：点A为线段 外一动点，且 ，如图2所示，分别以 为边，作等边三
角形 和等边三角形 ， 连接 ．①求证： ；②直接写出线段 长的最大值．
（3）拓展：如图3，已知 ，点D是平面内的一点， ，连接 ，将 绕点D逆时针旋转
得到 ，连接 ，请直接写出线段 长的最大值以及此时 的长．25．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【方法尝试】如图1，矩形 是矩形 以点A
为旋转中心，按逆时针方向旋转 所得的图形， 分别是它们的对角线．则 与 数量关系
_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】如图2，在 和 中，
．将 绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角
为α（ ），连接 ．请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，在 中， ，过点A作 ，在射线 上取一
点D，连接 ，使得 ，请求线段 的最大值和最小值．
