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专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.线段的双中点模型...............................................................................................................................2
模型2.线段的多中点模型...............................................................................................................................4
模型3.双角平分线模型与角n等分线模型...................................................................................................6
..................................................................................................................................................11模型1.线段的双中点模型
线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为
线段的双中点模型。
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论： .
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴ ；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴ ；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴ ；例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 的中点．
(1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长；
例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段 上，点M，N分别是线段 的中点．
(1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度．
例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的三等分点．若线段
，则线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段 上两点（点D在点C右侧），E，F分别
是线段 的中点．下列结论：
① ； ②若 ，则 ；③ ； ④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段 ，点C为线段 的中点，点D为线段 上的
三等分点，则线段 的长的最大值为（ ）A．16 B．18 C．15 D．20
例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点 、 在数轴上所表示的数如图所示， 是数轴上一点：
(1)将点 在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点 ，求出 、 两点间的距
离是多少个单位长度．
(2)若点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ，且 、 两点间的距离是4，求 的值．
(3)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若发生
变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度．
模型2.线段的多中点模型
条件：如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第1次操作：分别取线段 和 的中点
、 ﹔第2次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第3次操作：分别取线段 和 的
中点 ， ；…连续这样操作n次，结论： ．
证明：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，∵ 、 是 和 的中点，
∴ ， ，∴ ，∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，……发现规律： ，
例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点 为原点，点 表示的数为 ，动点 从点
出发，按以下规律跳动：第1次从点 跳动到 的中点 处，第2次从点 跳动到 的中点 处，
第3次从点 跳动到 的中点 处，…，第 次从点 跳动到 的中点 处，按照这样的规律继
续跳动到点 ， ， ，…， 处，那么点 所表示的数为 ．
例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第
一次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；
第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ，连续这样操作4 次，则 ．
例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 ．例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 做了n次取线段
中点实验：如图，设线段 ，第1次，取 的中点 ；第2次，取 的中点 ；第3次，取
的中点 ，第4次，取 的中点 ；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段 的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段 的表达式进行了如下化简：
因为 ，所以 ，
两式相加，得 ，所以 ．
请你参考小明的化简方法，化简 的表达式．
(3)类比猜想： _____， =_____，随着取中点次数n的不断增大， 的长最终接近的值是____．模型3.双角平分线模型与角n等分线模型
双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平
分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们
自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论： 。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴ ， ，
∴ ，∴ 。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论： 。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴ ， ，
∴ ，∴ 。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC；
1 2
结论： 。
证明：∵OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC，∴ ， ，
1 2
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，∴ 。
4）角n等分线模型
条件：如图4， 分别是 和 的平分线， 分别是 和
的平分线， 分别是 和 的平分线…， 分别是 和
的平分线；结论：．
证明： ， 、 分别是 和 的平分线，
， ，
、 分别是 和 的平分线， ，
，
、 分别是 和 的平分线， ，
，…，
由此规律得： 。
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线 上一点， 平分 ， 平分 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线 平分 ，射线 平分 ，则下列
等式中成立的有（ ）① ；② ；③ ；④
．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线 是 的角平分线，射线 是
的角半分线，射线 是 的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④
；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线，
分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…，
分别是 和 的平分线，则 的度数是 ．例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在
∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ， 分别平分
和 ．(1)求 的度数；(2)如果 ．①求 的度数；②若 ，
直接写出 的度数．
例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、
分别平分 、 ，求 的度数；(2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分
、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示）
例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 ，若其中有一个角的度数
是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，
（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则
（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则
（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取 ，再截取 ，则
的中点 与 的中点 之间的距离为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段 上两点，M、N分别是线段 的中
点，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；
④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点
为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕，
若 ，则 （ ）．A． B． C． D．
5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，
分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．
若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根 长为 ，另一根 长为
，在它们的中点处各有一个小圆孔 （圆孔直径忽略不计， 抽象成两个点），将它们的
一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离 是 ．
7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知 是线段 上的一个点， 是 的
中点， 为 中点，且满足 ，求 ．
8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在
右）的长为a，长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，M为 的中点，N为
的中点，线段 的长为b，则线段 的长为 （用a，b的式子表示）．
9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段 上，P，Q分别是 的中点，若
，则 ．10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知 ，由定点 引一条射线，使得 ，
、 分别是 和 的平分线，则 度．
11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，
∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图， 为直线 上一点， ， 平分 ，
平分 ， 平分 ，下列结论： ； 与 互补；
； ．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内， ， 为 内部一点，射线 平
分 ，射线 平分 ，射线 平分 ，当 时， 的度数是．
15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．
(1)根据题意，小明求得 ______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开
始深入探究．设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请
你帮助小明解答．①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______．
②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长．
③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______．
16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，
则 ________．
(2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点
先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的值；
②t为何值时， ．
17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ．
(1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ，
求 的度数；(3)当 和 的位置如图3时，求 的度数．
18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段 ， ，线段 在线段
上运动，E，F分别是 ， 的中点．
(1)若 ，则 ___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在内部转动， ， 分别平分 和 ，若 ， ，则
___________．直接写出 ， 和 的数量关系：___________．
19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点 为直线 上一点，在直线 同侧任作射线 ，使
得 ．(1)如图一，过点 作射线 ，使 为 的角平分线，若 时，则
________ ， ________ ；(2)如图二，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分
线时，另作射线 ，使得 平分 ．①若 ，求 的度数（写出推理过程）；
②若 ，则 的度数是________（直接填空）．
(3)过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，当
时，则 的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且
，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若
， ，求 的度数．
