文档内容
专题10 几何压轴（四大类型）
重难点题型归纳
【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】
【题型2：双角平分线模型-分类讨论】
【题型3：角的折叠综合问题】
【题型4：钟表问题】
【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】
【典例1】已知线段AC=10，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD=2，则线段CD的
长为（ ）
A．3 B．3或7 C．8或3 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．根据题意
画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：①当点D在点B左侧时，
∵AC=10，点B是线段AC的中点，
1 1
∴BC= AC= ×10=5，
2 2
∵BD=2，
∴CD=BC+BD=5+2=7；
②当点D在点B右侧时，
∵AC=10，点B是线段AC的中点，
1 1
∴BC= AC= ×10=5，
2 2
∵BD=2，
∴CD=BC−BD=5−2=3；故选B．
【变式1-1】同一条直线上有三点A，B，C且线段BC=3AB，点D是BC的中点，CD=3厘米，则线段
AC的长为 ．
【答案】8或4/4或8
【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点D为中点，CD=3，可得BC，AB的值，
图形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵点D是BC的中点，CD=3，
∴BD=CD=3，
∴BC=6，
∵BC=3AB=6，
∴AB=2，
∴AC=AB+BC=2+6=8；
如图所示，
∵CD=3，
∴BC=6，
∴AB=2
∴AC=BC−AB=6−2=4；
故答案为：8或4 ．
1 1
【变式1-2】已知C、 D是线段AB上两点，且AC= AB，CD= AC，若点M、N分别是线段AC、
3 3
BD的中点，MN=20，则线段AB的长是 ．
【答案】45或36
【分析】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题
的关键．设AB=x，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利
用MN=20建立方程求解即可．1 1 1 1
【详解】解：设AB=x，则AC= AB= x，CD= AC = x，
3 3 3 9
①当点D在点C的左边时，画图如下：
2 7
则AD=AC−CD= x，BD=AB−AD= x，
9 9
又∵点M、N分别是线段AC、BD的中点，
1 1 1 7
∴AM= AC= x，BN= BD= x，
2 6 2 18
1 7 4
∴MN=AB−AM−BN=x− x− x= x=20，
6 18 9
解得：AB=x=45，
②当点D在点C的右边时，画图如下：
4 5
则AD=AC+CD= x，BD=AB−AD= x，
9 9
又∵点M、N分别是线段AC、BD的中点，
1 1 1 5
∴AM= AC= x，BN= BD= x，
2 6 2 18
1 5 5
∴MN=AB−AM−BN=x− x− x= x=20，
6 18 9
解得：AB=x=36，
综上所述：线段AB的长是45或36，
故答案为：45或36．
【变式1-3】已知点A、B、C位于直线l上，其中线段AB=4，且2BC=3AB，若点M是线段AC的中点，
则线段BM的长为 ．
【答案】5或1
【分析】本题考查了线段之间的数量关系，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
需要分两种情况，当点C在点B的右侧时和当点C在点B的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段
之间的数量关系计算即可．
【详解】解：如图，当点C在点B的右侧时，
∵ AB=4 2BC=3AB
，且 ，∴ BC=6，
∴ AC=AB+BC=4+6=10，
∵点M是线段AC的中点，
1
∴ AM=CM= AC=5，
2
∴ BM=AM−AB=5−4=1．
如图，当点C在点B的左侧时，
∵ AB=4 2BC=3AB
，且 ，
∴ BC=6，
∴ AC=BC−AB=6−4=2，
∵点M是线段AC的中点，
1
∴ AM=CM= AC=1，
2
∴ BM=AB+AM=4+1=5．
综上所述，线段BM的长为5或1，
故答案为：5或1．
【变式1-4】点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，点E是线段AD的中点，若AB=16,AD=6，
则线段CE的长为 ．
【答案】5或11
【分析】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键．
分类讨论，即点D在点A左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答．
【详解】解：①当点D在点A左边时，如图所示：
∵ C AB E AD
点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，
1 1
∴ AC= AB=8，AE= AD=3，
2 2
∴CE=AC−AE=5；
②当点D在点A右边时，如图所示：
∵ C AB E AD
点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，
1 1
∴ AC= AB=8，AE= AD=3，
2 2
∴CE=AC+AE=11；故答案为：5或11．
【变式1-5】已知A，B，C三点在同一直线上，AB=8cm，BC=6cm，点M是线段AC的中点，则线段
AM的长度是 cm．
【答案】7或1
【分析】本题主要考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．应考虑到位
置关系的多种可能性，即可得到答案．
【详解】解：①当点C在线段AB的延长线上时，此时AC=AB+BC=14cm，
∵
点M是线段AC的中点，
1
∴AM= AC=7cm；
2
②当点C在线段AB上时，此时AC=AB−BC=2cm，
∵
点M是线段AC的中点，
1
∴AM= AC=1cm．
2
故答案为：7或1．
【题型2：双角平分线模型-分类讨论】
【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线AB同侧任作射线OC，OD，使得
∠COD=90°．
(1)如图一，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线．若∠COE=25°时．则∠DOE= °，
∠AOC= °；
(2)如图二，过点O作射线OE．当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF．使得OF平分
∠BOD．
①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数；
②若∠AOC=α（0°<α<90°），则∠EOF的度数是 （直接填空）；
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当
∠EOF=10°时，则∠AOC的度数是 ．【答案】(1)65，40
(2)①135°；②135°
(3)35°或55°
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之
间的关系是解决问题的关键．
（1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解；
（2）根据角平分线的定义求出∠DOF和∠COE，再根据∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF求解；
（3）分OF在∠EOD内部和OF在∠EOD外部两种情况，分别计算即可．
【详解】（1）解：∵∠COE=25°,∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−25°=65°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=65°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=65°−25°=40°，
故答案为：65，40；
（2）解：①∵∠AOC=50°,∠COD=90°
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=40°，
∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，
1 1
∴∠DOF= ∠BOD=20°,∠COE= ∠AOC=25°，
2 2
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=25°+90°+20°=135°；
②∵∠AOC=α,∠COD=90°，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，
∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，
1 1 1 1
∴∠DOF= ∠BOD=45°− α,∠COE= ∠AOC= α，
2 2 2 2
1 1
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF= α+90°+45°− α=135°，
2 2
故答案为：135°；
（3）解：当OF在∠EOD内部时，如图：
∵OF ∠COD,∠COD=90°
平分 ，1
∴∠COF= ∠COD=45°，
2
∵∠EOF=10°，
∴∠COE=∠COF−∠EOF=35°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=35°；
当OF在∠EOD外部时，如图：
∵OF ∠COD,∠COD=90°
平分 ，
1
∴∠COF= ∠COD=45°，
2
∵∠EOF=10°，
∴∠COE=∠COF+∠EOF=55°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠COE=55°，
综上可知，∠AOC的度数是35°或55°，
故答案为：35°或55°．
【变式2-1】如图，OC是∠BOD的平分线，OE是∠BOC内部一条射线，过点O作射线OA，在平面内
沿箭头方向转动，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°则∠AOC的度数为
（ ）
A．15° B．105° C．15°或105° D．无法计算
【答案】C
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本1
题的关键．由OC是∠BOD的平分线得∠COD=∠COB= ∠BOD=60°，进而求得
2
3
∠BOE=∠COB−∠COE=30°，结合∠AOB:∠BOE=3:2得∠AOB= ∠BOE=45°，再分两
2
种情况：当OA在AB下方时，，当OA在AB上方时，分别讨论即可求解．
【详解】解：∵∠BOD=120°，OC是∠BOD的平分线，
1
∴∠COD=∠COB= ∠BOD=60°，
2
又∵∠COE=30°，
∴∠BOE=∠COB−∠COE=30°，
而∠AOB:∠BOE=3:2，
3
∴∠AOB= ∠BOE=45°，
2
如图，当OA在AB下方时，
此时，∠AOC=∠COB+∠AOB=60°+45°=105°；
如图，当OA在AB上方时，
此时，∠AOC=∠COB−∠AOB=60°−45°=15°；
即：∠AOC=15°或105°，
故选：C．
1
【变式2-2】已知∠AOB=60°,∠AOC= ∠AOB，射线OD平分∠BOC，则∠COD的度数为
3
【答案】20°或40°【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得∠BOC的度数是关键，因考虑不周，容
易漏掉一种情况的解．分两种情况(OC在∠AOB内或外），分别首先求得∠BOC的度数，然后根据
角平分线的定义求得∠COD的度数．
【详解】解：当OC在∠AOB内时，如图1，
1
则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60°− ×60°=40°，
3
∵射线OD平分∠BOC，
1
∴∠COD= ∠BOC=20°；
2
当OC在∠AOB外时，如图2，
1
则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+ ×60°=80°，
3
∵射线OD平分∠BOC，
1
∴∠COD= ∠BOC=40°．
2
综上，∠COD=20°或40°．
故答案为：20°或40°．
【变式2-3】如图 1，把一副三角板拼在一起，边 OA、OC放在直线 EF上，其中∠AOB=45°，
∠COD=60°．(1)求图 1 中∠BOD的度数；
(2)如图 2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三
角板AOB一直在直线 EF 上方，设∠EOA=α．
①若 OB平分∠EOD，求α；
②若∠AOC=4∠BOD，求α．
【答案】(1)∠BOD=75°
(2)①α=15°；②40°或96°
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
（1）根据∠BOD=180°−∠AOB−∠COD可得结论；
（2）①先求出∠EOD=120°，再根据角平分线的定义求出∠EOB=60°，进而可得到结论；
②分射线OB在∠EOD内部和射线OB在∠DOC内部两种情况求解即可．
【详解】（1）∵∠AOB=45°,∠COD=60°，
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠COD=75°；
（2）①∵∠COD=60°，
∴∠EOD=180°−60°=120°，
1
当OB平分∠EOD时，∠EOB= ∠EOD=60°，
2
∵∠AOB=45°，
∴∠AOE=60°−45°=15°，
∴α=15°；
②当射线OB在∠EOD内部时，
∵∠AOB=45°,∠COD=60°,∠EOA=α，
∴∠BOD=180°−45°−60°−α=75°−α，
∵∠AOC=180°−α，∴180°−α=4(75°−α)，
解得α=40°．
当射线OB在∠DOC内部时，设∠DOB=x，则∠AOC=4x，
∵∠AOB+∠DOC−x=4x，
∴45°+60°−x=4x，
∴x=21°，
∴∠AOC=84°，
∴α=180°−84°=96°，
综上所述，满足条件的α的值为40°或96°．
【变式2-4】已知点O在直线AB上，∠COD=∠EOF=90°．
(1)如图1，若射线OA是∠COE的平分线，∠DOF=124°，求∠AOC的度数；
(2)如图2，延长线段FO得到射线OG，求∠DOF比∠COG大多少度；
(3)在（2）的条件下，如图3，若∠BOF+3∠COG=100°，∠GOD:∠DOB=3:2，过点O作射
线OM，使∠AOC=2∠EOM，求∠COM的度数．
【答案】(1)∠AOC=28°
(2)∠DOF比∠COG大90°
(3)∠COM=95°或55°
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中的角的计算，解题的关键是数形结合，熟
记角平分线的定义．
（1）先求出∠COE=360°−90°−90°−124°=56°，根据射线OA是∠COE的平分线，求出结果
即可；（2）根据∠COG=90°−∠DOG，∠DOF=180°−∠DOG，求出∠DOF−∠COG=90°即可；
（3）先根据已知条件求出∠COG=15°，得出∠BOD=50°，∠BOF=55°，进一步求出
1
∠AOC=40°，∠AOE=35°，得出∠EOM= ∠AOC=20°，分两种情况进行讨论：当OM在
2
OE的下方时，当OM在OE的上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵∠COD=∠EOF=90°，∠DOF=124°，
∴∠COE=360°−90°−90°−124°=56°，
∵射线OA是∠COE的平分线，
1
∴∠AOC= ∠COE=28°．
2
（2）解：∵∠COD=90°，
∴∠COG=90°−∠DOG，
∵∠DOF=180°−∠DOG，
∴∠DOF−∠COG=(180°−∠DOG)−(90°−∠DOG)=90°，
即∠DOF比∠COG大90°．
（3）解：根据解析（2）可知，∠DOF−∠COG=90°，
∴∠DOF=∠COG+90°，
∵∠BOF+3∠COG=100°，
∴∠BOF=100°−3∠COG，
∴∠BOD=∠DOF−∠BOF
=∠COG+90°−(100°−3∠COG)
=∠COG+90°−100°+3∠COG
=4∠COG−10°，
∵∠GOD:∠DOB=3:2，
3 3
∴∠GOD= ∠DOB= ×(4∠COG−10°)=6∠COG−15°，
2 2
∵∠GOD=90°−∠COG，
∴6∠COG−15°=90°−∠COG，
解得：∠COG=15°，
∴∠BOD=4∠COG−10°=4×15°−10°=50°，
∠BOF=100°−3∠COG=55°，
∴∠AOC=180°−90°−50°=40°，∠AOE=180°−90°−55°=35°，
∵∠AOC=2∠EOM，
1
∴∠EOM= ∠AOC=20°，
2
当OM在OE的下方时，如图所示：
∠COM=∠AOC+∠AOE+∠EOM
=40°+35°+20°
=95°；
当OM在OE的上方时，如图所示：
∠COM=∠AOC+∠AOE−∠EOM
=40°+35°−20°
=55°；
综上分析可知：∠COM=95°或55°．
【变式2-5】以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点
放在点O处．
(1)如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=________；
(2)如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断
OD是否平分∠BOC，并说明理由；
(3)将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE=5∠COD，求∠BOD的度数．【答案】(1)30°
(2)OD平分∠BOC，理由见解析
(3)∠BOD=65°或52.5°
【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
（1）根据∠COE=∠DOE−∠BOC即可作答；
（2）由∠BOC=60°，得∠AOC=180°−60°=120°，根据OE恰好平分∠AOC，有
∠EOC=120°÷2=60°，即可得∠COD=∠EOD−∠EOC=90°−60°=30°，即可得
∠BOD=∠COD，问题得解；
（3）由∠AOE=5∠COD，设∠COD=x，则∠AOE=5x，分两种情况：第一种OD在∠AOC内，
第二种OD在∠BOC内，列出方程，即可作答．
【详解】（1）解： ∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，
∴∠COE=∠DOE−∠BOC=30°，
故答案为：30°；
（2）OD平分∠BOC，理由如下：
∵直线AB上一点O，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°−60°=120°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴∠EOC=120°÷2=60°，
∵∠EOD=90°，
∴∠COD=∠EOD−∠EOC=90°−60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC−∠COD=60°−30°=30°，
∴∠BOD=∠COD，
∴OD平分∠BOC；
（3）∵∠AOE=5∠COD，
∴设∠COD=x，则∠AOE=5x．
分两种情况：
①如图，OD在∠AOC内，∵∠AOB=∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC=180°
，
∴5x+90°+x+60°=180°，
∴6x=30°，
∴x=5，
∴∠COD=5°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+5°=65°；
②如图，OD在∠BOC内，
∵∠AOE+∠BOD=∠AOB−∠EOD=180°−90°=90°
，
∴∠AOE+∠BOC−∠COD=90°，
∴5x+60°−x=90°，
解得x=7.5°，
∴∠BOD=∠BOC−∠COD=60°−7.5°=52.5°；
综上∠BOD=65°或52.5°．
【题型3：角的折叠综合问题】
【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，OC即为∠AOB的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸
片，OC,OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′处，点B落在点B′处，连接OA′．
(1)如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC=32°，求∠BOD的度数；(2)如图3，当点B′在∠COA′的内部时，若∠AOC=44°,∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数．
【答案】(1)58°；
(2)30°．
【详解】解：
（1）由折叠的性质，可知∠AOA′=2∠AOC,∠BOB′=2∠BOD．因为点B′落在OA′上，所以
∠AOA′+∠BOB′=180°，所以2∠AOC+2∠BOD=180°，所以∠AOC+∠BOD=90°．因为
∠AOC=32°，所以∠BOD=90°−32°=58°；
（2）由折叠的性质，可知∠AOA′=2∠AOC=2×44°=88°,∠BOB′=2∠BOD=2×61°=122°，
所以∠A′OB′=∠AOA′+∠BOB′−180°=88°+122°−180°=30°，即∠A′OB′的度数为30°．
【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两点落在H、G点处，若得
∠AEG=70°，则∠FED的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可
得∠FEG=∠FED，再根据角的和差求解即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：∠FEG=∠FED，
∵∠FEG+∠FED+∠AEG=180°，∠AEG=70°，
180°−70°
∴∠FED= =55°，
2
故选：A．
【变式3-2】如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C,D分别落在M,N的位置，且
1
∠MFB= ∠MFE， 则∠MFB=（ ）
2A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
1
【分析】由折叠可知∠CME=∠MFE，结合∠MFB= ∠MFE以及
2
∠CFE+∠MFE+∠MFB=180°可得5∠MFB=180°，求解即可获得答案．
【详解】解：∵在长方形ABCD中，纸片沿着EF折叠，
∴∠CME=∠MFE，
1
∵∠MFB= ∠MFE，
2
又∵∠CFE+∠MFE+∠MFB=180°，
∴2∠MFB+2∠MFB+∠MFB=180°，
∴5∠MFB=180°，
∴∠MFB=36°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查几何图形中角的运算、图形折叠等知识，掌握折叠后的图形性质是解题的关键．
【变式3-3】将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点
分别为B′、D′，若∠B′ AD′=8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
【答案】C
【分析】可以设∠EAD′=α，∠FAB′=β，根据折叠可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，进而可求解．
【详解】解：设∠EAD′=α，∠FAB′=β，
根据折叠性质可知：∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，
∵∠B′AD′=8°，
∴∠DAF=8°+β，
∠BAE=8°+α，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DAB=90°，
∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°，
∴α+β=33°，
∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
=8°+α+β
=8°+33°
=41°．
则∠EAF的度数为41°．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何中角的计算，解决本题的关键在于能够根据题意找到角之间的关系．
【变式3-4】如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A′，B与B′，C与C′重合，若
∠AED=26°38′，则∠BEF的度数为 ．
【答案】63°22′
【分析】根据折叠的性质可知，∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，再根据
∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′=180°，即可求解．
【详解】解：根据折叠的性质可知，∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠FEB′，
∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′=180°，
∴∠AED+∠BEF=90°，
又∵∠AED=26°38′，
∴∠BEF=90°−∠AED=90°−26°38′=63°22′．
故答案为：63°22′．【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
【变式3-5】在数学实验课上，老师让同学们以“正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的折叠”为
主题开展数学探究活动．
(1)测量发现
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，将三角形AEP沿EP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．
连接EM，PM，延长PM交直线BC于点N．
根据以上操作，测量MN，BN的长度（精确到1mm）：
当点M在折痕EF上时，如图1，MN=______mm，BN=______mm；
当点M在折痕EF外时，如图2，MN=______mm，BN=______mm．
小华发现MN与BN存在一定的数量关系：______．
(2)尝试说理
由操作一知，AE=BE，由操作二知，AE=ME，所以BE=ME．小华继续探究．
操作三：如图3，在BC上取点R，将三角形BRE沿ER折叠，使BE与EM重合，把纸片展平，连接
MR．由以上操作知，∠PME=∠PAE=90°，∠EMR=∠EBR=90°．
所以∠PMR=∠PME+∠EMR=90°+90°=180°．所以∠PMR是一个______角．所以直线PR经
过点M．因为直线PN也经过点M，依据“经过两点______一条直线”，得直线PR和直线PN是同一
条直线．依据“两条不同的直线相交______交点”，得点R与点N重合．
由操作三知，BR=MR．所以BN=MN．
(3)拓展应用
在以上操作探究中，当∠MEF=30°时，直接写出∠AEP的度数．
【答案】(1)14，14；12，12，MN=BN
(2)平；确定；只有一个
(3)∠AEP=60°
【分析】本题考查了线段的性质，线段的测量，角度的计算
（1）根据题意测量MN，BN，即可求解；
（2）根据线段的性质完成填空，即可求解；
（3）根据折叠的性质，平角的定义，即可求解．
【详解】（1）解：当点M在折痕EF上时，如图1，MN= 14mm，BN= 14mm；
当点M在折痕EF外时，如图2，MN= 12mm，BN= 12mm．
MN与BN存在一定的数量关系：MN=BN
故答案为：14，14；12，12，MN=BN．
（2）根据题意，∠PMR是一个平角．所以直线PR经过点M．因为直线PN也经过点M，依据“经
过两点确定一条直线”，得直线PR和直线PN是同一条直线．依据“两条不同的直线相交只有一个交
点”，得点R与点N重合．
故答案为：平；确定；只有一个．
（3）解：∵∠MEF=30°
∴∠MEB=90°−30°=60°
∴∠AEM=180°−60°=120°1
∴∠AEP=∠MEP= ∠AEM=60°
2
【变式3-6】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角
平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与
∠RQM重合，所以∠PQM=∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
如图（1），四边形ABCD是一张正方形纸片，将正方形纸片ABCD沿BD对折，把正方形展平，再将
∠A和∠C分别沿BE和BF折叠，使点A落在BD上的点A′处，使点C落在BD上的点C′处，A′与C′重
合，则∠ABE=__________度；∠EBF=__________度．
【类比再探】
如图（2），将正方形纸片ABCD的∠A沿BE折叠，使点A落在点A′处，将∠C沿BF折叠，使点C
落在点C′处，点C′与点A′重合．猜想∠EBF的度数，并说明理由．
小官同学：猜想∠EBF=45°．
1
理由如下：∵∠A沿BE折叠，∴∠ABE=∠A′BE= ∠A′BA，
2
∵∠C沿BF折叠，
∴ ，
∵∠A′BA+∠C′BC=__________，
1
∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BE = (∠A′BA+∠C′BC)=__________．
2【拓展探究】
如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片ABCD展平，然后将∠A和∠C分别沿BG和BH再折
叠，使点A落在BE上的点A″处，点C落在BF上的点处．猜想∠ABG和∠CBH的数量关系，并说明
理由．
1
【答案】【知识初探】22.5，45；【类比再探】∠CBF=∠C′BF= ∠C′BC；90°；45°；【拓展
2
探究】∠ABG+∠CBH=22.5°
【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键．
【知识初探】根据题意得出BD是∠ABC的角平分线，BE和BF分别是∠ABD与∠CBD的角平分线，
据此可解；
1
【类比再探】由∠A沿BE折叠可得∠ABE=∠A′BE= ∠A′BA，同理由∠C沿BF折叠可得
2
1
∠CBF=∠C′BF= ∠C′BC，再根据∠A′BA+∠C′BC=90°，∠EBF=∠A′BE+∠C′BF即可
2
得到∠EBF=45°；
【拓展探究】由（2）知∠EBF=45°，从而得到∠ABE+∠CBF=45°，再用与（2）相同的方法可
得∠ABG+∠CBH=22.5°．
【详解】解：【知识初探】由题意可知：BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
同理可得：BE和BF分别是∠ABD与∠CBD的角平分线，
1 1
∴∠ABE=∠DBE= ∠ABD=22.5°，∠CBF=∠DBF= ∠CBD=22.5°，
2 2
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=45°，
故答案为：22.5，45；
【类比再探】证明：∵∠A沿BE折叠，
1
∴∠ABE=∠A′BE= ∠A′BA，
2
∵∠C沿BF折叠，
1
∴
∠CBF=∠C′BF= ∠C′BC
2
∵∠A′BA+∠C′BC=❑ 90°
❑
∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BF，1
= (∠A′BA+∠C′BC)
2
=45°，
1
故答案为：∠CBF=∠C′BF= ∠C′BC；90°；45°；
2
【拓展探究】∠ABG+∠CBH=22.5°，理由如下：
由（2）可知：∠EBF=45°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC−∠EBF=45°，
∵∠A和∠C分别沿BG和BH再折叠，
1 1
∴∠ABG= ∠ABE，∠CBH= ∠CBF
2 2
1 1 1
∴∠ABG+∠CBH= ∠ABE+ ∠CBF= (∠ABE+∠CBF)=22.5°．
2 2 2
【变式3-7】如图1，已知长方形的纸片ABCD．
操作1：如图2，把纸片沿BM折叠，使AB落在边BC上，则∠MBA′=______；
操作2：如图3，把纸片沿BM、BN折叠，使AB、BC的对应边BA′、BC′重合，求∠MBN的度数：
操作3：如图4，把纸片沿PM、PN折叠，使PB、PC的对应边PB′、PC′重合，求
∠BPM+∠NPC的度数．
【答案】（1）45°；（2）45°；（3）90°
【分析】（1）由折叠知∠ABM=∠A′BM，再根据∠ABC=90°即可求解；
（2）由折叠知∠ABM=∠A′BM，∠CBN=∠C′BN，再根据∠ABC=90°即可求解；
（3）由折叠知∠BPM=∠B′PM，∠CPN=∠C′PN，再根据∠BPC=180°即可求解．
【详解】解：（1）由折叠知∠ABM=∠A′BM，
由题意得：∠ABC=90°
∴∠MBA′=45°；
故答案为：45°；
（2）由折叠可知： ∠ABM=∠MBA′,∠CBN=∠C′BN，
∵∠ABM+∠MBA′+∠CBN+∠C′BN=90°，∴2∠MBA′+2∠C′BN=90°，
∴2(∠MBA′+∠C′BN)=90°，
∴∠MBA′+∠C′BN=45°，
∵∠MBN=∠MBA′+∠C′BN，
∴∠MBN=45°；
（3）由折叠知：∠BPM=∠B′PM，∠CPN=∠C′PN，
∵∠BPC=2∠BPM+2∠NPC=180°
∴2(∠BPM+∠NPC)=180°
∴∠BPM+∠NPC=90°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关
键．
【题型4：钟表问题】
【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其
中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段
AD交于点B，C，O为表盘圆心．
(1)若BC为3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中点，则手表全长AD= cm．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8:30时表盘指针状态
如图③所示，分针ON与OC重合．
①∠EON= °；
②作射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数．
(3)如图④，自8:30之后，OM始终是∠EON的平分线（分针还是ON），在一小时内，经过________分钟，∠EOM的度数是25°．
【答案】(1)12
(2)① 75；②125°或85°
50 250
(3)t的值为 或
11 11
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用：
（1）根据线段的中点，求出AC的长，比例关系，求出CD的长，再根据AD=AC+CD，计算即可；
（2）①求出分针每分钟走360°÷60=6°，时针每分钟走30°÷60=0.5°，根据角的和差关系进行求
解即可；
②分OF在∠EON的内部和OF在∠EON的外部，两种情况进行求解即可；
（3）设经过t分钟，∠EOM的度数是25°，根据题意，列出方程进行求解即可．
1
【详解】（1）解：因为B是AC的中点．所以AB=BC= AC=3cm．
2
所以AC=6cm．
因为CD:AB=2:1，
所以CD=6cm．
所以AD=AC+CD=12cm．
（2）①分针每分钟走360°÷60=6°，时针每分钟走30°÷60=0.5°．
30分钟时针走过0.5°×30=15°，
即时针从8点到8:30走过15°，所以∠EON=15°+2×30°=75°．
②当OF在∠EON的内部时，∠NOF=∠EON−∠EOF=75°−20°=55°，
所以∠BOF=180°−∠NOF= 180°−55°=125°．
当OF在∠EON的外部时，∠BOF=180°−(∠EON+∠EOF)=180°−(75°+20°)=85°．
综上，∠BOF的度数为125°或85°．
（3）解：设经过t分钟，∠EOM的度数是25°．
因为时针与分针每分钟走的度数差为6°−0.5°=5.5°，
所以∠EON=|75°−5.5t)．
|75°−5.5t)
因为OM平分∠EON，所以∠EOM= =25°．
2
75°−5.5t 50
当 =25°时，t= ；
2 11
5.5t−75° 250
当 =25°时，t= ．
2 1150 250
综上，t的值为 或 ．
11 11
【变式4-1】知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，
两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表
示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，OA与OB的夹角∠AOB=120°．
（1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（2）3:40时，时针与分针所成的角度 ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
60 300
【答案】问题一：5h或25h；问题二：（1）6°，0.5°；（2）130°；（3） 或 分钟
11 11
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角．
问题一：设xh后两车相距120km，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距120km，相遇后两车相距
120km；
问题二：（1）根据钟面角即可解答；
（2）分别求出3:40时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答；
（3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成60°角，进行分类讨论：
①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可．
【详解】解：问题一：设xh后两车相距120km，
若相遇前，则36x−24x=180−120，
解得x=5，
若相遇后，则36x−24x=180+120，
解得x=25．
∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5h或25h后两车相距120km；
故答案为：5h或25h；
问题二：（1）分针每分钟转过的角度为360°÷60=6°，时针每分钟转过的角度为360°÷(12×60)=0.5°，
故答案为：6°，0.5°；
（2）3:40时，分针转动角度为6°×40=240°，
∵钟面一共有12个大格，
∴每转动一个大格，时针转动角度为360°÷12=30°．
∴3:40时，时针转动角度为30°×3+0.5°×40=110°，
∴故3:40时，时针与分针所成的角度240°−110°=130°；
故答案为：130°；
（3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成60°角．
①当分针在时针上方时，
( x )
由题意得： 3+ ×30−6x=60，
60
60
解得：x= ；
11
②当分针在时针下方时，
( x )
由题意得：6x− 3+ ×30=60，
60
300
解得：x= ．
11
60 300
答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过 或 分钟，时针与分针成60° 角．
11 11
【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，
爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型
（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．
(1)已知表盘直径BC为3cm，CD:AB=2:1，若B是AC中点，则手表全长AD=______cm．
(2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，琪琪一看现在
正好是8:30，如图③所示．①8:30时分针和时针的夹角为_______度；
②作射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数．
(3)如图④所示．自8:30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，经
过_______分钟后，∠EOM的度数是25°（直接写出结果）
【答案】(1)12；
(2)75；∠BOF=85°或∠BOF=125°；
50 250
(3) 或 ．
11 11
【分析】（1）B是AC中点，求得AB=3cm，AC=6cm，再根据CD:AB=2:1，求得CD=6cm，即
可求出AD=AC+CD=12cm；
（2）①表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为0.5°，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟
后时针转动0.5°×30=15°，则8:30时，分钟在6时处，时针在8时过15°的地方，即
∠EON=15°+2×30°=75°；
②分情况讨论，当射线OF在∠EON内部和外部两种情况讨论，即可求得解；
（3）根据∠EON=|75°−5.5t)，进行分类解答即可．
【详解】（1）解：∵B是AC中点，
1
∴AB=BC= AC=3cm；
2
∴AC=6cm；
∵CD:AB=2:1；
∴CD:3=2:1；
∴CD=6cm；
∴AD=AC+CD=12cm，故答案为：12；
（2）解：①分针的速度为360°÷60=6°（每分）；
时针的速度为30°÷60=0.5°（每分）；
30分钟时针走的路程为0.5°×30=15°，即时针从8点到8:30分走的路程为15°，
∴∠EON=15°+2×30°=75°，
故答案为：75；
②当OF在∠EON内部时，
∠NOF=∠EON−∠EOF=75°−20°=55°
∴∠BOF=180°−∠NOF=125°；
当OF在∠EON外部时，
∠BOF=180°−(∠EON+∠EOF)=180°−(75°+20°)=85°
（3）解：设经过时间为t分钟，时针与分针得速度差为6°−0.5°=5.5°，
∴∠EON=|75°−5.5t)
∵OM平分∠EON，
|75°−5.5t)
∴∠EOM= =25°，
2
75°−5.5t
① =25°，
2
50
解得t= （分）
11
5.5t−75°
② =25°，
2
250
解得t= （分），
11
50 250
故答案为： 或 ．
11 11
【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想．
【变式4-3】【问题初探】
（1）①如图1，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角三角板的直角
顶点放在点O处，即∠DOE=90°．
②如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度数；【深度探究】
1
（2）将直角三角板绕点O顺时针转动的过程中，恰好∠COD= ∠AOE，当OD与OB重合时停止
3
运动，求此时∠BOD的度数．
【知识迁移】
（3）若线段OG与OH分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠GOH=60°，在时针与分针转动
过程中，问经过几分钟后，∠GOH的度数第一次等于115°．（直接写出答案）
350
【答案】（1）20°（2）∠BOD的度数为15°或52.5°（3）经过10或 分钟后，∠GOH的度数第
11
一次等于115°
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，以及钟面角．
（1）由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；
（2）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的
和差可求解．
（3）分分针OH在时针OG的前面和分针OH在时针OG的后面，两种情况进行讨论求解即可．
正确的识图，理清角度之间的和差关系，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°−40°=140°，
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠COE= ∠AOC=70°，
2
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=90°−70°=20°；
（2）①当∠COD在∠BOC的内部时，∵∠COD=∠BOC−∠BOD ∠BOC=40°
，而 ，
∴∠COD=40°−∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°−∠BOD，
1
又∵ ∠COD= ∠AOE，
3
1
∴ 40°−∠BOD= (90°−∠BOD)，
3
∴∠BOD=15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD=∠BOD−∠BOC ∠BOC=40°
，而 ，
∴∠COD=∠BOD−40°，
∵∠AOE+∠EOD−∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°−∠BOD，
1
又∵∠COD= ∠AOE，
3
1
∴ ∠BOD−40°= (90°−∠BOD)，
3
∴∠BOD=52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
360°
（3）钟面分针每分钟转过 =6°，时针每分钟转过30°÷60=0.5°，
60
当分针OH在时针OG的前面时，(115°−60°)÷(6°−0.5°)=10分钟；
350
当分针OH在时针OG的后面时，(115°+60°)÷(6°−0.5°)= 分钟；
11
答：经过10或分钟后，的度数第一次等于115°．
