文档文本内容
淘宝：学思创想
专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C 三点共线，D、E 分别为AB、BC 中点，结论：
.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C 三点共线，D、E 分别为AB、BC 中点，结论：
.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，
是
的中点，
是
的中点，若
，
，则下列说
法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2022 秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段
，长度为2 的线段
在线段
上运动，
分别取线段
、
的中点
、
，则
．
例3．（2022 秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点
是
的中点，点
是
的中点，现给出下列等
式：①
，②
，③
，④
．其中正确的等式序号是
．
例4．（2022 秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的
淘宝：学思创想
中点，
是
的中点，依此类推……，线段的
长为 ．
例5．（2022 秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l 上有三点A、B、C，其中
，
，M、N
分别是
、
的中点则
的长是
．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C 在线段
上，点M 是
的中点，点N 是
的中
点．
(1)若
，求
的长；(2)若
，
，求
的长；(3)若
，求
的长．
例7．（2022 秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点
在线段
上，
，
，点
、
分别是
、
的中点．
(1)求线段
的长；(2)若点
在线段
的延长线上，且满足
，其它条件不变，你能猜想
的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
例8．（2022 春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点
在线段
上，且
时，我们称
为点
在线段
上的点值，记作
．如点
是
的中点时，则
，记作
；反过来，当
淘宝：学思创想
时，则有
．因此，我们可以这样理解：
与
具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点
在线段
上，若
，则
__________；若
，则
____________；
(2)如图2，已知线段
，点
、
分别从点
和点
同时出发，相向而行，运动速度均为
，
当点
到达点
时，点
、
同时停止运动，设运动时间为
，请用含有的式子表示
和
，并判
断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段
，点
、
分别从点
和点
同时出发，相向而行，若点
、
的运动
速度分别为
和
，点
到达点
后立即以原速返回，点
到达点
时，点
、
同时停止运动，
设运动时间为
．则当为何值时，等式
成立．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC＝10 厘米，BC＝6 厘米，点
M，N 分别是AC，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC
＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN 的长度．（3）动点P、Q 分别从A、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速
度沿AB 向右运动，终点为B，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一
个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t（s）．当C、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点
的线段的中点时，直接写出时间t．
淘宝：学思创想
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：
.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：
.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：
.
例1．（2022 秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，
是
内部的一条射线，
、
分别是
、
的角平分线．若
，
，则
的度数为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线
在
内部，
平分
平分
平分
，以下四个结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的结论有 （填序号）．
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，…，
分别是
和
的平分线，则
的度数是 ．
例4．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在∠BOD
的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A，B 两题中任选一题作答．
淘宝：学思创想
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD 的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD 的度数为 （用含α 的代数式表示）．
例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数；(2)若
，
是平面内两个角，
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数．（用含
、
的代数式表示）
例6．（2022 秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在
的内部画射线
，射线
把
分成两个角，分别为
和
，若这两个角中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线
为
的“3 等分线”．
(1)若
，射线
为
的“3 等分线”，则
的度数为__________．
(2)如图2，已知
，过点O 在
外部作射线
．若
三条射线中，一条射线恰好
是以另外两条射线为角的“3 等分线”，求
的度数（
）．
淘宝：学思创想
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点
是直线
上一点，∠
是直角，
平分∠
．
（1）如图1，若∠
=40°，求∠
的度数；
（2）如图1，若∠
=
，直接写出∠
的度数（用含
的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1 中的∠
按顺时针方向旋转至图2 所示的位置，探究∠
和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取
，再截取
，则
的中点
与
的中点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2023 秋·海南·七年级统考期末）已知线段
，点
是直线
上一点，
，若
是
的中点，
是
的中点，则线段
的长度是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D 是线段
上两点，M、N 分别是线段
的中
点，下列结论：①若
，则
；②若
，则
；③
；
④
．
淘宝：学思创想
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
4．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
；第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；第三
次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O 是原点，点A 表示的数是4，线段
（点B 在
点C 的左侧）在直线
上运动，且
．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B 与点O 重合时，
；
乙：当点C 与点A 重合时，若P 是线段
延长线上的点，则
；
丙：在线段
运动过程中，若M，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变
A．甲、乙
B．只有乙
C．只有丙
D．乙、丙
6．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知
，以点
为顶点作直角
，以点
为端点作一条射线
．通过折叠的方法，使
与
重合，点
落在点
处，
所在的直线为折痕，
若
，则
（ ）．
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
7．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在
的内部作射线
，射线
把
分成两个角，
分别为
和
，若
或
，则称射线
为
的三等分线．
若
，射线
为
的三等分线，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
8．（2023 秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，
是
内的一条射线，
平分
，
平分
，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（2023 吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分
∠AOC，OF 平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角
B．图中只有∠DOE 是直角
C．图中∠AOC 的补角有3 个
D．图中∠AOE 的余角有2 个
10．（2023 秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
、
），将三角板
绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2 所示，且
，有下列四
个结论：
淘宝：学思创想
①在图1 的情况下，在
内作
，则
平分
；
②在旋转过程中，若
平分
，
平分
，
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成
的次数为3 次；
④
的角度恒为
．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
11．（2022 秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点
、
、
表示的数分别是
，
，1，且点
为线段
的中点，点
为原点，点
在数轴上，点
为线段
的中点．
、
为数轴上两个动点，
点
从点
向左运动，速度为每秒1 个单位长度，点
从点
向左运动，速度为每秒3 个单位长度，
、
同时运动，运动时间为
．
有下列结论：①若点
表示的数是3，则
；②若
，则
；③当
时，
；④当
时，点
是线段
的中点；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023 秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知
、
是
内部的两条射线，
平分
，
平分
，①若
，
，则
的度数为 度；②若
，
，则
的度数为 度(用含x 的代数式表示)．
13．（2023 春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C 都在直线l 上，点C 是线段
的三等分点，
淘宝：学思创想
D、E 分别为线段
中点，直线l 上所有线段的长度之和为91，则
．
14．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在
右）的长为a，长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，M 为
的中点，N 为
的中点，线段
的长为b，则线段
的长为 （用a，b 的式子表示）．
15．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D 在线段
上，P，Q 分别是
的中点，
若
，则
．
16．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
17．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
18．（2023 秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线
上，线段
，动点
从
出发，以每秒
2 个单位长度的速度在直线
上运动，
为
的中点，
为
的中点，设点
的运动时间为秒．
淘宝：学思创想
(1)若点
在线段
上运动，当
时，
；(2)若点
在射线
上运动，当
时，
求点
的运动时间的值；(3)当点
在线段
的反向延长线上运动时，线段
、
、
有怎样的数量
关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C 在线段AB 上，
时，我们称n 为点C 在线段AB 上的“点值”，记作
．
例如，点C 是AB 的中点时，即
，则
；
反之，当
时，则有
．
因此，我们可以这样理解：“
”与“
”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C 在线段AB 上．若
，
，则
________；若
，则
________．
(2)【拓展与延伸】已知线段
，点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，向点B 运动．同时，点Q 以
3cm/s 的速度从点B 出发，先向点A 方向运动，到达点A 后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一
点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q 从点B 向点A 方向运动时，
的值是个定值，求m 的值；
②t 为何值时，
．
淘宝：学思创想
20．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点
在线段
上，
，
分别是
，
的中点．若
，
，求
的长．
(1)根据题意，小明求得
______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现
的长度具有一个特殊性质，
于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设
，
是线段
上任意一点（不与点
，
重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解
答．
①如图1，
，
分别是
，
的中点，则
______．
②如图2，
，
分别是
，
的三等分点，即
，
，求
的长．
③若
，
分别是
，
的
等分点，即
，
，则
______．
21．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线
在
内部，
平分
．
淘宝：学思创想
(1)如图1，求证：
；(2)如图2，作
平分
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
时，作射线
的反向延长线
，
在
的下方，且
，反向延长射线
得到射线
，射线
在
内部，
是
的平分线，若
，
，求
的度数．
22．（2023 秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知
内部有三条射线，
平分
，
平分
，若
，求
的度数；
（2）若将（1）中的条件“
平分
，
平分
”改为“
，
淘宝：学思创想
”，且
，求
的度数；
（3）如图2，若
、
在
的外部时，
平分
，
平分
，当
，
时，猜想：
与
的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
23．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知
，
平分
，
平分
．
(1)如图1，当
，
重合时，求
的度数；(2)如图2，当
在
内部时，若
，
求
的度数；(3)当
和
的位置如图3 时，求
的度数．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段
，
，线段
在线段
上运动，E，F 分别是
，
的中点．(1)若
，则
；(2)当线段
在线段
上运动时，试判断
的长
度是否发生变化？如果不变，请 求出
的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知
在
内部转动，
，
分
别平分
和
，若
度，
度，求
．
淘宝：学思创想
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB、AM
和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若
，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则
；
（3）（解决问题）如图③，已知
，动点P 从点A 出发，以
速度沿AB 向点B 匀速移动，
点
从点B 出发，以
的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P、
同时出发，当其中一点到达终点时，运
动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、
三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段
的“奇妙点”．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON 分别平分∠AOC、
∠BOD．
淘宝：学思创想
（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD 的边OA、OD 在同
一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过
程时间记为t 秒．若∠MON＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在
的内部，图中共有3 个角：
、
、
，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是
的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若
，且射线PQ 是
的“定分线”，则
________(用含a 的代数式表
示出所有可能的结果）；（3）如图2，若
=48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速
度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆
时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是
的“定分线”时，求t 的值．
淘宝：学思创想
