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淘宝：学思创想
专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD 是高，AE 是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
，
，
为
的平分线，
于点
，则
度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依据直角三角形，即可得到
，再根据
,
平分
,即可得到
的度
数,再根据
进行计算即可．
【详解】解：
,
,
又
,
平分
,
，
,故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是
是解答此题的关键．
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例2．（2023 春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长
线交AC 于点E，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；
③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、
中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE 分别是Rt△ABC 的高和中线，AB＝9cm，
AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．
【答案】（1）AD 的长度为
cm；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm．
【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE＝CE，再表示
△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC
AB
﹣
即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S△ACB=
AB•AC＝
BC•AD，
AB
∵
＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝
＝
＝
（cm），即AD 的长度为
cm；
（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE＝CE，
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ACE
∴△
的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC
AB
﹣
＝12
9
﹣＝3（cm），
即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在
中，
，
分别是
的高和角平分线，
若
，
．(1)求
的度数．(2)试写出
与
关系式，并证明．(3)如图，F
为AE 的延长线上的一点，
于D，这时
与
的关系式是否变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和求出
，根据角平分线的定义得到
，根据高线的性质得
到
，从而求出
，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到
，根据三角形内角和求出
，根据角的和差得到结果；（3）过
作
于
，结合（2）知
，证明
，得到
，即可证明．
【详解】（1）解：∵
，
，∴
，
∵
平分
，∴
，
∵
是高，∴
，∵
，∴
，∴
；
（2）
，
证明如下：∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，
∴
；
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（3）不变，理由是：如图，过
作
于
，由（2）可知：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，
熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③
。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在
中，
分别是
边上的高，并且
交于
点P，若
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得
的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵
是
边上的高，∴
，∵
，∴
，
∵
是
边上的高，∴
，∴
，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（2022 秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在
中，
和
分别是
边上的高，若
，
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．
【详解】∵
，∴
，∴
．故选B．
【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出
是解题关
键．
例3．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）如图，在
中，
，
，
于点F，
于点
，
与
交于点
，
．
(1)求
的度数．(2)若
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面积法，由
代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
，∴
，
∵
，
，
，∴
．
【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③
。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在
中，
，
于D，求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据
可得
，再根据
，即可求证．
【详解】证：∵
，
∴
又∵
，∴
又∵
，∴
∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF，AD
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交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】根据AD 是△ABC 的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD，
观察∠BED 与∠AEF 的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此结合
已知不难得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解题．
【详解】证明：由题意得：AD⊥BC，BF 平分∠ABC，
∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即△ABC 是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定
义是关键．
例3．（2022 秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，垂足为
．如
果
，
，则
的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD 即可．
【详解】解：∵
，
，
，∴根据勾股定理
，
∵
，∴S△ABC=
，即
，解得：
．故选择D．
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【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，
三角形面积等积式是解题关键．
例4．（2023 春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在
中，
，
是角平分线，D 是
上的点，
、
相交于点F．
(1)若
时，如图所示，求证：
；(2)若
时，试问
还成立吗？若成
立说明理由；若不成立，请比较
和
的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立；当
时，
；当
时，
；理由见解
析．
【分析】（1）证明
，由
，证明
，由三角形的外角的性质
可得
，
，从而可得结论．
（2）证明
，结合三角形的内角和定理可得
，再分两种情况可得结论．
【详解】（1）证明：∵
是角平分线，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
．
（2）不成立． 理由如下：
∵
，
，
，∴
，
∵
，∴
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不
等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．
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课后专项训练
1．（2023 秋·江苏·八年级专题练习）如图，在
中，
，
，
的垂直平分线交
于点D，交
于点E，
，则
的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】连接
，由垂直平分线得
，可求得
，于是
，根据
，
求得
．
【详解】解：连接
，∵
是
的垂直平分线，∴
，
∴
，∴
，
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∴
，∴
，∵
，∴
，∴
．故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30º 角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂
直平分线导出角之间关系是解题的关键．
2．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，
中，
，
平分
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，那么
，然后利用
分别表示
，
，
，最后利用三角形内
角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵
中，
，
∴设
，那么
，∴
，
∵
平分
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
．故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角
形内角和定理．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在
中，
平分
交
于点
、
平分
交
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于点
，
与
相交于点
，
是
边上的高，若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意证明
，得出
，三角形内角和定理得出
，根据
直角三角形的两个锐角互余求得
，根据角平分线的定义可得
，根据
即可求解．
【详解】解：
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平
分线的定义，数形结合是解题的关键．
4．（2023 春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在
中，
，
，
，
分别是
的中线、角平分线和高线，
交
于点G，交
于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于
的面积； ②
；
③
； ④
．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
【答案】B
【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断
的面积等于
的面积；
②先根据同角的余角相等证得
，再根据角平分线的定义得出
，最后根据三
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角形外角的性质得出
，
，即可得证；
③先根据同角的余角相等证得
再根据角平分线的定义得出
，于是推出
；④无法证得AH=BH．
【详解】解：∵
是
的中线，∴
，∴
的面积等于
的面积，故①正确；
∵
是
的角平分线，∴
，
∵
是
的高线，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
是
的一个外角，∴
，
∵
是
的一个外角，∴
，∴
，故②正确；
∵CF 是
的高线，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
是
的角平分线，∴
，∴
，故③正确；
无法证得AH=BH，故④错误；故正确的有①②③ 故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这
些性质是解题的关键．
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，
，
，
是高，
是中线，
是角平分线，
交
于点G，交
于点H，下面结论：
的面积＝
的面积；
；
；
．其中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定
和
的面积关系以及求出
的长度．
【详解】解：
是
的中线
的面积等于
的面积 故
正确；
，
是
的高
，
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是
的角平分线
又
故
正确；
故
正确；
故
错误；故选：C
【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决
本题的关键．
6．（2022 秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，
是等腰三角形，
，
，在腰
上
取一点D，
，垂足为E，另一腰
上的高
交
于点G，垂足为F，若
，则
的长
为 ．
【答案】6
【分析】过点G 作
交
于点M，过点M 作
，根据等腰三角形各角之间的关系得出
，再由垂直及等量代换得出
，利用等角对等边确定
，
，再由全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：过点G 作
交
于点M，过点M 作
，如图所示：
∵
，
，
，
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∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，
，
∴
，∴
，
，
在
与
中，
，∴
∴
，∴
，故答案为：6．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟
练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023 春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在
中，
，
、
分别是
的高和角平分线，点E 为
边上一点，当
为直角三角形时，则
．
【答案】50 或25/25 或50
【分析】根据三角形内角和定理得
，由角平分线的定义得
，当
为直角三角
形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
，∴
∵
平分
∴
当
为直角三角形时，有以下两种情况：
①当
时，如图1，∵
，∴
；
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②当
时，如图2，∴
，
∵
，∴
，
综上，
的度数为
或
．故答案为：50 或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解
答此题的关键．
8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在
中，
，
、
分别在边
、
上，
、
相交于点
．
(1)给出下列信息：①
；②
是
的角平分线；③
是
的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若
，求
的度数．（用含
的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得
，由
和
，得出
，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵
是
的角平分线，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
∵
，
∴
，∴
是
的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵
是
的高，∴
，∴
，
∵
，
，
，
∴
， ∴
是
的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵
是
的角平分线，∴
，
∵
是
的高，∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵
，∴
，
∵
是
的角平分线，∴
，
∵
，∴
．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性
质是解题关键．
9．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在
中，
，
于
，
平分
交
于
，交
于F．
(1)如果
，求
的度数；(2)试说明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
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【分析】（1）根据三角形内角和 可得
的度数，根据角平分线的定义可得
的度数，根据直角
三角形的性质可得
的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得
，
，根据角平分线的定
义可得
，从而可得
，即可得证．
【详解】（1）解：
，
，
，
平分
交
于
，
，
；
（2）证明：
，
，
，
，
，
平分
交
于
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性
质是解题的关键．
10．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学
式）．如图．在直角
中，
是斜边
上的高，
．
(1)求
的度数；(2)求
的度数．
解：（1）
（已知），
______° ，
（______），
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______°
______°（等量代换），
（2）
（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______
______°（等量代换）．
【答案】(1)
；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；
；
；35
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；
（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．
【详解】（1）解：
已知，
，
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
等量代换．
（2）
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
等式的性质．
已知，
等量代换．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在
中，
，
于点D，E 为
上
一点，
(1)求证：
平分
；(2)若
，求证：
．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明
，
，再证明
，从而可得结论；
（2）先证明
，
可得
，
，
，从而可得结论．
【详解】（1）证：在
中，
在
中，
∵
，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
，
∴CE 平分
；
（2）∵
，
∴
∵在
中，
，而
∴
∴
∵在
中，
∴
∵在
中，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并
求解
是解本题的关键．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，CE 平分
∠DCB 交AB 于点E，
(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)AB＝4
【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE 平分∠BCD，可得∠BCE＝
∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝
30°，进而得出Rt△ACD 中，AC＝2AD＝2，Rt△ABC 中，AB＝2AC＝4．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；
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（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD 中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC 中，AB＝2AC＝4．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30°角所对的直
角边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180°，三角形外角等于不相邻两个内角的和．
13．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在
中，
分别是
的角平分线和高
线，
，
．
(1)若
，则
_______；
(2)小明说：“无需给出
的具体数值，只需确定
与
的差值，即可确定
的度数．”请通过计
算验证小明的说法是否正确．
【答案】(1)
(2)小明的说法正确，理由见解析
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出
，根据角平分线的定义求出
，根据直角三角形的
两个锐角互余求出
，再利用角的和差即可求出
；
（2）根据（1）的思路求出
，即可作出判断．
【详解】（1）∵
，
，
，
∴
,
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
是高线，
淘宝：学思创想
，
，
∴
；
（2）∵
是
的平分线，
．
是高线，
，
，
．
由
可知：
的度数与
的具体数值无关，只和
与
的差值有关，
故小明的说法正确．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，
属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在
中，
，
，
是
边上的高，
是
的平分线．
(1)求
的度数；(2)若
，试探求
、
、
之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出
，根据角平分线的定义得出
，根据
，得出
，求出
，
最后根据
得出结果；
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（2）根据角平分线的定义得出
，根据高线的定义得出
，求出
，根据
，得出
，根据
求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在
中，
，
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∵
是
边上的高，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：∵
，
是
的平分线，
∴
，
∵
是
边上的高，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练
掌握三角形内角和为
．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
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那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在
中，
，
，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在
中，
为
的平分线，
，
．求证：
为
的“等角分割
线”；
(3)在
中，若
，
是
的“等角分割线”，请求出所有可能的
的度数．
【答案】(1)
与
；
与
；
与
（任意写出两对“等角三角形”即可）
(2)见解析 (3)
的度数为
或
或
或
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得
，
，
，
再根据“等角三角形”的定义即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得
，从而可得
，根据等腰三角形的判
定可得
是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得
，从而可得
与
是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；
（3）分①当
是等腰三角形，
时；②当
是等腰三角形，
时；③当
是等
腰三角形，
时；④当
是等腰三角形，
时四种情况，利用等腰三角形的性质、三
角形的外角性质求解即可得．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，
与
；
与
；
与
是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角
形”即可）
（2）证明：在
中，
，
，
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∴
，
∵
为角平分线，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
与
是“等角三角形”，
∴
为
的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当
是等腰三角形，
时，
，
∴
；
②当
是等腰三角形，
时，
，
，
∴
；
③当
是等腰三角形，
时，
，
∴
；
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④当
是等腰三角形，
时，
，
设
，则
，
，
由三角形的外角性质得：
，即
，解得
，
∴
；
综上，
的度数为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），
正确分四种情况讨论是解题关键．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在
中，
和
的平分线相交于点
，过点
作
交
于
，交
于
，过点
作
于
.
（1）求证：
；（2）求证：
；（3）若
，
，请用含
，
的代数式表示
的面积，
___________（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立.
（2）由平行线的性质和角平分线的性质，得到
，
，然后即可得结论成立；
（3）过点O 作OG AC
⊥
，连接OC，由点O 为内心，可知OD=OG，由
，即可得到答案.
【详解】证明：（1）
，
平分
和
，
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；
（2）
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点O 作OG AC
⊥
，连接OC，
∵点O 为△ABC 的内心，则OC 是∠ACB 的角平分线，
∴
，
∵
=
=
=
=
；
故答案为：
.
【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确得到角之间
的关系，从而进行解题.
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17．（2023 春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在
中，
，
平分
．
(1)如图①，若
于D，求
的度数．(2)如图②若点P 为
上一点，
，求
的
度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）现根据三角形的内角和得到
，然后利用角平分线得到
，在用直角三
角形的两锐角互余得到
，计算解题即可；（2）过点
作
于点D，可以得到
，
即
，再根据（1）的计算结果得到答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
又∵
平分
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
；
（2）解：过点
作
于点D，由（1）可得：
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，掌
握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．（2023 春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在
中，
，
于点D，
平分
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交
于点E，交
于点F，求证：
．
【答案】见解析
【分析】
平分
可得
，再结合
可得
，进而得到
，再结合
可得
，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵
平分
，
∴
，
∵
。
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以、三角形外角的性质等知识点，掌握数形
结合思想是解答本题的关键．
19．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在
中，
，
平分
．
(1)求
的度数；(2)求
的度数；(3)直接写出
，
，
三个角之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得
的度数，再由
平分
，即可求解；
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（2）根据直角三角形两锐角互余可得
，即可求解；
（3）根据
，
，
三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在
中，
．
∴
．
∵
平分
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
（3）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形
内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20．（2022 秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在
中，
为
的高，
为
的角平分
线，
交
于点G，
比
大
，
，求
的大小．
【答案】
【分析】根据
为
的高，得出
，得出
，根据
，得出
，
，根据
，得出
，根据
为
的角平分线，得出
，最后根据直
角三角形两锐角互余得出答案即可．
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【详解】解：∵
为
的高，
∴
，
，
∵
比
大
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
为
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的角平分线，直角三角形性质，三角形内角和定理，解题的
关键是根据题意求出
．
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