文档内容
难点与解题模型 11 与角平分线、中点有关问题（5 大热考题型）
题型一：与角平分线有关问题
题型二：与中线有关问题
题型三：与中位线有关问题
题型四：与等腰三角形底边中点有关问题
题型五：倍长中线模型
题型一：与角平分线有关问题
常考模型及步骤
第一步：依据特征找模型——找是否存在角平分线
第二步：抽离模型——判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系
第三步：利用性质解题——利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质
解题
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·湖南·中考真题）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆
心，以小于 长为半径作弧，分别交 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长
为半径作弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ，交 于点 ．若点 到 的距离为 ，则
的长为 ．
【典例1-2】（2023·江苏·中考真题）如图， 、 、 、 是直线 上的四点，．
(1)求证： ；
(2)点 、 分别是 、 的内心．
①用直尺和圆规作出点 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接 ，则 与 的关系是________．
【典例1-3】（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是
的平分线．
请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，移动
角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请说明
此做法的理由；拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校
要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A
的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在
对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【典例1-4】（2023·河南·中考真题）如图， 中，点D在边 上，且 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点E，连接 ．求证： ．【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·贵州铜仁·一模）如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
，交 于点 ．已知 ， ， 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【变式1-2】（2024·山东济宁·一模）如图，在 中， ， ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边 上求作一点 ，使得点 到边 ， 的距离相等（保留作图痕迹，
不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点 作 于点 ．
求证： ；
若 ， ，求 的长．
【变式1-3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在 中， ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点 ， ， ，求 的面积．
【变式1-4】（2023·广西桂林·模拟预测）在 中， 是边 上的高．
(1)尺规作图：作 的平分线，交 于 ．
(2)若 ， ，求 的面积．
【变式1-5】（2023·广东惠州·二模）如图， ， ， 于 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．题型二：与中线有关问题
与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质,如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线则BD=CD,
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，
则 的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【典例2-2】（2023·浙江·中考真题）如图，点P是 的重心，点D是边 的中点， 交
于点E， 交 于点F，若四边形 的面积为6，则 的面积为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36【典例2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象分
别与等腰 的直角边 和斜边 交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接 ， ，若
，则 的面积为 ．
【典例2-4】（2024·河北·中考真题）如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ，
是线段 的五等分点，点 ， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．
（1） 的面积为 ；
（2） 的面积为 ．
【典例2-5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格
点 ， ， 三点是格点， 点是 与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，再作平行四边形 ；(2)在图2中，在 上画出一点 ，使 ；
(3)在图3中，点 在格点上，连接 ， ，在 上画点 ，使 平分四边形 的面积．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·云南昆明·二模）如图， ， 是 的两条中线，连接 ．若 ，则
阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2-2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图， 是 的中线，点E是 的中点，连接 并延长，
交 于点F，若 ．则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为 三边 上一点，且
交于点G，若 ，则 （ ）A．50 B．54 C．60 D．63
【变式2-4】（2024·重庆·模拟预测）如图，在 中， ， 为 的中
点， 为 中点，连接 交 于点 ，则 的面积为 ．
【变式2-5】（2024·辽宁·模拟预测）如图，将 沿直线 翻折得到 ， 交 于点 ，
为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， ， 的面积
为 ，则 的面积为 ．
【变式2-6】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已
知 的面积为 ，阴影部分三角形的面积为 ，若 ，则 的值为 ．
【变式2-7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形 中，两条对角线相交于点O，
，过 点C 作 ，交 的延长线于点E， 连接 ， 则 的面积是【变式2-8】（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为
的角平分线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ．
【变式2-9】（2024·广东广州·二模）如图，已知 中， ， ， ， ，
为 边上的中线．
(1)求 的长；
(2)求 的面积．
题型三：与中位线有关问题
与中位线有关的解题关键
利 用 中 位 线 的 性 质 解 题 , 如 图 , 在 △ ABC 中 ,D,E 分 别 为 AB,AC 的 中 点 , 则 DE//BC,【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．
【示例】如图， ， 是 的中线，且 ，垂足为 ，像 这样的三角形称作“中垂三
角形”．设 ， ， ．数学兴趣小组想研究“中垂三角形”的三边是否存在某种关系，进
行了如下探究过程：
(1)【特例探究】如图2， 为“中垂三角形”，当 ， 时，求 ， 的值；
解：∵ 为“中垂三角形”，即 ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 分别是中线，连接 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
…（此处省略部分步骤）
∴ ， ．
完成上述解题过程中的填空；： ， ： ， ： ；
(2)【归纳证明】请你观察（ ）中的解题思路及计算结果，猜想 ， ， 三者之间的关系，用等式表示
出来，并利用图 证明你发现的关系式；
(3)【拓展应用】利用（ ）中的结论，解答下列问题：如图 ，在边长为 的菱形 中， 为对角线
， 的交点， ， 分别为线段 ， 的中点，连接 ， 并延长交于点 ， ， 分别
交 于点 ， ，直接写出 的值．
【典例3-2】（2024·重庆九龙坡·三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究
思路如下：如图，在 中，点 、 分别为 、 的中点，连接 ，过点 在 的右边作
，使得 ，延长 交 于点 ，然后通过证明 和平行四边形
来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．
(1)用尺规完成以下基本作图：以点 为顶点，在 的右侧作 ，延长 ，交 于点 ；
（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证： ， ．
证明：∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴① ．
在 和 中，
，∴ ，
∴③ ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴④ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴⑤ ，
∴ ， ．
【典例3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．
在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第
三边的一半．证明过程如下：
已知：如图1，D、E分别是 的边AB，AC的中点；
求证： 且 ．
证明：如图1，延长DE到点F，使 ，连接FC，DC，AF．
∵E为AC中点
①
，
∴四边形ADCF是平行四边形，（ ② ）（填推理的依据）
∴CF平行且等于DA
即CF平行且等于BD．
∴四边形DBCF是平行四边形
， ，又 ， ， ．
这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
(1)请完成证明过程中的填空：
①_______ ②_______
(2)在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题．
例如：如图2，在四边形ABCD中， ，且点E，F分别为AB和CD中点．
猜想：线段AD，BC和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程．
(3)类比运用：如图3，在四边形ABCD中， ，且 ．求证： ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务．
三角形中位线的折法
如图1，在 中， ，将 向下对折，使点A与点C重合，得到折痕 ，则 垂直
平分 ，易得 是 的中位线，
如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中
位线．
第一步，将 向左对折，使点C的对应点 落在 上，展开后，得到折痕 ；
第二步，将 向下对折，使点A与点P重合，得到折痕 ，则 是 的中位线．
理由如下：设 与 交于点Q．
第一次折叠可得 ，第二次折叠可得 ，且 ．
∴ ．
∵ ．∴ （依据）．
∵ ，∴ ，AE=CE．
∴ 是 的中位线，
如图3，继续探究其他折法：
第一步，将 向左对折，使点C的对应点 落在 上，展开后，得到折痕 ；
第二步，将 向下对折，使点A的对应点 落在 上，点M的对应点落在折痕 上，则 是
的中位线．任务：
(1)写出材料中的依据：_____．
(2)请根据图3的折法，求证： 是 的中位线．
【变式3-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线
定理，并且能用相关知识解决问题．
【问题再现】
已知：如图1，在 中，D、E分别是边 的中点，求证： ，
【简单应用】
（1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接 ，分
别取 的中点D、E．测得 的长为 ，则A、B两地的距离为_______ ．
（2）如图3，在四边形 中， ，点E、F分别是 和 的中点， 求
的长．
【灵活运用】
如图4，在边长为6的正方形 中，点E是 上一点， 点F是 上一点，点F关于直线 的对称点G恰好在 的延长线上， 交 于点H，点M为 的中点，若 ，求 的长．
【变式3-3】（2024·辽宁锦州·二模）【问题提出】
如图1，在 中， ， ， 为 内一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ， ， ．求证： ， ．
【思路探究】
“神州小组”的解题思路：将线段 借助平行线进行平移，如图2，过点 作 平行 交 的延长
线于点 ，这样可以将证明 和 的关系转化为 和 的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合 为 的中点构造三角形的中位线，如图3，过点 作 平行 交
延长线于点 ，从而借助三角形中位线性质，将 和 的关系转化为 和 的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在 中， ， ， 为 上一点，将 绕点 逆时针旋转 得到，连接 ， ， 为 中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ，探究
， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接 ，若 为平面内一点，
， ， ，其他条件不变，求 的长．
【变式3-4】（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，且 ，连接 ， 交于
点 ，求证： ．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取 的中点 ，连接 ，再通过“全等
三角形的性质”解决问题；
②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角
度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在
中，点 是 的中点，点 ， 是 的三等分点， ， 与 分别交于点 ， ，求
的值．
【学以致用】
（3）如图5，在 中， ，在射线 上取点 ，使 ，连接 ，在 上取点 ，
射线 ， 相交于点 ，当 时，求 的值．【变式3-5】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在 中，D、E分别为 的中点，连接 ：
操作1．将 绕点E按顺时针方向旋转 到 的位置．
操作2．延长 到点F，使 ，连接 ．
试探究 与 有怎样的位置关系和数量关系？
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，
．
【结论应用】
（2）如图2，四边形 中，对角线 相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次
连接 ，得到四边形 ．
①求证：四边形 为平行四边形；
②当 与 满足 时，四边形 是矩形，当 与 满足 时，四边形 是菱形.
③若 ， ， ，求四边形 的面积．
【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形 的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边 和边 的中
点，且 ， ， ，求小路 的长度．
题型四：与等腰三角形底边中点有关问题
三线合一法
解题关键是利用等腰三角形“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合,利用角平分
线、中线和高线的性质解题.
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度 ，
，则中柱AD（D为底边中点）的长为 ．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图， 为等腰三角形， 是底边 的中点，腰 与半
圆 相切于点 ，底边 与半圆 交于 ， 两点．
(1)求证： 与半圆 相切；
(2)连接 ．若 ， ，求 的值．【典例4-3】（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形 中， ， 为底边 的中点，
过点 作 ，垂足为 ，以点 为圆心， 为半径作圆，交 于点 ， ．
(1)AB与 的位置关系为_______；
(2)求证： 是 的切线；
(3)如图2，连接 ， ， ，求 的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：
)【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱 （ 为底
边中点）的长为 ， ，则它的跨度 为 m.
【变式4-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题
变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
2．等腰三角形+底边中 3．直角三角形+斜边中 4．两个中
题眼 1．普通三角形+中点
点 点 点
大致图形
辅助线名
倍长中线 三线合一 斜边中线 中位线
称
延长 到点E，
具体做法 连接 连接 连接
使 ，连接
产生效果 ① ②
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）(2)如图①，在三角形中， 是 的一条中线， ，求 的长．
(3)如图②，在 中， ，点 是边 上两个不同的动点，以 为边在
内部（包括边界）作等边三角形 ，点 ，F分别是 的中点，当 的周长取最
大值时，求线段 的长．
【变式4-3】（2024·广西·模拟预测）如图，已知 为等腰三角形，点O是底边 上中点，腰 与
相切于点D.
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ， 的半径为1时，求图中阴影部分的面积；
(3)设 与 的交点为G、H，若 ，求 的长．
【变式4-4】（2024·辽宁·模拟预测）问题情境
数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片（各等腰三角形形状不同）探究旋转的特性，
如图①， ， 为底边 的中点．将 以点 为旋转中心，逆时针方向旋转，设旋转后得到
的三角形记为 ，旋转角为 ．同学们经过操作探究后发现：旋转角 等于2倍底角
的度数时，边 总能落在原三角形边 所在的直线上．在此基础上同学们进行如下探究：
独立思考：
小明：“设 与 相交于点 ，当 与 垂直时，则 ．”
小红：“若 ，过点 作 ，垂足为 ，交 于点F，则 ．”实践探究
奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
（1）问题1：在等腰三角形 中， ， 由 绕底边 中点 旋转得到，当旋转角
时，边 总能落在原三角形边 所在的直线上．
（i）如图②，设 与 相交于点 ，当 与 垂直时，求证： ；
（ii）如图③，若 ，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，求证： ．
问题解决
小明经过探究发现：在问题1的基础上，若给出等腰三角形 腰与底的长，图中用字母标记的线段都可
求，可以将问题进一步拓展．
（2）问题2：如图④，在等腰三角形 中， ， ．若 与 的延长线相交于点 ，
请直接写出 的长．
题型五：倍长中线模型
倍长中线法
题中已知三角形及中线,或已知过一边中点的线段,常考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形.
类型 倍长中线 倍长类中线
图示
条件 在△ABC中.AD是边BC的中线 在△ABC中点D是边BC的中点,点E是边AB上一点,连接ED
作法 延长 AD 至点E,使 DE=AD,连接 BE 延长 ED 至点F,使DF=DE,连接 CF
结论 △ACD≌△EBD △BDE≌△CDF
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题
变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
2．等腰三角形+底边中 3．直角三角形+斜边中 4．两个中
题眼 1．普通三角形+中点
点 点 点
大致图形
辅助线名
倍长中线 三线合一 斜边中线 中位线
称
延长 到点E，
具体做法 连接 连接 连接
使 ，连接
产生效果 ① ②
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）
(2)如图①，在三角形中， 是 的一条中线， ，求 的长．
(3)如图②，在 中， ，点 是边 上两个不同的动点，以 为边在
内部（包括边界）作等边三角形 ，点 ，F分别是 的中点，当 的周长取最大值时，求线段 的长．
【典例5-2】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在 中， ， ，第三边上的中线 ，则 的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长 至点 ，使得 ，连结 ，根据“ ”可以判定 __________，
得出 ．在 中， ， ， ，故中线 的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长
中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知 ， ， ，连接 和 ，点 是
的中点，连接 ．求证： ．小明发现，如图④，延长 至点 ，使 ，连接 ，
通过证明 ，可推得 ．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
请你补全余下的证明过程．【问题拓展】（3）如图⑤，在 和 中， ， ， ，点
M，N分别是 和 的中点．若 ， ，则MN的取值范围是 ．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形 中， °， 为边BD上一点，
连接 ， ， 为 的中点，延长BM交DE的延长线于点 ， 交BM于点 ，连接 交CE于
点 ．
(1)求证 ；
(2)若 ， ，求证：四边形 为矩形．
【变式5-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
如图1，在 中， ，点D，E分别在边AB， 上， ，连接DE，
CD， ， 为CD的中点，连接 ．
【数学思考】（1）线段 与 的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证
明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把 绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若 是 的中点，连接AN，若 ，直接写
出CD的长．
【变式5-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边 中， 为 边上一点， 于 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的值；
(2)如图2，线段 的垂直平分线交 于 ，点 为 的中点，连接 ， ， ，求证：
；
(3)如图3，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 为 边上点 右边一动点，连接BM、
，当 取得最小值时，直接写出 的值．
