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专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型
模型1、双角平分线模型
图1 图2 图3
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE，CF 交于点G；结论：
．
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
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条件：如图6，
，
的平分线相交于点
，
的平分线相交于点
，
，
的平分线相交于点
……以此类推；结论：
的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
E
D
C
B
A
h1
h2
h3
E
D
C
B
A
条件：如图，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分∠CAD
例1．（2022 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在
中，点
是
内一点，且点
到
三
边的距离相等，若
，则
．
例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE 中，
，DP，CP 分别
平分
，
，则
的度数是 ．
例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交
于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋
∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，
CD，AC 之间的数量关系，并加以证明．
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例4．（2023 秋·成都市·八年级专题练习）如图，在
中，
，三角形两外角的角平分线交于点
E，则
．
例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在
中，
、
的外角平分线相交于点
，若
，
，求
的度数.
例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD 分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则
∠BDC＝（ ）
A．35°
B．25°
C．70°
D．60°
例7．（2022 秋·八年级课时练习）如图，
和
分别是
的内角平分线和外角平分线，
是
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的平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，……以此
类推，若
，则
．
例8．（2023 春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC 中，BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE
为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E，记
，
，则以下结论①
，
②
，③
，④
，正确的是 ．（把所有正确的结论的
序号写在横线上）
例9．（2023 秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1 所示，在
中，
和
的平分线将
于点O，则有
，请说明理由．
（2）如图2 所示，在
中，内角的平分线
和外角
的平分线交于点O，请直接写出
与
之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3 所示，AP，BP 分别平分
，
，则有
，请说明理由．
（4）如图4 所示，AP，BP 分别平分
，
，请直接写出
与
，
之间的关系，不必说
明理由．
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课后专项训练
1．（2023·成都·八年级月考）如图，
的外角
的平分线
与内角
的平分线
交于点
，若
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在
中，
，
，点E 在
的延
长线上，
的平分线
与
的平分线
相交于点D，连接
，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
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3．（2022 春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴在正半轴、x 轴正半
轴分别交A、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO，BD 平分∠ABO，则∠D 的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
4．（2022 秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点
在
内，且到三边的距离相等，连接
．若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠A＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC
与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D 等于（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
6．（2023 春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在
中，
是角平分线，
是边
上的高，延长
与外角
的平分线交于点
．以下四个结论：①
；②
；③
；④
．其中结论正确的个数是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2022 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，
中，
，
，
的平
分线与外角
的平分线交于点E，连接
，则
的度数为 ．
8．（2023 春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，
和
分别是
的内角平分线和外角平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，
是
的平分线，若
，则
．
9．（2022 秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在
中，
，
的平分线与外角
的平分线相交于点M，作
的延长线得到射线
，作射线
，有下面四个结论：
①
；②
；③射线
是
的角平分线；④
．
所有正确结论的序号是 ．
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10．（2023 春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O，延长BO
与∠ACB 的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形
中，
，
的平分线与
的平分线交于点
，则
．（用含字母
的代数式表示）
12．（2023 春·河南·七年级专题练习）如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角
平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC 中，O 为∠ABC 和∠ACB 的平分
线BO，CO 的交点．试猜想∠BOC 和∠A 的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O 为∠ABC 的平
分线BO 和∠ACE 的平分线CO 的交点，则∠BOC 与∠A 的关系又该怎样？为什么？
ABCD
A
D
m
ABC
BCD
P
P
m
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14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，
完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90 +
A,
∠
理由如下：
BO
∵
和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线
1=
∴∠
ABC, 2=
∠
∠
ACB
∠
l+ 2=
∴∠∠
( ABC+ ACB)=
∠
∠
(180 - A)= 90
∠
-
A
∠
BOC=180
∴∠
-( 1+ 2) =180
∠
∠
-(90 -
A)=90
∠
+
A
∠
(1)探究2；如图2 中，O 是
∠ABC 与外角
∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样
的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3 中, O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关
系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+ D
∠
有怎样的关系？（直接写出结论）
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15．（2023 春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B 分别在射线OM、ON 上运动（不与点O 重
合），AC、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝
°；
（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG 的度数；（用含n 的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C
作直线与AB 交于F，若CF OA
∥
时，求∠BGO－∠ACF 的度数．（用含n 的代数式表示）．
16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC 中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）；
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②∠BDC 的度数为 （用含α 的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F，求∠BFC 的度数（用含α 的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角
平分线交于点M（如图3），求∠BMC 的度数（用含α 的代数式表示）．
17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般
性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】小明在处理教材第43 页第21 题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线
的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在
中，点
是
内角
平分线
与外角
的平分线
的交点，则有
．请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为
，
又因为在
中，
，
所以
．
所以
______．（理由是：等式性质）
同理可得：
______．
又因为
和
分别是
和
的角平分线，
所以
，
______
．
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所以
．
即
（
）．
所以
．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在
中，
．延长
至
，延长
至
，已知
、
的角平分线与
的角平分线及其反向延长线交于
、
，求
的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形
的内角
与外角
的平分线形成如图所示形状．
①已知
，
，求
的度数；②直接写出
与
的关系．
18．（2023 春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：
如图1，在
中，
，
和
的平分线交于
，则
的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在
中，
的平分线和
的外角
的角平分线交于
，则
与
的关系
是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在
中，
外角
的角平分线和
的外角
的角平分线交于
，请直接写
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出
与
的关系是______．
19．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在
中，
平分
，
平分外角
，试说明
．
【变式应用】（2）如图2，
，A，B 分别是射线
上的两个动点，
与
的
平分线的交点为P，则点A，B 的运动的过程中，
的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；
若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，
，作
的平分线
，A 是射线
上的一定点，B 是直线
上的任意一点（不与点O 重合），连接
，设
的平分线与
的邻补角的平分线的交点为
P，请直接写出
的度数．
20．（2023 春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3 倍，
我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在
中，
，
，则
与
互为“和谐角”，
为“和谐三角形”．
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【理解】(1)若
为和谐三角形，
，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若
为和谐三角形，
，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知
是和谐
中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定
的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图，
中，
，
，
交
于点F，点D 是
延长线上一点，
，若
是和谐
中的一个和谐角，设
，则
______．
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