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淘宝：学思创想
专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
....................................................................................................................................................2
模型1.线段的双中点模型...............................................................................................................................2
模型2.线段的多中点模型...............................................................................................................................7
模型3.双角平分线模型与角n 等分线模型.................................................................................................11
..................................................................................................................................................20
淘宝：学思创想
模型1.线段的双中点模型
线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为
线段的双中点模型。
条件：点M、N 分别为线段AB、BC 的中点，结论：
.
证明：①当点B 在线段AC 上，如图1，
图1
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴
；
②当点B 在线段AC 的延长线上，如图2，
图2
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴
；
③当点B 在线段CA 的延长线上
图3
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴
；
淘宝：学思创想
例1．（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C 在线段
上，点M、N 分别是
的中点．
(1)若
，求
的长；(2)若
，求
的长；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
（1）因为点
、
分别是
、
的中点，所以
，
，已知
，
可得
的长，
，可得
的长；（2）因为点
、
分别是
、
的中点，所以
，
，已知
，可得
的长．
【详解】（1）解：
点
、
分别是
、
的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
点
、
分别是
、
的中点，
，
，
，
．
例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点C 在线段
上，点M，N 分别是线段
的中点．
(1)若
，求线段
的长；(2)若
，求线段
的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得
，再根据线段的和以及线段的差，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得
，再根据线段的和以及线段的差，可得答案．
本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键．
淘宝：学思创想
【详解】（1）∵点
分别是线段
的中点∴
∵
， ∴
∴
（2）∵点
分别是线段
的中点∴
∵
，∴
．
例3．（23-24 七年级·山东淄博·期末）已知点
是线段
的中点，点
是线段
的三等分点．若线段
，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解．
【详解】如图，∵点C 是线段AB的中点，∴
，
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；故选C．
例4．（23-24 七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D 是线段
上两点（点D 在点C 右侧），E，F 分别
是线段
的中点．下列结论：
①
； ②若
，则
；③
； ④
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和
差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答．
【详解】解：∵E，F 分别是线段
的中点．，∴
，
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∴
，故①不符合题意；
∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，故②符合题意；
∵
，∴
，故③符合题意；
④∵
，
∴
，
∴
，∴
∴
，故④不符合题意；故选：B．
例5．（23-24 七年级上·贵州遵义·期末）已知线段
，点C 为线段
的中点，点D 为线段
上的
三等分点，则线段
的长的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．15
D．20
【答案】D
【分析】本题考查线段和差．根据题意先求出
，再根据题干分情况讨论点D 所在位置，继而
得到本题答案．
【详解】解：∵线段
，点C 为线段
的中点，∴
，
∵点D 为线段
上的三等分点，∴①当点D 靠近点
时：
，此时
；
②当点D 靠近点
时：
，此时
；
∵
，∴线段
的长的最大值为：20，故选：D．
例6．（23-24 七年级上·辽宁阜新·期末）点
、
在数轴上所表示的数如图所示，
是数轴上一点：
(1)将点
在数轴上向左移动2 个单位长度，再向右移动7 个单位长度，得到点
，求出
、
两点间的距
离是多少个单位长度．
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(2)若点
在数轴上移动了
个单位长度到点
，且
、
两点间的距离是4，求
的值．
(3)若点
为
的中点，点
为
的中点，点
在运动过程中，线段
的长度是否发生变化？若发生
变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段
的长度．
【答案】(1)
、
两点间的距离是个单位长度
(2)
的值为
或
(3)线段
的长度不发生变化，
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类
讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出
点表示的数为，即可得解；
（2）分两种情况：当
点在
点左边时；当
点在
点右边时；分别求解即可得出答案；（3）分三种情
况：当
在
、
之间时；当
在
的左侧时；当
在
的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由数轴可得：
点表示的数为
，
点表示的数为
，
∴
点表示的数为
，
∵
，∴
、
两点间的距离是个单位长度；
（2）解：∵
、
两点间的距离是4，∴当
点在
点左边时，
点表示的数为
，
∵点
在数轴上移动了
个单位长度到点
，
点表示的数为
，∴此时
；
当
点在
点右边时，
点表示的数为
，
∵点
在数轴上移动了
个单位长度到点
，
点表示的数为
，
∴此时
；综上所述，
的值为
或
；
（3）解：线段
的长度不发生变化，
，
由数轴可得：
点表示的数为
，
点表示的数为
，∴
，
∵点
为
的中点，点
为
的中点，∴
，
，
如图，当
在
、
之间时，此时
；
如图，当
在
的左侧时，此时
；
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如图，当
在
的右侧时，此时
；
综上所述，点
在运动过程中，线段
的长度不会发生变化，
．
模型2.线段的多中点模型
条件：如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第1 次操作：分别取线段
和
的中点
、
﹔第2 次操作：分别取线段
和
的中点
，
﹔第3 次操作：分别取线段
和
的
中点
，
；…连续这样操作n 次，结论：
．
证明：∵
、
是
和
的中点，∴
，
，
∴
，∵
、
是
和
的中点，
∴
，
，∴
，
∵
，
是
和
的中点，∴
，
，
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∴
，……发现规律：
，
例1．（23-24 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点
为原点，点
表示的数为
，动点
从点
出发，按以下规律跳动：第1 次从点
跳动到
的中点
处，第2 次从点
跳动到
的中点
处，
第3 次从点
跳动到
的中点
处，…，第
次从点
跳动到
的中点
处，按照这样的规律继
续跳动到点
，
，
，…，
处，那么点
所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段
的变化
规律是解题的关键
根据题意，得第一次跳动到
的中点
处，即在离
点的长度为
，第二次从
点跳动到
处，即在
离
点的长度为
，则跳动n 次后，即跳到了离
点的长度为
，再根据线段的和差关系可得
线段
的长度，最后确定点
的表示的数即可．
【详解】解：由题可知：
，此第一次跳动到
的中点
处时，
，
同理，第二次从
点跳动到
处，
，
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同理，第三次从
点跳动到
处，
同理，跳动
次后，
，
故线段
的长度为：
，当
时，
，
∵点
在负半轴，∴点
表示的数是
，故答案为：
．
例2．（23-24 七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第
一次操作：分别取线段
和
的中点
，
； 第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；
第三次操作：分别取线段
和
的中点
，
，连续这样操作4 次，则
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的
规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得
，根据线段的差可得
，
，
的长度表示，根据规律进行推理即可得出
，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，∵
，∴
，
∵线段
和
的中点
，∴
，
同理：
，∴
，……
依次类推，
，∴
，故答案为：4．
例3．（23-24 七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
﹔第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
﹔第三
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次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2024 次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和
．
【答案】
【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段
中点定义先求出
的长度，再由
的长度求出
的长度，从而找到
的规律，即可求出结果．
【详解】解：∵
、
是
和
的中点，∴
，
，
∴
，∵
、
是
和
的中点，
∴
，
，∴
，
∵
，
是
和
的中点，∴
，
，
∴
，……发现规律：
，
∴
∴
两式相减，得
，故答案为：
．
例4．（23-24 七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件
做了n 次取线段
中点实验：如图，设线段
，第1 次，取
的中点
；第2 次，取
的中点
；第3 次，取
的中点
，第4 次，取
的中点
；…
淘宝：学思创想
(1)请完成下列表格数据．
次数
线段
的长
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
①______
②________
…
…
…
(2)小明对线段
的表达式进行了如下化简：
因为
，所以
，
两式相加，得
，所以
．
请你参考小明的化简方法，化简
的表达式．
(3)类比猜想：
_____，
=_____，随着取中点次数n 的不断增大，
的长最终接近的值是____．
【答案】(1)①
；②
(2)
(3)
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．
（1）根据表中的规律可求出
，根据
可得出答案；
（2）参照小明对线段
的表达式的化简可得
的表达式；（3）根据类比猜想可得答案．
【详解】（1）解：
，
；
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故答案为：
，
；
（2）因为
，所以
．
两式相加，得
．所以
；
（3）
，随着取中点次数
的不断增大
的长最终接近的值是
．
故答案为：
．
模型3.双角平分线模型与角n 等分线模型
双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平
分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们
自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；结论：
。
证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
，
，
∴
，∴
。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；结论：
。
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证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
，
，
∴
，∴
。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：
。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴
，
，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴
。
4）角n 等分线模型
条件：如图4，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线…，
分别是
和
的平分线；结论：
．
证明：
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，…，
由此规律得：
。
淘宝：学思创想
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O 为直线
上一点，
平分
，
平分
，
若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据
平分
，
平分
，求出
，再根据
，求
出
，即可得出答案．
【详解】解：∵点O 为直线
上一点，
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，故C 正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出
．
例2．（2023 春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线
平分
，射线
平分
，则下列
等式中成立的有（ ）
①
；②
；③
；④
．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】B
淘宝：学思创想
【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可．
【详解】解：
平分
，
平分
，
故①正确；
故②错误；
故③正确；
故④错误；故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是
解决本题的关键．
例3．（2023 春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线
是
的角平分线，射线
是
的角半分线，射线
是
的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个．
①
；②
；③
；④
；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
①
，故①正确；
淘宝：学思创想
②
，
即
，故②正确；
③
，
即
，故③正确；④由①得
，故④错误；
综上，①②③正确，共3 个；故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系．
例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，…，
分别是
和
的平分线，则
的度数是 ．
【答案】
【分析】由角平分线性质推理得
，
，
，据此规律可解答．
【详解】解：
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
淘宝：学思创想
、
分别是
和
的平分线，
，
，…，
由此规律得：
．故答案为：
．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例5．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在
∠BOD 的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A，B 两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD 的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD 的度数为 （用含α 的代数式表示）．
【答案】 110°或130°
或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当
∠AOE=
∠AOB=20°，②当∠BOE′=
∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=
∠AOB，②当
∠BOE′=
∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，∴①当∠AOE=
∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
淘宝：学思创想
②当∠BOE′=
∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD 的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，∴①当∠AOE=
∠AOB=30°-
α°，∴∠BOE=90°-α-（30-
α）°=60°-
α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-
α°，
②当∠BOE′=
∠AOB=30°-
α°，∴∠DOE′=90°+30°-
α°=120°-
α°，
综上所述，∠EOD 的度数为150°-
α°或120°-
α°，故答案为：150°-
α°或120°-
α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例6．（2023 秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点
，
，
在同一条直线上，
，
分别平分
和
．(1)求
的度数；(2)如果
．①求
的度数；②若
，
直接写出
的度数．
【答案】(1)
；(2)①
；②
或
．
【分析】（1）由角平分线定义可知
，
，再根据
和
可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当
在
上方时，当
在
下方时，利用角之间的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
分别平分
和
，∴
，
，
则
，
∵
，∴
；
淘宝：学思创想
（2）①∵
，
，∴
，
由（1）可知，
，则
，
∴
，
②由①可知，
，∵
平分
，∴
，
当
在
上方时，
；
当
在
下方时，
；综上，
为
或
．
【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角
之间的和差关系．
例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数；
(2)若
，
是平面内两个角，
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数．（用含
、
的代数式表示）
【答案】(1)
(2)所以当射线
在
的内部时，
；当射线
在
的外部
时，
．
【分析】（1）根据角平分线定义求出
和
度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线
淘宝：学思创想
的位置，所以需要分类讨论：若射线
在
的内部时，根据角平分线定义得出
，
，求出
；若射线
在
的外部时，根据角平分线定义得
出
，
，求出
，代入求出即可．
【详解】（1）∵
，
平分
，∴
∵
分别平分
，
．∴
∴
．
（2）若射线
在
的内部，如图2
∵
，
，
、
分别平分
、
．
∴
∴
．
所以当射线
在
的内部时，
．
若射线
在
外部时，如图3
∵
，
，
、
分别平分
、
．
∴
∴
．
所以当射线
在
的外部时，
．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例8．（2023 春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线
在
的内部，图中共有3 个角：
和
，若其中有一个角的度数
是另一个角度数的两倍，则称射线
是
的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，
淘宝：学思创想
（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若
，且射线
是
的“巧分线”，则
（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若
，且射线
是
的“巧分线”，则
（用含α 的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)
或
或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍
即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分
、
、
三
种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分
、
、
三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵
平分
，∴
,
∴根据巧分线定义可得
是这个角的“巧分线”．故答案为：是．
（2）解：如图3：①当
时，则
；
②当
，则
，解得：
；
③当
，则
，解得：
．
综上，
可以为
．
淘宝：学思创想
（3）解：如图3：①当
时，则
；
②当
，则
，解得：
；
③当
，则
，解得：
．
综上，
可以为
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义
是解题的关键．
1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取
，再截取
，则
的中点
与
的中点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分两种情况B，
在点A 同侧时，B，
在点A 两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，
在点A 同侧时，如图所示：
淘宝：学思创想
是
的中点，
是
的中点，
，
，
．
②B，
在点A 两侧时，如图，
是
的中点，
是
的中点，
，
，
．
综上：
与
之间距离为
或
，故C 正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
2．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D 是线段
上两点，M、N 分别是线段
的中
点，下列结论：①若
，则
；②若
，则
；③
；
④
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N 分别是线段
的中点，∴
，
，
∵
， ∴
， ∴
， ∴
，
∴
，即
，故①符合题意；
∵
， ∴
， ∴
， ∴
，故②符合题意；
∵
，
淘宝：学思创想
∴
，故③符合题意；
∵
，
， ∴
，
∵
，
， ∴
，故④不符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是
解本题的关键．
3．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
；第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；第三
次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，
分别为
的中点，求出
的长度，再由
的长度求出
的长度，找到
的规律即可求出
的值．
【详解】解：∵
，
分别为
的中点，
∴
，
∵
分别为
的中点，
∴
，
淘宝：学思创想
∵
分别为
的中点，
∴
，……由此可得：
，
∴
，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
4．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知
，以点
为顶点作直角
，以点
为端点作一条射线
．通过折叠的方法，使
与
重合，点
落在点
处，
所在的直线为折痕，
若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出
即可解决问题．
【详解】解：
平分
，
，
，
，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
5．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在
的内部作射线
，射线
把
分成两个角，
分别为
和
，若
或
，则称射线
为
的三等分线．
若
，射线
为
的三等分线，则
的度数为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】根据题意得出
或
，再根据角之间的数量关系，得出
，综合
即可得出答案．
【详解】解：∵
，射线
为
的三等分线．
∴
或
，
∴
，∴
的度数为
或
．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
6．（2023 春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根
长为
，另一根
长为
，在它们的中点处各有一个小圆孔
（圆孔直径忽略不计，
抽象成两个点），将它们的
一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离
是 ．
【答案】
或
【分析】分两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
（厘米）．
所以两根木条的小圆孔之间的距离
是
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的
严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
淘宝：学思创想
7．（23-24 七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知
是线段
上的一个点，
是
的
中点，
为
中点，且满足
，求
．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由
和
推出
，由
M 为
的中点可得出
的长，进而可得
的长度，由 N 为
的中点可得出
的长度，进而
即可求出
的值．根据各线段之间的关系求出
的长度是解题的关键．
【详解】∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∵M 为
的中点，∴
，∴
，∴
，
∵N 为
的中点，∴
,∴
，∴
，故答案为：
．
8．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在
右）的长为a，长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，M 为
的中点，N 为
的中点，线段
的长为b，则线段
的长为 （用a，b 的式子表示）．
【答案】
/
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段
的长度即可．
【详解】解：∵M 为
的中点，N 为
的中点，∴
，
．
∵线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在右）的长为a，
长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，∴分以下5 种情况说明：
①当
在
左侧时，如图1，
淘宝：学思创想
即
，
，
，
；
②当点D 与点A 重合时，如图2，
即
，
；
③当
在
内部时，如图3，
即
，
；
④当点C 在点B 右侧时，同理可得：
；
⑤当
在
右侧时，同理可得：
；
综上所述：线段
的长为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
9．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D 在线段
上，P，Q 分别是
的中点，若
，则
．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出
，
，又因为
，利用线段和差即可求得
淘宝：学思创想
，
，代入
即可求解．
【详解】解∶∵，P，Q 分别是
，
的中点，∴
，
，
∵
，∴
，
，∴
，故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
10．（2023 秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知
，由定点
引一条射线，使得
，
、
分别是
和
的平分线，则
度．
【答案】
或
【分析】分两种情况讨论，当射线
在
的内部时，当射线
在
的外部时，根据角平分线
的定义得出
，结合图形即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论，当射线
在
的内部时，如图所示，
∵
，
，
、
分别是
和
的平分线，
∴
∴
；
当射线
在
的外部时，如图所示，
∵
，
，
、
分别是
和
的平分线，
淘宝：学思创想
∴
∴
；
综上所述，
或
，故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB 的内部有3 条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，
∠BOE＝
∠BOC，∠BOD＝
∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n 的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=
∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=
∠AOB=
+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
12．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
淘宝：学思创想
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a 和b 的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算
，
的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算
的长即可可判断．
【详解】解：①∵
，
∵
，∴
，∴
；故①正确；
②如图1，当点B 与点O 重合时，
；
故②不正确；
③如图2，当点C 与点A 重合时，若点P 是线段
延长线上的点，
∴
，∴
；故③正确；
④∵M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，
∴
分四种情况：1）当C 在O 的左侧时，如图3，
；
2）当B，C 在O 的两侧时，如图4，
淘宝：学思创想
；
3）当B，C 在线段
上时，如图5，
；
4）当B 和C 都在A 的右边时，如图6，
；
∴在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，线段
的长度不变．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
13．（2023 春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，
为直线
上一点，
，
平分
，
平分
，
平分
，下列结论：
；
与
互补；
；
．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】
【分析】设
，则
，
，由角平分线的定义得出
，
，
淘宝：学思创想
，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设
，
，
，
，
，
平分
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，故
正确，符合题意；
，
度数未知，
与
不一定互补，故
错误，不符合题意；
，故
正确，符合题意；
，
，
，故
正确，符合题意；综上所述，正确的有：
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
14．（2023 春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，
，
为
内部一点，射线
平
分
，射线
平分
，射线
平分
，当
时，
的度数是
．
【答案】
【分析】首先根据角平分线的定义可得
，再设
，用含
的代数式表示出
和
，根据题意列出方程可得答案．
【详解】解：当
在
外部时，
淘宝：学思创想
射线
平分
，射找
平分
，
，
，
，
射线
平分
，
，设
，则
，
，
，解得
，
∴
；
当
在
内部时，
射线
平分
，射找
平分
，
，
，
，
射线
平分
，
，设
，则
，
，
，解得：
，不合题意；综上，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分
类讨论．
15．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点
在线段
上，
，
分别是
，
的中点．若
，
，求
的长．
(1)根据题意，小明求得
______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现
的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开
始深入探究．设
，
是线段
上任意一点（不与点
，
重合），小明提出了如下三个问题，请
你帮助小明解答．①如图1，
，
分别是
，
的中点，则
______．
②如图2，
，
分别是
，
的三等分点，即
，
，求
的长．
③若
，
分别是
，
的
等分点，即
，
，则
______．
【答案】(1)3(2)①
；②
；③
【分析】（1）由
，
，得
，根据
，
分别是
，
的中点，即得
淘宝：学思创想
，
，故
；
（2）①由
，
分别是
，
的中点，知
，
，即得
，故
；②由
，
，知
，
，即得
，故
；③由
，
，知
，
，即得
，故
．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
；故答案为：；
（2）解：①
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
，
；故答案为：
；
②
，
，
，
，
，
，
；
③
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
16．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C 在线段AB 上，
时，我们称n 为点C 在线段AB 上的“点值”，记作
．
淘宝：学思创想
例如，点C 是AB 的中点时，即
，则
；反之，当
时，则有
．
因此，我们可以这样理解：“
”与“
”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C 在线段AB 上．若
，
，则
________；若
，
则
________．
(2)【拓展与延伸】已知线段
，点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，向点B 运动．同时，点Q 以
3cm/s 的速度从点B 出发，先向点A 方向运动，到达点A 后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一点
先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q 从点B 向点A 方向运动时，
的值是个定值，求m 的值；
②t 为何值时，
．
【答案】(1)
，
(2)①
；②1 或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为，再根据
的值
是个定值即可求出
的值；②分点
从点
向点
方向运动时和点
从点
向点
方向运动两种情况分析
即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，∴
，∴
故答案为：
，
；
（2）①设运动时间为，则
，
，根据“点值”的定义得：
，
，
的值是个定值，
的值是个定值，
；
淘宝：学思创想
②当点
从点
向点
方向运动时，
，
，
；
当点
从点
向点
方向运动时，
，
，
，
的值为1 或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
17．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知
，
平分
，
平分
．
(1)如图1，当
，
重合时，求
的度数；(2)如图2，当
在
内部时，若
，
求
的度数；(3)当
和
的位置如图3 时，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求解
，
，可得答案；
（2）先求解
，
，再证明
，
，结合角的和差运算可得答案；（3）设
，可得
，
证明
，
，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
重合，
平分
，
平分
．
∴
，
，∴
；
（2）∵
在
内部，
，
，
∴
，
，∵
平分
，
平分
．
∴
，
，∴
．
（3）设
，
，∴
，
∵
平分
，
平分
．，
∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段
，
，线段
在线段
上运动，E，F 分别是
，
的中点．
(1)若
，则
___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知
在
内部转动，
，
分别平分
和
，若
，
，则
___________．直接写出
，
和
的数量关系：___________．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）先求出
的长度，再根据线段中点的定义，分别求出
，
的长度，即可求解；
（2）先求出
和
的和，再根据角平分线的定义，求出
和
的和，即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
，
，∴
，
∵
，
分别是
的中点，∴
，
，
∴
．
（2）∵
，
，∴
，
∵
分别平分
和
，∴
，
，
∴
，
∴
．
由图可知：
，
，
∵
分别平分
和
，∴
，
∴
，整理得：
．
淘宝：学思创想
【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线
段和角度的和差关系进行求解．
19．（2023 秋·湖南永州·七年级统考期末）点
为直线
上一点，在直线
同侧任作射线
，使
得
．(1)如图一，过点
作射线
，使
为
的角平分线，若
时，则
________ ，
________ ；(2)如图二，过点O 作射线
，当
恰好为
的角平分
线时，另作射线
，使得
平分
．①若
，求
的度数（写出推理过程）；
②若
，则
的度数是________（直接填空）．
(3)过点
作射线
，当
恰好为
的角平分线时，另作射线
，使得
平分
，当
时，则
的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°
【分析】（1）根据
求出
，利用角平分线的定义得到
，再根据
进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出
，根
据
进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分
在
内部
和
在
外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
，∴
，
∵
为
的角平分线，∴
，∴
；故答案为：
；
（2）①解：∵
，
，∴
，
又∵
为
的角平分线，
为
的角平分线，
∴
，
，∴
，
②∵
，
，∴
，
又∵
为
的角平分线，
为
的角平分线，
∴
，
，
∴
；故答案为：
；
淘宝：学思创想
（3）①当
在
内部时，如图：∵
，
平分
，∴
，
∵
，∴
，∵
平分
，∴
，
②当
在
外部时，如图：∵
，
平分
，∴
，
∵
，∴
，∵
平分
，∴
；
综上：
的度数是
或
；故答案为：
或
．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间
的和差关系．
20．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线
在
内部，
平分
．
(1)如图1，求证：
；(2)如图2，作
平分
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
时，作射线
的反向延长线
，
在
的下方，且
，反向延长射线
得到射线
，射线
在
内部，
是
的平分线，若
，
，求
的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设
，
，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得
，
，计算得出
，
等，再求得
，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵
平分
，∴
，∴
淘宝：学思创想
；
（2）证明：∵
平分
，∴
，∴
=
；
（3）解：设
，
，∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
∴
，
，即
，
，
，
∵
，
平分
，∴
，
，∵
，∴
，
∵
是
的平分线，∴
，
∵反向延长射线
得到射线
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
， ∴
．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，
利用方程思想解决问题是解本题的关键．
