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专题 04 几何图形易错考点强化练（十六大类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。.................................................................1
二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。............................2
三、几何体的展开图：找准长宽高........................................3
四、从不同方向看几何体。..............................................5
五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。..........................7
六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。..................9
七、重难题型：线段中点之双中模型。...................................11
八、重难题型：线段的n等分点。.......................................14
九、压轴必会：线段的动点精选。.......................................17
十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。...............................19
十一、钟面角与方向角的计算。.........................................21
十二、超级易错：角度的四则混合运算。.................................22
十三、经典难点：角平分线的双中模型。.................................23
十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。...........................27
十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。...............30
十六、余角和补角的理解与应用。.......................................38
一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。
1．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（ ）
A．如图1所示，直线a和直线b相交于点A
B．如图2所示，延长线段BA到点C
C．如图3所示，射线BC不经过点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点
2．下列说法错误的是（ ）
A．线段AB的长度表示AB两点之间的距离
B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线
D．平角是一条直线3．下列说法中，正确的个数是（ ）
①线段AB和线段BA是同一条线段； ②射线AB与射线BA是同一条射线；
③直线AB与直线BA是同一条直线； ④射线AB的长是5cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。
4．平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n=
．
5．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最
多有6个交点，则
（1）五条直线相交最多有 个交点；
（2）n条直线相交最多有 个交点（n≥2，且n为正整数）.
6．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最
多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
三、几何体的展开图：找准长宽高
7．如图是一个正方体的展开图，折叠后相对两个面上的数字之和相等，求x2−y的值．
试卷第2页，共15页8．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式2(x+1)，3x，−2，4，且该盒子的相对
两个面上的整式的和相等，求x的值．
9．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)在（1）的条件下，先化简，再求值： ．
5a2b−3a2b−2(3abc2−a2b)+4abc2
四、从不同方向看几何体。
10．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)图中有______块小正方体；
(2)该几何体的从正面看如图所示，请在下面网格中分别画出从左面看和从上面看的图
形．
11．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；
(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加
______个小正方体．
12．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面
看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
(1)填空：a=_________，b=_________；
(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；
(3)当d=f =1，e=2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．
五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。
13．下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
14．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据下列语句画出图形：
(1)画直线AD；
(2)连接AB并反向延长AB；
(3)连接AC，在线段AC上找一点P，使他到点B、点D的距离的和PB+PD最小．
15．如图，平面上有A，B，C，D四个点，请根据下列语句画出图形：
试卷第4页，共15页(1)画直线BC；
(2)连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；
(3)在直线BC上找一点P，使点P到A，D两点的距离之和最小.
六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。
1
16．线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA= NA，B为线段NA的中点，则线
3
段MB的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
17．如图，点M是线段AB的中点，点C在线段AM上，点N是线段AC的中点，若
AC=4，MN=3，求线段CM和AB的长．
18．如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB=15，BC=11．
(1)图中共有 条线段．
(2)求线段AM的长；
(3)在线段BC上取一点N，使得CN：NB=5：6，求线段MN的长．
七、重难题型：线段中点之双中模型。
19．如图，线段AD=16，长度为2的线段BC在线段AD上运动，分别取线段AC、
BD的中点M、N，则MN= ．=7．
故答案为：7．
3
20．如图，已知点C为线段AB上一点，AC=10cm，且CB= AC，D，E分别为线
5
段AC，AB的中点，求线段DE的长．
21．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)若AC=12cm，CB=8cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=m，其他条件不变，你能猜想MN的长度
吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=n，M 、N分别为AC、BC的中点，
你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．
22．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分
别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、
PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和
图3的情况进行说明．
23．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段
AM和AN的中点M 、N ；第二次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M ，N ；
1 1 1 1 2 2
第三次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M ，N ；…连续这样操作2023次，则
2 2 3 3
每次的两个中点所形成的所有线段之和M N +M N +⋅⋅⋅+M N =（ ）
1 1 2 2 2023 2023
试卷第6页，共15页5 5 5 5
A．10+ B．10+ C．10− D．10−
22022 22023 22022 22023
八、重难题型：线段的n等分点。
24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴
我们发现了许多重要的规律：数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的
距离AB=|a−b|，若a>b，则可化简为AB=a−b．
如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为−11，10．
(1)A，B两点的距离为____________．
(2)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
(3)点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度的
速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t>0）．A，B两点经过多少秒相距5个单位长
度？
25．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的
条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
1 1
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM= AC，BN= BC，求MN
3 3
的长．
1 1
③若M，N分别是AC，BC的n(n≥2)等分点，即AM= AC，BN= BC，则
n n
MN=______．九、压轴必会：线段的动点精选。
26．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿
射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①若2cm<AP<14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，
求AP的长度．
27．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从
点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．
(2)用含t的式子表示线段AC的长；
当0≤t≤5时，AC＝ ；
当5＜t≤10时，AC＝ ．
(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？
若不变化，求出MN的长，
28．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C，D两点分别从P、B出发以
1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动
的时间为t．
(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP长；
十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。
29．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．
试卷第8页，共15页(1)按要求作图：
①作射线AB；
②连接BD；
③在射线AB上截取AM，使AM=DB；
④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；
(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B在线段DP的延长线
上；③射线AB和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结
论是_________．
十一、钟面角与方向角的计算。
30．钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（ ）
A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分
31．如图，点B在点O的北偏东58°24'方向上，∠BOC=119°，则点C在点O的
（ ）
A．西偏北60°36'方向上 B．北偏西60°36'方向上
C．西偏北29°54'方向上 D．北偏29°24'方向上
32．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ．
33．如图，一渔船在海上点E开始绕点O航行，开始时点E在点O的北偏东43°40'，
然后绕点O航行到C，测得∠COE=2∠AOE，继续绕行，最后到达D点且1
∠COD= ∠COB．
2
(1)求∠BOC的度数；
(2)说明该渔船最后到达的D点在点O的什么方向？
十二、超级易错：角度的四则混合运算。
34．计算：32°45'48″+21°25'14″= ；27°14'24″= °；
当时钟指向时间为15：30时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
35．计算：153°29'42″+26°40'32″．
36．计算：
(1)把15°48'36″用度表示；
(2)33°16'28″+24°46'37″．
十三、经典难点：角平分线的双中模型。
37．（1）如图1，已知点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC，点M和点N
分别是线段AC和BD的中点．若线段AB=20cm，则线段AD=_______cm，BC=
_______cm，MN=_______cm．
（2）已知OC、OD为从∠AOB顶点出发的两条射线，∠AOB=5∠BOC且
∠AOB=120°，射线OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD．
①如图2，若OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且∠AOB=4∠AOD，求
∠MON的度数．
②如图3，若OC为∠AOB外的一条射线，且∠MON=20°，则∠AOD=_______°．
试卷第10页，共15页38．如图1，线段AB=16cm，CD=1cm，E、F分别是AC、BD的中点．
【问题发现】（1）若AC=7cm，则EF=___________cm．
【拓展探究】（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？
如果不变，求出EF的长度；如果变化，请说明理由．
【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，OE、OF分别平分
∠AOC和∠BOD．若∠AOB=120°，∠COD=16°，求∠EOF的度数．
39．【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分
别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）
【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的
等量关系，并写明理由．十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。
40．定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的
两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三
等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式
表示为（ ）
9 9 9 9 9
A． x或3x或 x B． x或3x或9x C． x或 x或
4 2 4 4 2
9
9x D．3x或 x或9x
2
41．如图，设锐角∠AOB的度数为α，若一条射线平分∠AOB，则图中所有锐角的
和为2α．若四条射线五等分∠AOB，则图中所有锐角的和为( )
A．7α B．6α C．5α D．4a
42．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的
三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC的一
条三分线．
（1）如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC= ；
（2）如图2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且
∠BOC<∠AOC．
①则∠COD= ；
②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好
是∠C'OD'的三分线时，n的值为 ．
十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。
试卷第12页，共15页43．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．
(1)如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=80°，则∠DOE=______°；
(2)如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB=x°，则∠DOE=
______°；
(3)如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB=x°，请借助图③探究∠DOE
的度数．
44．【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，
∠AOB=60°，∠COD=90°，∠DCO=45°．三角板∠AOB的顶点与另一个三角
板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它
的边都在直线MN的上方．
【实践探究】：
（1）如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方
向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分∠AOB．
①此时t=_____秒；
②此时∠AOD=_____°=______❑ '；
【解决问题】：
（2）如图2，在（1）的条件下，边OC恰好平分∠AOB时，同一时刻三角板AOB开
始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第
一次重合？（如图3）请说明理由；
【拓展研究】：
（3）如图3，在（2）的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按
顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰
好平分∠COD？请说明理由．45．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)当∠AOC=36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒(0≤t<36)，旋
转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．
46．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
(1)如图，若∠BON=60°，求∠AOM的度数；
(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数；
(3)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当
∠BON=120°时，求∠COM的度数．
试卷第14页，共15页47．已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示的位置开始绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转
ts(0<t<10)．在旋转过程中，∠AOE− ∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若
不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，求当∠COD旋转多少秒时，∠COF=12°．
十六、余角和补角的理解与应用。
48．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，
∠AOE=62°．
(1)写出一对互余的角．
(2)求∠DOG的度数．
49．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平
分∠MOB．
(1)如图（1），若∠AOM=40°，则∠CON=______；(2)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在
直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①试探究∠AOM−∠BON的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，
请说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠BON的度数．
50．如果∠α和∠β互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①
1 1
90°−∠β；②∠α−90°；③ (∠α+∠β)；④ (∠α−∠β)，正确的有
2 2
．(填所有正确式子的序号)
试卷第16页，共15页
