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专题10 几何压轴（四大类型）
重难点题型归纳
【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】
【题型2：双角平分线模型-分类讨论】
【题型3：角的折叠综合问题】
【题型4：钟表问题】
【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】
【典例1】已知线段AC=10，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD=2，则线段CD的
长为（ ）
A．3 B．3或7 C．8或3 D．8
【变式1-1】同一条直线上有三点A，B，C且线段BC=3AB，点D是BC的中点，CD=3厘米，则线段
AC的长为 ．
1 1
【变式1-2】已知C、 D是线段AB上两点，且AC= AB，CD= AC，若点M、N分别是线段AC、
3 3
BD的中点，MN=20，则线段AB的长是 ．
【变式1-3】已知点A、B、C位于直线l上，其中线段AB=4，且2BC=3AB，若点M是线段AC的中点，
则线段BM的长为 ．
【变式1-4】点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，点E是线段AD的中点，若AB=16,AD=6，
则线段CE的长为 ．
【变式1-5】已知A，B，C三点在同一直线上，AB=8cm，BC=6cm，点M是线段AC的中点，则线段
AM的长度是 cm．
【题型2：双角平分线模型-分类讨论】
【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线AB同侧任作射线OC，OD，使得
∠COD=90°．(1)如图一，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线．若∠COE=25°时．则∠DOE= °，
∠AOC= °；
(2)如图二，过点O作射线OE．当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF．使得OF平分
∠BOD．
①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数；
②若∠AOC=α（0°<α<90°），则∠EOF的度数是 （直接填空）；
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当
∠EOF=10°时，则∠AOC的度数是 ．
【变式2-1】如图，OC是∠BOD的平分线，OE是∠BOC内部一条射线，过点O作射线OA，在平面内
沿箭头方向转动，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°则∠AOC的度数为
（ ）
A．15° B．105° C．15°或105° D．无法计算
1
【变式2-2】已知∠AOB=60°,∠AOC= ∠AOB，射线OD平分∠BOC，则∠COD的度数为
3
【变式2-3】如图 1，把一副三角板拼在一起，边 OA、OC放在直线 EF上，其中∠AOB=45°，
∠COD=60°．
(1)求图 1 中∠BOD的度数；
(2)如图 2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三
角板AOB一直在直线 EF 上方，设∠EOA=α．①若 OB平分∠EOD，求α；
②若∠AOC=4∠BOD，求α．
【变式2-4】已知点O在直线AB上，∠COD=∠EOF=90°．
(1)如图1，若射线OA是∠COE的平分线，∠DOF=124°，求∠AOC的度数；
(2)如图2，延长线段FO得到射线OG，求∠DOF比∠COG大多少度；
(3)在（2）的条件下，如图3，若∠BOF+3∠COG=100°，∠GOD:∠DOB=3:2，过点O作射
线OM，使∠AOC=2∠EOM，求∠COM的度数．
【变式2-5】以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点
放在点O处．
(1)如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=________；
(2)如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断
OD是否平分∠BOC，并说明理由；
(3)将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE=5∠COD，求∠BOD的度数．【题型3：角的折叠综合问题】
【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，OC即为∠AOB的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸
片，OC,OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′处，点B落在点B′处，连接OA′．
(1)如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC=32°，求∠BOD的度数；
(2)如图3，当点B′在∠COA′的内部时，若∠AOC=44°,∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数．
【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两点落在H、G点处，若得
∠AEG=70°，则∠FED的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【变式3-2】如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C,D分别落在M,N的位置，且
1
∠MFB= ∠MFE， 则∠MFB=（ ）
2A．30° B．36° C．45° D．72°
【变式3-3】将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点
分别为B′、D′，若∠B′ AD′=8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
【变式3-4】如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A′，B与B′，C与C′重合，若
∠AED=26°38′，则∠BEF的度数为 ．
【变式3-5】在数学实验课上，老师让同学们以“正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的折叠”为
主题开展数学探究活动．
(1)测量发现
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，将三角形AEP沿EP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．
连接EM，PM，延长PM交直线BC于点N．
根据以上操作，测量MN，BN的长度（精确到1mm）：
当点M在折痕EF上时，如图1，MN=______mm，BN=______mm；当点M在折痕EF外时，如图2，MN=______mm，BN=______mm．
小华发现MN与BN存在一定的数量关系：______．
(2)尝试说理
由操作一知，AE=BE，由操作二知，AE=ME，所以BE=ME．小华继续探究．
操作三：如图3，在BC上取点R，将三角形BRE沿ER折叠，使BE与EM重合，把纸片展平，连接
MR．
由以上操作知，∠PME=∠PAE=90°，∠EMR=∠EBR=90°．
所以∠PMR=∠PME+∠EMR=90°+90°=180°．所以∠PMR是一个______角．所以直线PR经
过点M．因为直线PN也经过点M，依据“经过两点______一条直线”，得直线PR和直线PN是同一
条直线．依据“两条不同的直线相交______交点”，得点R与点N重合．
由操作三知，BR=MR．所以BN=MN．
(3)拓展应用
在以上操作探究中，当∠MEF=30°时，直接写出∠AEP的度数．【变式3-6】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角
平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与
∠RQM重合，所以∠PQM=∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
如图（1），四边形ABCD是一张正方形纸片，将正方形纸片ABCD沿BD对折，把正方形展平，再将
∠A和∠C分别沿BE和BF折叠，使点A落在BD上的点A′处，使点C落在BD上的点C′处，A′与C′重
合，则∠ABE=__________度；∠EBF=__________度．
【类比再探】
如图（2），将正方形纸片ABCD的∠A沿BE折叠，使点A落在点A′处，将∠C沿BF折叠，使点C
落在点C′处，点C′与点A′重合．猜想∠EBF的度数，并说明理由．
小官同学：猜想∠EBF=45°．1
理由如下：∵∠A沿BE折叠，∴∠ABE=∠A′BE= ∠A′BA，
2
∵∠C沿BF折叠，
∴ ，
∵∠A′BA+∠C′BC=__________，
1
∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BE = (∠A′BA+∠C′BC)=__________．
2
【拓展探究】
如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片ABCD展平，然后将∠A和∠C分别沿BG和BH再折
叠，使点A落在BE上的点A″处，点C落在BF上的点处．猜想∠ABG和∠CBH的数量关系，并说明
理由．
【变式3-7】如图1，已知长方形的纸片ABCD．
操作1：如图2，把纸片沿BM折叠，使AB落在边BC上，则∠MBA′=______；
操作2：如图3，把纸片沿BM、BN折叠，使AB、BC的对应边BA′、BC′重合，求∠MBN的度数：
操作3：如图4，把纸片沿PM、PN折叠，使PB、PC的对应边PB′、PC′重合，求
∠BPM+∠NPC的度数．
【题型4：钟表问题】
【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其
中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段
AD交于点B，C，O为表盘圆心．(1)若BC为3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中点，则手表全长AD= cm．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8:30时表盘指针状态
如图③所示，分针ON与OC重合．
①∠EON= °；
②作射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数．
(3)如图④，自8:30之后，OM始终是∠EON的平分线（分针还是ON），在一小时内，经过
________分钟，∠EOM的度数是25°．
【变式4-1】知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，
两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表
示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，OA与OB的夹角∠AOB=120°．
（1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（2）3:40时，时针与分针所成的角度 ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，
爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型
（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．
(1)已知表盘直径BC为3cm，CD:AB=2:1，若B是AC中点，则手表全长AD=______cm．
(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，琪琪一看现在
正好是8:30，如图③所示．
①8:30时分针和时针的夹角为_______度；
②作射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数．
(3)如图④所示．自8:30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，经
过_______分钟后，∠EOM的度数是25°（直接写出结果）【变式4-3】【问题初探】
（1）①如图1，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角三角板的直角
顶点放在点O处，即∠DOE=90°．
②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度数；
【深度探究】
1
（2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好∠COD= ∠AOE，当OD与OB重合时停止
3
运动，求此时∠BOD的度数．
【知识迁移】
（3）若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，问经过几分
钟后，的度数第一次等于115°．（直接写出答案）
