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专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD 是高，AE 是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
，
，
为
的平分线，
于点
，则
度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长
线交AC 于点E，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；
③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE 分别是Rt△ABC 的高和中线，AB＝9cm，
AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在
中，
，
分别是
的高和角平分线，
若
，
．(1)求
的度数．(2)试写出
与
关系式，并证明．(3)如图，F
为AE 的延长线上的一点，
于D，这时
与
的关系式是否变化，说明理由．
模型2：双垂直模型
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结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③
。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在
中，
分别是
边上的高，并且
交于
点P，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在
中，
和
分别是
边上的高，若
，
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）如图，在
中，
，
，
于点F，
于点
，
与
交于点
，
．(1)求
的度数．(2)若
，求
的长．
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模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③
。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在
中，
，
于D，求证：
．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF，AD
交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC 是直角三角形．
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例3．（2022 秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，垂足为
．如
果
，
，则
的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
例4．（2023 春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在
中，
，
是角平分线，D 是
上的点，
、
相交于点F．
(1)若
时，如图所示，求证：
；(2)若
时，试问
还成立吗？若成
立说明理由；若不成立，请比较
和
的大小，并说明理由．
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课后专项训练
1．（2023 秋·江苏·八年级专题练习）如图，在
中，
，
，
的垂直平分线交
于点D，交
于点E，
，则
的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，
中，
，
平分
，若
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在
中，
平分
交
于点
、
平分
交
于点
，
与
相交于点
，
是
边上的高，若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在
中，
，
，
，
分别是
的中线、角平分线和高线，
交
于点G，交
于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于
的面积； ②
；
③
； ④
．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，
，
，
是高，
是中线，
是角平分线，
交
于点G，交
于点H，下面结论：
的面积＝
的面积；
；
；
．其中结论正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（2022 秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，
是等腰三角形，
，
，在腰
上
取一点D，
，垂足为E，另一腰
上的高
交
于点G，垂足为F，若
，则
的长
为 ．
7．（2023 春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在
中，
，
、
分别是
的高和角平分线，点E 为
边上一点，当
为直角三角形时，则
．
8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在
中，
，
、
分别在边
、
上，
、
相交于点
．
(1)给出下列信息：①
；②
是
的角平分线；③
是
的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
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条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若
，求
的度数．（用含
的代数式表示）
9．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
，
于
，
平分
交
于
，交
于F．(1)如果
，求
的度数；(2)试说明：
．
10．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学
式）．如图．在直角
中，
是斜边
上的高，
．
(1)求
的度数；(2)求
的度数．
解：（1）
（已知），
______° ，
（______），
______°
______°（等量代换），
（2）
（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______
______°（等量代换）．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在
中，
，
于点D，E 为
上
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一点，
(1)求证：
平分
；(2)若
，求证：
．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，CE 平分
∠DCB 交AB 于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB 的长．
13．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在
中，
分别是
的角平分线和高
线，
，
．
(1)若
，则
_______；
(2)小明说：“无需给出
的具体数值，只需确定
与
的差值，即可确定
的度数．”请通过计
算验证小明的说法是否正确．
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14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在
中，
，
，
是
边上的高，
是
的平分线．(1)求
的度数；(2)若
，试探求
、
、
之间的数量关
系．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在
中，
，
，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在
中，
为
的平分线，
，
．求证：
为
的“等角分割
线”；
(3)在
中，若
，
是
的“等角分割线”，请求出所有可能的
的度数．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在
中，
和
的平分线相交于点
，过点
作
交
于
，交
于
，过点
作
于
.
（1）求证：
；（2）求证：
；（3）若
，
，请用含
，
的代数式表示
的面积，
___________（直接写出结果）
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17．（2023 春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在
中，
，
平分
．
(1)如图①，若
于D，求
的度数．(2)如图②若点P 为
上一点，
，求
的
度数．
18．（2023 春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在
中，
，
于点D，
平分
交
于点E，交
于点F，求证：
．
19．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在
中，
，
平分
．
(1)求
的度数；(2)求
的度数；(3)直接写出
，
，
三个角之间的数量关系．
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20．（2022 秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在
中，
为
的高，
为
的角平分
线，
交
于点G，
比
大
，
，求
的大小．
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