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淘宝：学思创想
专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C 三点共线，D、E 分别为AB、BC 中点，结论：
.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C 三点共线，D、E 分别为AB、BC 中点，结论：
.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，
是
的中点，
是
的中点，若
，
，则下列说
法中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
是
的中点，
是
的中点，分别求得
，
，
，再根据线段的和与差，计算即可判断．
【详解】解：∵
是
的中点，
是
的中点，且
，
，
∴
，
，
，
∴
，故选项A 不符合题意；
，故选项B 符合题意；
，故选项C 不符合题意；
，故选项D 不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同
情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题．
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例2．（2022 秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段
，长度为2 的线段
在线段
上运动，
分别取线段
、
的中点
、
，则
．
【答案】7
【分析】先求解
，再证明
，
，再利用线段
的和差可得答案．
【详解】解：∵
，
，∴
，
∵线段
、
的中点为
、
，∴
，
，
∴
．故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键．
例3．（2022 秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点
是
的中点，点
是
的中点，现给出下列等
式：①
，②
，③
，④
．其中正确的等式序号是
．
【答案】①②③
【分析】根据线段中点的性质，可得
，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①点
是
的中点，
，
，故①正确；
②点
是
的中点，
，又
点
是
的中点，
．故②正确；
③点
是
的中点，
．
，故③正确；
④
，故④错误．故正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题
的关键．
例4．（2022 秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的
中点，
是
的中点，依此类推……，线段的
长为 ．
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【答案】
【分析】先分别求出
、
、
的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：因为线段
，
是
的中点，所以
；
因为
是
的中点，所以
；
因为
是
的中点，所以
；
，
所以
，所以
，答案为：
．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出
规律是解此题的关键．
例5．（2022 秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l 上有三点A、B、C，其中
，
，M、N
分别是
、
的中点则
的长是
．
【答案】或
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C 三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确
画出的图形解题．
【详解】解：第一种情况：B 在线段
上，如图，
则
；
第二种情况：B 在身线
上，在线段
外，如图，
则
．
答：线段MN 的长是
或
．故答案为：1 或7
【点睛】本题考查线段的和差，由于B 的位置有两种情况，所以本题
的值就有两种情况，做这类题时
学生一定要思维细密．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C 在线段
上，点M 是
的中点，点N 是
的中
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点．
(1)若
，求
的长；(2)若
，
，求
的长；(3)若
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据线段中点的定义可得
，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得
，
，即可求出结果；
（2）根据线段中点的定义可得
，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵点M 是
的中点，点N 是
的中点，
，
，
，
，
又
，
，
．
（2）解：∵点M 是
的中点，点N 是
的中点，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：∵点M 是
的中点，点N 是
的中点，
，
，
，
，
又
，
，
．
【点睛】本题考查了线段中点的定义和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键．
例7．（2022 秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点
在线段
上，
，
，点
、
分别是
、
的中点．
(1)求线段
的长；(2)若点
在线段
的延长线上，且满足
，其它条件不变，你能猜想
的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
，详见解析
【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算；
（2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算．
【详解】（1）解：点
在线段
上，
，
，点
、
分别是
、
的中点，
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，
，
；
（2）解：如图所示，
点
在线段
的延长线上，且满足
，
又
点
、
分别是
、
的中点，
，
，
，
的长度
．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质．
例8．（2022 春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点
在线段
上，且
时，我们称
为点
在线段
上的点值，记作
．如点
是
的中点时，则
，记作
；反过来，当
时，则有
．因此，我们可以这样理解：
与
具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点
在线段
上，若
，则
__________；若
，则
____________；
(2)如图2，已知线段
，点
、
分别从点
和点
同时出发，相向而行，运动速度均为
，
当点
到达点
时，点
、
同时停止运动，设运动时间为
，请用含有的式子表示
和
，并判
断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段
，点
、
分别从点
和点
同时出发，相向而行，若点
、
的运动
速度分别为
和
，点
到达点
后立即以原速返回，点
到达点
时，点
、
同时停止运动，
设运动时间为
．则当为何值时，等式
成立．
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【答案】(1)
，
(2)
，
，
(3)存在
和
使等式
成立
【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；
（2）根据题意，得出
，
，相加即可求解；
（3）分在点
到达点
之前，在点
到达点
返回之后，两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）根据定义可得：∵
，则
；
∵
，∴
,则
；故答案为：．
，
；
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）①在点
到达点
之前 ∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
②在点
到达点
返回之后 ∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴存在
和
使等式
成立．
【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC＝10 厘米，BC＝6 厘米，点
M，N 分别是AC，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC
＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN 的长度．（3）动点P、Q 分别从A、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速
度沿AB 向右运动，终点为B，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一
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个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t（s）．当C、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点
的线段的中点时，直接写出时间t．
【答案】（1）MN=8 厘米；（2）MN=
a+
b；（3）所求时间t 为4 或
或
．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①
当0＜t≤5 时，C 是线段PQ 的中点；②当5＜t≤
时，P 为线段CQ 的中点；③当
＜t≤6 时，Q 为线段
PC 的中点；④当6＜t≤8 时，C 为线段PQ 的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10 厘米，BC=6 厘米，点M，N 分别是AC，BC 的中点，
∴MC=
AC=5 厘米，CN=
BC=3 厘米，∴MN=MC+CN=8 厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N 分别是AC，BC 的中点，
∴MC=
AC=
a，CN=
BC=
b，∴MN=MC+CN=
a+
b；
（3）①当点P 在线段AC 上，即0＜t≤5 时，
C 是线段PQ 的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P 在线段BC 上，即5＜t≤
时，P 为线段CQ 的中点，2t-10=16-3t，解得t=
；
③当点Q 在线段BC 上，即
＜t≤6 时，Q 为线段PC 的中点，6-t=3t-16，解得t=
；
④当点Q 在线段AC 上，即6＜t≤8 时，C 为线段PQ 的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t 为4 或
或
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t 的方程是解题
关键，要分类讨论，以防遗漏．
模型2. 双角平分线模型
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图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：
.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：
.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：
.
例3．（2022 秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，
是
内部的一条射线，
、
分别是
、
的角平分线．若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
、
分别是
、
的角平分线，可得
，
，根据
，可得
，再结合
，可得
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，问题随之得解．
【详解】∵
、
分别是
、
的角平分线，
∴
，
，
∵
，∴
，即
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，故选：A．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的
关键．
例4．（2023 秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线
在
内部，
平分
平分
平分
，以下四个结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据
平分
，
平分
，
平分
，得出
，
，
，求出
，即可得出结论；②根据
角度之间的关系得出
，得出
，即可得
出结论；③无法证明
；④根据
，得出
，
，即可得出结论．
【详解】解：①∵
平分
，
平分
，
平分
，
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∴
，
，
，
，
，
即
，故①正确；
②∵
，
，
∴
，故②正确；③
与
不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，
，∴
，
∵
，∴
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出
是解题的关
键．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，…，
分别是
和
的平分线，则
的度数是 ．
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【答案】
【分析】由角平分线性质推理得
，
，
，据此规律可解答．
【详解】解：
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，…，
由此规律得：
．故答案为：
．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在∠BOD
的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A，B 两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD 的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD 的度数为 （用含α 的代数式表示）．
【答案】 110°或130°
或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当
∠AOE=
∠AOB=20°，②当∠BOE′=
∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=
∠AOB，②当
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∠BOE′=
∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，
∴①当∠AOE=
∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′=
∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD 的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，
∴①当∠AOE=
∠AOB=30°-
α°，∴∠BOE=90°-α-（30-
α）°=60°-
α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-
α°，
②当∠BOE′=
∠AOB=30°-
α°，∴∠DOE′=90°+30°-
α°=120°-
α°，
综上所述，∠EOD 的度数为150°-
α°或120°-
α°，故答案为：150°-
α°或120°-
α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数；
(2)若
，
是平面内两个角，
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数．（用含
、
的代数式表示）
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【答案】(1)
(2)所以当射线
在
的内部时，
；当射线
在
的外部
时，
．
【分析】（1）根据角平分线定义求出
和
度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线
的位置，所以需要分类讨论：若射线
在
的内部时，根据角平分线定义得出
，
，求出
；若射线
在
的外部时，根据角平分线定义得
出
，
，求出
，代入求出即可．
【详解】（1）∵
，
平分
，∴
∵
分别平分
，
．∴
∴
．
（2）若射线
在
的内部，如图2
∵
，
，
、
分别平分
、
．
∴
∴
．
所以当射线
在
的内部时，
．
若射线
在
外部时，如图3
淘宝：学思创想
∵
，
，
、
分别平分
、
．
∴
∴
．
所以当射线
在
的外部时，
．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例8．（2022 秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在
的内部画射线
，射线
把
分成两个角，分别为
和
，若这两个角中有一个角是另外一个角的2 倍，则称射线
为
的“3 等分线”．
(1)若
，射线
为
的“3 等分线”，则
的度数为__________．
(2)如图2，已知
，过点O 在
外部作射线
．若
三条射线中，一条射线恰好
是以另外两条射线为角的“3 等分线”，求
的度数（
）．
【答案】(1)
或
(2)
或
或
或
【分析】（1）根据“3 等分线”的定义分
和
两种情况求解即可；
（2）分
为
的“3 等分线”和
为
的“3 等分线”两种情况求解即可．
【详解】（1）根据“3 等分线”的定义可得，
或
∵
∴
或
故答案为：
或
（2）①当OA 在
的内部时，如图，
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根据“3 等分线”的定义可得，
或
②当OB 在
的内部时，如图，
根据“3 等分线”的定义可得，
或
此时，
或
综上，
的度数为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3 等分线”的定义是解答本题的关键．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点
是直线
上一点，∠
是直角，
平分∠
．
（1）如图1，若∠
=40°，求∠
的度数；
（2）如图1，若∠
=
，直接写出∠
的度数（用含
的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1 中的∠
按顺时针方向旋转至图2 所示的位置，探究∠
和∠
的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2）
；（3）
，理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD 的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE 的度数，再根据
即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α 即可；
（3）把∠APC 的度数作为已知量，求得∠BPC 的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE 的度数，
淘宝：学思创想
再根据
即可解决．
【详解】（1）∵
，
，
∴
，
，
又∵
平分
，∴
，
∴
．
（2）∵
，
，
∴
，
，
又∵
平分
，∴
，
∴
．
（3）结论：
．理由如下：设
，则
，
∵
，∴
，
又∵
平分
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
课后专项训练
1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取
，再截取
，则
淘宝：学思创想
的中点
与
的中点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分两种情况B，
在点A 同侧时，B，
在点A 两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，
在点A 同侧时，如图所示：
是
的中点，
是
的中点，
，
，
．
②B，
在点A 两侧时，如图，
是
的中点，
是
的中点，
，
，
．
综上：
与
之间距离为
或
，故C 正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
2．（2023 秋·海南·七年级统考期末）已知线段
，点
是直线
上一点，
，若
是
的中点，
是
的中点，则线段
的长度是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】分点
在点
右侧与点
在点
左侧两种情况画出图形求解．
【详解】解：当点
在点
右侧时，如图所示．
，
，
．
是
中点，
是
的中点，
，
，
；
当点
在点
左侧时，如图
所示．
，
，
．
是
中点，
是
的中点，
，
，
．
淘宝：学思创想
综上所述：线段MN 的长度为5 cm．故选：B．
【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点
在点
右侧与点
在点
左侧两种情况考虑是
解题的关键．
3．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D 是线段
上两点，M、N 分别是线段
的中
点，下列结论：①若
，则
；②若
，则
；③
；
④
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N 分别是线段
的中点，
∴
，
，
∵
， ∴
， ∴
， ∴
，
∴
，即
，故①符合题意；
∵
， ∴
， ∴
， ∴
，故②符合题意；
∵
，
∴
，故③符合题意；
∵
，
， ∴
，
∵
，
， ∴
淘宝：学思创想
，故④不符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是
解本题的关键．
4．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
；第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；第三
次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，
分别为
的中点，求出
的长度，再由
的长度求出
的长度，找到
的规律即可求出
的值．
【详解】解：∵
，
分别为
的中点，
∴
，
∵
分别为
的中点，
∴
，
∵
分别为
的中点，
∴
，……由此可得：
，
淘宝：学思创想
∴
，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
5．（2023 秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O 是原点，点A 表示的数是4，线段
（点B 在
点C 的左侧）在直线
上运动，且
．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B 与点O 重合时，
；
乙：当点C 与点A 重合时，若P 是线段
延长线上的点，则
；
丙：在线段
运动过程中，若M，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变
A．甲、乙
B．只有乙
C．只有丙
D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；
乙：画出图形，设点P 表示的数为x，则
，可判断乙的说法；
丙：设点B 表示的数是m，则点C 表示的数是
，利用中点公式表示出M、N 表示的数即可求解．
【详解】甲：如图1，当点B 与点O 重合时，
，故甲的说法错误；
乙：如图2，当点C 与点A 重合时，
设点P 表示的数为x，则
，
∴
，故乙的说法正确；
丙：点B 表示的数是m，则点C 表示的数是
，
淘宝：学思创想
∵O 是原点，点A 表示的数是4，M，N 为线段
的中点，
∴点M 表示的数是
，点N 表示的数是
，
∴
，故丙的说法正确．故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的
关键．
6．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知
，以点
为顶点作直角
，以点
为端点作一条射线
．通过折叠的方法，使
与
重合，点
落在点
处，
所在的直线为折痕，
若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出
即可解决问题．
【详解】解：
平分
，
，
，
，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
7．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在
的内部作射线
，射线
把
分成两个角，
分别为
和
，若
或
，则称射线
为
的三等分线．
若
，射线
为
的三等分线，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】根据题意得出
或
，再根据角之间的数量关系，得出
，综合
淘宝：学思创想
即可得出答案．
【详解】解：∵
，射线
为
的三等分线．
∴
或
，
∴
，∴
的度数为
或
．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
8．（2023 秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，
是
内的一条射线，
平分
，
平分
，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
平分
，
平分
，可得
，
，从而得到
，即可求解．
【详解】解：∵
平分
，∴
，∵
平分
，∴
，
∴
，
∵
，∴
．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到
是解题的关键．
9．（2023 吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分
∠AOC，OF 平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角
B．图中只有∠DOE 是直角
C．图中∠AOC 的补角有3 个
D．图中∠AOE 的余角有2 个
【答案】C
淘宝：学思创想
【详解】解：∵射线OC、OD 把平角∠AOB 三等分，∴
，
∵OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD，∴
，
∴
，故A 选项不符合题意；
，故B 选项不符合题意；
∠AOC 与∠AOD、∠FOE、∠BOC 都是互为补角，故C 选项符合题意；
∠AOE 与∠AOC、∠COD、∠BOD 都是互为余角，故D 选项不符合题意；故选：C
【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解
题的关键．
10．（2023 秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
、
），将三角板
绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2 所示，且
，有下列四
个结论：
①在图1 的情况下，在
内作
，则
平分
；
②在旋转过程中，若
平分
，
平分
，
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成
的次数为3 次；
④
的角度恒为
．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得
，所以
平分
，①正确；
②当
时，设
，∵
平分
，∴
，
∴
，
，
∴
，
当
时，设
，∵
平分
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，
∴
，∴
，故②正确；
③
时
，
时
，
时
故③正确；
④当
时
，当
时
，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
11．（2022 秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点
、
、
表示的数分别是
，
，1，且点
为线段
的中点，点
为原点，点
在数轴上，点
为线段
的中点．
、
为数轴上两个动点，
点
从点
向左运动，速度为每秒1 个单位长度，点
从点
向左运动，速度为每秒3 个单位长度，
、
同时运动，运动时间为
．
有下列结论：①若点
表示的数是3，则
；②若
，则
；③当
时，
；④当
时，点
是线段
的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点
、
可确定点
、
表示的数，进而得到
的长度；②由
，分两种情况讨论：点
在点
的右侧时以及点
在点
的左侧时，可得到点
表示的数，由点
为线段
的中点可得点
表示的数，进而得到
的长度；③当
时，可得到
、
的长，从而确
定点
、
，即可得到
的长；④当
时，可得到
、
的长，从而确定点
、
，进而判断．
【详解】①若点
表示的数是3，∵点
为线段
的中点，
表示的数是1，
∴
，
，即
表示的数是2，∴
，故①正确；
②若
，当点
在点
的右侧时，则点
表示的数是4，
∵点
为线段
的中点，∴
，即
表示的数是
，∴
，
当点
在点
的左侧时，则点
表示的数是
，
∵点
为线段
的中点，∴
，即
表示的数是
，
淘宝：学思创想
∴
，综上，
，故②不正确；
③当
时，
，
，
∵
、
表示的数分别是
，1，∴
、
表示的数分别是
，
，∴
，故③正确；
④当
时，
，
，∴
、
表示的数分别是
，
，
∵点
在
、
的左侧，不可能是线段
的中点故④不正确；故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
12．（2023 秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知
、
是
内部的两条射线，
平分
，
平分
，①若
，
，则
的度数为 度；②若
，
，则
的度数为 度(用含x 的代数式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分线的定义可得
，
，易得
，利用
，可得结果；
②由角的加减可得
，可得
，再利用
可
得结果
【详解】解：①
，
，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，故答案为120；
②
，
，
，
，
，故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键．
淘宝：学思创想
13．（2023 春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C 都在直线l 上，点C 是线段
的三等分点，
D、E 分别为线段
中点，直线l 上所有线段的长度之和为91，则
．
【答案】
或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论①
；②
．设
，根据直线l 上所有线段的
长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出
的长.
【详解】①当
时，如图1
设
，则
，
，
，
∵直线l 上所有线段的长度之和为91
②当
时，如图2,
故答案为：
或13
淘宝：学思创想
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l 上的线段的条数，及要进行分类讨论.
14．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在
右）的长为a，长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，M 为
的中点，N 为
的中点，线段
的长为b，则线段
的长为 （用a，b 的式子表示）．
【答案】
/
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段
的长度即可．
【详解】解：∵M 为
的中点，N 为
的中点，
∴
，
．
∵线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在右）的长为a，
长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，
∴分以下5 种情况说明：
①当
在
左侧时，如图1，
即
，
，
，
；
②当点D 与点A 重合时，如图2，
即
，
；
③当
在
内部时，如图3，
淘宝：学思创想
即
，
；
④当点C 在点B 右侧时，同理可得：
；
⑤当
在
右侧时，同理可得：
；
综上所述：线段
的长为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
15．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D 在线段
上，P，Q 分别是
的中点，
若
，则
．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出
，
，又因为
，利用线段和差即可求得
，
，代入
即可求解．
【详解】解∶∵，P，Q 分别是
，
的中点，∴
，
，
∵
，∴
，
，∴
，故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
淘宝：学思创想
16．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a 和b 的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算
，
的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算
的长即可可判断．
【详解】解：①∵
，
∵
，∴
，∴
；故①正确；
②如图1，当点B 与点O 重合时，
；故②不正确；
③如图2，当点C 与点A 重合时，若点P 是线段
延长线上的点，
∴
，∴
；故③正确；
④∵M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，
∴
分四种情况：1）当C 在O 的左侧时，如图3，
淘宝：学思创想
；
2）当B，C 在O 的两侧时，如图4，
；
3）当B，C 在线段
上时，如图5，
；
4）当B 和C 都在A 的右边时，如图6，
；
∴在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，线段
的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
17．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
淘宝：学思创想
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a 和b 的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算
，
的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算
的长即可可判断．
【详解】解：①∵
，
∵
，∴
，∴
；故①正确；
②如图1，当点B 与点O 重合时，
；故②不正确；
③如图2，当点C 与点A 重合时，若点P 是线段
延长线上的点，
∴
，∴
；故③正确；
④∵M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，∴
分四种情况：1）当C 在O 的左侧时，如图3，
；
2）当B，C 在O 的两侧时，如图4，
；
3）当B，C 在线段
上时，如图5，
淘宝：学思创想
；
4）当B 和C 都在A 的右边时，如图6，
；
∴在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，线段
的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
18．（2023 秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线
上，线段
，动点
从
出发，以每秒
2 个单位长度的速度在直线
上运动，
为
的中点，
为
的中点，设点
的运动时间为秒．
(1)若点
在线段
上运动，当
时，
；
(2)若点
在射线
上运动，当
时，求点
的运动时间的值；
(3)当点
在线段
的反向延长线上运动时，线段
、
、
有怎样的数量关系？请写出你的结论，
并说明你的理由．
【答案】(1)3；(2)
或20；(3)
，理由见解析．
【分析】（1）由中点的含义先求解
，证明
，再求解
，从
而可得答案；（2）①当点P 在线段
上，
， ②当点P 在线段
的延长线上，
，
再建立方程求解即可；（3）先证明
，
，可得
，从而可得结论．
淘宝：学思创想
【详解】（1）解：∵
为
的中点，
为
的中点，
，
∴
，
，∴
，
∵线段
，∴
，∴
．
（2）①当点P 在线段
上，
，如图，
∵
，
为
的中点，∴
，
解得
②当点P 在线段
的延长线上，
，如图，
同理：
，
解得
综上所述，当
时，点P 的运动时间t 的值为
或20．
（3）当点P 在线段
的反向延长线上时，
，理由如下：
如图，
∵
，
为
的中点，
为
的中点，
∴
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类
讨论是解本题的关键．
19．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C 在线段AB 上，
时，我们称n 为点C 在线段AB 上的“点值”，记作
．
例如，点C 是AB 的中点时，即
，则
；
淘宝：学思创想
反之，当
时，则有
．
因此，我们可以这样理解：“
”与“
”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C 在线段AB 上．若
，
，则
________；若
，则
________．
(2)【拓展与延伸】已知线段
，点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，向点B 运动．同时，点Q 以
3cm/s 的速度从点B 出发，先向点A 方向运动，到达点A 后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一
点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q 从点B 向点A 方向运动时，
的值是个定值，求m 的值；
②t 为何值时，
．
【答案】(1)
，
(2)①
；②1 或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为，再根据
的值是个定值即可求出
的值；②分点
从点
向点
方向运动时和点
从点
向点
方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，∴
，
∴
故答案为：
，
；
（2）①设运动时间为，则
，
，根据“点值”的定义得：
，
，
淘宝：学思创想
的值是个定值，
的值是个定值，
；
②当点
从点
向点
方向运动时，
，
，
；
当点
从点
向点
方向运动时，
，
，
，
的值为1 或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
20．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点
在线段
上，
，
分别是
，
的中点．若
，
，求
的长．
(1)根据题意，小明求得
______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现
的长度具有一个特殊性质，
于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设
，
是线段
上任意一点（不与点
，
重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解
答．
①如图1，
，
分别是
，
的中点，则
______．
②如图2，
，
分别是
，
的三等分点，即
，
，求
的长．
③若
，
分别是
，
的
等分点，即
，
，则
______．
【答案】(1)3(2)①
；②
；③
【分析】（1）由
，
，得
，根据
，
分别是
，
的中点，即得
，
，故
；（2）①由
，
分别是
，
的中点，知
，
，即得
，故
；
淘宝：学思创想
②由
，
，知
，
，即得
，故
；③由
，
，知
，
，即得
，故
．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
；故答案为：；
（2）解：①
，
分别是
，
的中点，
，
，
，
，
；故答案为：
；
②
，
，
，
，
，
，
；
③
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
21．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线
在
内部，
平分
．
淘宝：学思创想
(1)如图1，求证：
；(2)如图2，作
平分
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
时，作射线
的反向延长线
，
在
的下方，且
，反向延长射线
得到射线
，射线
在
内部，
是
的平分线，若
，
，求
的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设
，
，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得
，
，计算得出
，
等，再求得
，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵
平分
，
∴
，∴
；
（2）证明：∵
平分
，∴
，
∴
=
；
（3）解：设
，
，
∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
∴
，
，即
，
，
，
∵
，
平分
，∴
，
，
∵
，∴
，
∵
是
的平分线，∴
，
∵反向延长射线
得到射线
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
， ∴
．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，
淘宝：学思创想
利用方程思想解决问题是解本题的关键．
22．（2023 秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知
内部有三条射线，
平分
，
平分
，若
，求
的度数；
（2）若将（1）中的条件“
平分
，
平分
”改为“
，
”，且
，求
的度数；
（3）如图2，若
、
在
的外部时，
平分
，
平分
，当
，
时，猜想：
与
的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）没有关系，
，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求
，根据
即可解答；
（2）由题意可得
进而求出
；
（3）根据角平分线性质可得
，
，进而求出
．
【详解】解：（1）∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
；
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（2）∵
，
，
，
∴
，
∴
；
（3）与
的大小无关．理由：∵
，
，∴
，
∵
是
的平分线，
是
的平分线，
∴
，
，
∴
，即
．
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
23．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知
，
平分
，
平分
．
(1)如图1，当
，
重合时，求
的度数；(2)如图2，当
在
内部时，若
，
求
的度数；(3)当
和
的位置如图3 时，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求解
，
，可得答案；
（2）先求解
，
，再证明
，
，结合角的和差运算可得答案；（3）设
，可得
，
证明
，
，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
重合，
平分
，
平分
．
∴
，
，∴
；
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（2）∵
在
内部，
，
，
∴
，
，∵
平分
，
平分
．
∴
，
，∴
．
（3）设
，
，∴
，
∵
平分
，
平分
．，
∴
，
，
∴
．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段
，
，线段
在线段
上运动，E，F 分别是
，
的中点．
(1)若
，则
；(2)当线段
在线段
上运动时，试判断
的长度是否发生
变化？如果不变，请 求出
的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知
在
内部转动，
，
分
别平分
和
，若
度，
度，求
．
【答案】(1)
(2)不变，
．(3)
．
【分析】（1）根据线段中点分别求解
，
，从而可得
的长度；
（2）根据
，再根据中点进行推导即可；
（3）根据
再结合角平分线进行计算．
【详解】（1）解：∵
，
，
，∴
，
∵E，F 分别是
，
的中点，∴
，
．
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∴
．
（2）EF 的长度不变．理由如下：
E，F 分别是
，
的中点，∴
，
．
∴
（3）∵
，
分别平分
和
∴
，
．
∴
∵
∴
．
【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中
点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB、AM 和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线
段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若
，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则
；
（3）（解决问题）
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如图③，已知
，动点P 从点A 出发，以
速度沿AB 向点B 匀速移动，点
从点B 出发，以
的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P、
同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为 t，请求出 为何值时，A、P、
三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8 或12 或16；（3）当点P 为AQ 的“奇妙点”时，
或4 或
；当点Q 为
AP 的“奇妙点”时，
或6 或
．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：
，即N 为CD 的中点；情况2：
，即N 为靠近C 点的三等分点；情况3：
，即N 为靠近D 点的三等分点，根据以上
三种情况，分别求出CN 的长度．（3）由题意可知，A 不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况
1：当P、Q 未相遇之前，P 是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3 种情况，根据每种情
况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q 相遇之后，Q 是“奇妙点”时，同样
根据第（2）题的思路，又分成3 种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；
（2）
是线段CD 的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．
当
，即N 为CD 的中点时，有CN=12cm．
当
，即N 为靠近C 点的三等分点时，有CN=8cm．
当
，即N 为靠近D 点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8 或12 或16．
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（3）解：由题意可知，A 点不可能是“奇妙点”，故P 或Q 点是“奇妙点”．
t 秒后，
，
．
当P 点是“奇妙点”时，
．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当
时，有
解得
当
时，有
解得
当
时，有
解得
当Q 点是“奇妙点”时，
．
当
时，有
解得
当
时，有
解得
当
时，有
解得
综上所述：当点P 为AQ 的“奇妙点”时，
或4 或
；
当点Q 为AP 的“奇妙点”时，
或6 或
．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，
从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举
完全，是解决该题的关键．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON 分别平分∠AOC、
∠BOD．
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（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD 的边OA、OD 在同
一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过
程时间记为t 秒．若∠MON＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．
【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）
或
【分析】（1）根据角平分线定义计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．
（3）根据角的旋转变化列式计算即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，
∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°
60°
﹣
＝30°；
（2）∵OM、ON 分别平分∠AOC，
∴∠MOC＝
∠AOC，
∠BOD．
∴∠MON＝
（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝
．
（3）当∠AOB，∠COD 的边OA、OD 在同一直线上时，∠AOD 为平角，
∴∠BOC＝180°
90°
60°
﹣
﹣
＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．
30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．
当0≤t≤10 时，
，由(2)可知
．
5
∴（30
3
﹣t）＝75 时t＝5．∠AOD＝180
3
﹣t＝165°．
当10＜t≤30 时，∠BOC＝3（t
10
﹣
）°，
，
75
∴
＝5×3（t
10
﹣
），t＝15，此时∠AOD＝180
3
﹣t＝135°．
【点睛】本题考查了角平分线相关知识及角的计算，掌握角的和差关系，注意分类讨论是解题的关键．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在
的内部，图中共有3 个角：
、
、
，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是
的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若
，且射线PQ 是
的“定分线”，则
________(用含a 的代数式表
示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若
=48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与
PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时
停止．当PQ 是
的“定分线”时，求t 的值．
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【答案】（1）是；（2）
；（3）t=2.4，6，4
【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3 种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3 种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当OC 是角∠AOB 的平分线时，
AOB=2 AOC
∵∠
∠
，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；
（2）∵∠MPN=
分三种情况
①∵射线PQ 是
的“定分线”，
∴
=2
=
，∴
=
，
②∵射线PQ 是
的“定分线”，∴
=2
，
QPN+ QPM=
∵∠
∠
，∴3
=
，∴
=
，
③∵射线PQ 是
的“定分线”，∴2
=
，
QPN+ QPM=
∵∠
∠
，∴3 QPN =
∠
，∴∠QPN =
，∴∠QPM =
，
MPQ=
∴∠
或
或
；故答案为：
或
或
；
（3）依题意有三种情况：
①NPQ=
∠
NPM
∠
，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, 8t=
∴
（4t+48），解得t=2.4(秒)；
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②NPQ=
∠
NPM
∠
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, 8t=
∴
（4t+48），解得t=4(秒)；
③NPQ=
∠
NPM
∠
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48, 8t=
∴
（4t+45），解得：t=6(秒)，
故t 为2.4 秒或4 秒或6 秒时，PQ 是∠MPN 的“定分线”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．
理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．
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